专题7.1 第一次月考模拟测试卷（范围：1～2章）（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

第一次月考模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．2 B．19 C．25 D．31 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·天津河北·期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）我国宋代数学家杨辉发现了，2，3，展开式系数的规律：根据上述规律，展开式的系数和是 ． 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 13．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ． 15．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    评卷人 得 分 三、解答题（本大题共10小题，满分75分） 16．（8分）（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： （1）； （2）． （3）， （4）． 17．（8分）（23-24七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 19．（6分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 20．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空：__________，________，__________； （2）小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； （3）求证：． 21．（6分）（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． （1）若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； （2）求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． （3）若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 22．（8分）（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    23．（8分）（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          （1）如图1，当时，若，求的度数； （2）如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； （3）若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 24．（9分）（22-23七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    25．（10分）（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】 本题主要考查了余角的性质，垂线的性质，对顶角的性质，平行线的定义，垂线段的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是一道基础题．根据相关知识判断即可． 【解题过程】 解：（1）同角或等角的余角相等；选项正确；（2）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；选项错误；（3）对顶角相等；正确；（4）在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线；选项错误；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；选项正确；（6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．选项错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定，正确理解平行线的判定方法是解题的关键．对于A，通过推理可得，同位角互补，不能得到两直线平行；对于B，举反例即可判断；对于C，可证明，根据同位角相等，两直线平行，即可判断；对于D，由推理得，再举反例即可判断． 【解题过程】 解：A、如图，，， ， 不能判断， 所以选项A错误，不符合题意； B、如图，保持的度数不变，改变开口方向，这样仍满足题意，但与不平行，所以B选项错误，不符合题意；    C、，， ， ， 所以选项C正确，符合题意； D、如图，，， ，    显然与不平行，所以选项D错误，不符合题意． 故选C． 3．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．2 B．19 C．25 D．31 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式以及完全平方公式的运算，已知式子的值求代数式的值，先整理，得，再结合，代入数值计算，即可作答． 【解题过程】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 故选：B 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 6．（24-25七年级上·天津河北·期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】 本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断． 【解题过程】 解：∵和互补， ∴， ∵的余角，所以①正确； ∵， ∴的余角，所以②正确； ∵， ∴， ∴的余角，所以③错误，④正确． 故选：C． 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【解题过程】 解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 【解题过程】 解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【解题过程】 解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【解题过程】 解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）我国宋代数学家杨辉发现了，2，3，展开式系数的规律：根据上述规律，展开式的系数和是 ． 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 【思路点拨】 本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能通过计算发现展开式的系数的和为是解题的关键．根据题意，依次求出展开式的系数的和，发现规律即可解决问题． 【解题过程】 解：由题知， 展开式的系数的和为：； 展开式的系数的和为：； 展开式的系数的和为：； ， 由此可见，展开式的系数的和为：． 当时， 展开式的系数的和为：． 故答案为：64． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【解题过程】 解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【思路点拨】 本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 【解题过程】 解：由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ． 【思路点拨】 本题主要考查对顶角，补角，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．分两种情况进行讨论：①是之间；②在之间，再结合角的和差进行求解即可． 【解题过程】 解：①当是之间时，如图， 直线、相交于点，， ， ， ， ， ， ， 即； ②当在之间时，如图， 直线、相交于点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：82.5或202.5． 15．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    【思路点拨】 设射线旋转的时间为t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． 【解题过程】 解：设射线旋转的时间为t秒， ∵射线绕Q点每秒旋转，射线先转42秒，射线才开始转动， ∴射线还需旋转138秒到达， ∴． ①如图，当， ，， ∵， ， ∵， ， ， 解得． ②如图，当时， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得． ③如图，当时，  ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒． 故答案为：14或63.6或134． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共10小题，满分75分） 16．（8分）（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： （1）； （2）． （3）， （4）． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的混合运算，注意明确运算法则和顺序． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，再合并即可求解； （2）根据单项式乘多项式的法则计算，再合并即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则及平方差和完全平方公式计算，再合并即可求解； （4）根据多项式除单项式的法则计算即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（8分）（23-24七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的运算中平方差公式、完全平方公式、逆用积的乘方、同度数幂的乘法进行简便计算，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先将原式的乘法部分写成平方差公式的形式，然后再计算即可； （2）直接利用完全平方公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． （4）先运用积的乘方进行化简，然后再进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，灵活运用相关法则是解题的关键． （1）运用乘法的平方差公式，完全平方公式，多项式除单项的法则进行计算，再合并同类项即可化简，再将值代入化简后的结果中即可求解； （2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式的法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除单项式的法则进行化简，最后将代入化简后的结果中即可求值． 【解题过程】 （1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）原式 ． 当时， 原式． 19．（6分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 【思路点拨】 本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【解题过程】 （1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 20．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空：__________，________，__________； （2）小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； （3）求证：． 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴ ，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 21．（6分）（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． （1）若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； （2）求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． （3）若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 【思路点拨】 本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键． （1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解； （2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可； （3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解． 【解题过程】 （1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；． （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故． （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C． 22．（8分）（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【思路点拨】 本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【解题过程】 解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 23．（8分）（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          （1）如图1，当时，若，求的度数； （2）如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； （3）若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【思路点拨】 本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴． 24．（9分）（22-23七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【思路点拨】 （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 25．（10分）（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【解题过程】 （1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为； ④时，如图，延长交于， ， ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$