第16讲 三角形全等的判定（第1课时）（四类知识点+十三大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第16讲 三角形全等的判定（第1课时）（十三大题型） 学习目标 1. 理解全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2. 掌握尺规作图（作一个角等于已知角）； 3．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 知识点1 用全等三角形的性质判定三角形的全等 我们知道，如果△ABC≌△A'B'C',那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，如果△ABC与△A'B'℃的三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B'℃',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 那么就能判定△ABC≌△A'B'℃',如图17-4-1所示. 能否在上述六组边或角相等的条件中选择部分条件直接判定两个三角形全等呢? 要点：我们也可以这样理解教材，前面我们学过一个三角形有三条边、三个角，即为三角形的六要素，这六个要素（与另一个三角形的六要素）需要满足怎样的条件（或对应关系）才能与另一三角形全等？ 下面，我们就对判定两个三角形全等的条件进行讨论. 知识点2 全等三角形的判定方法1 如图17-4-2(1),给定一个△ABC.作一个△A'B'℃',如图17-4-2(2),使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.将作好的△A'B'℃'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作A'B'=AB; (2)分别以点A'、B'为圆心，以线段AC、BC的长为半径画弧，两弧相交于点C'; (3)连接A'C'、B'C'. △A'B'C'就是所求的三角形，如图17-4-2(2)所示. 公理 三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”). 知识点3 作一个角等于已知角 我们已经能用直尺和圆规作出一个三角形， 使它的三边分别等于已知三角形的三边．你能只使用直尺和圆规作出一个角等于已知角吗？ 例3 作一个角等于已知角. 如图17-4-5,已知∠α,作∠AOB=∠α. 分析 设法使已知∠α成为某三角形的一个内角，再利用直尺和圆规作出一个与该三角形全等的三角形，此三角形中∠α的对应角就是所求的角. 作法 (1)以∠α的顶点为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交∠α的两边于点C、D,如图17-4-6(1)所示； (2)过点O作一条任意射线OA,以点O为圆心、以a的长为半径作弧，交OA于点M; (3)以点M为圆心、以CD的长为半径作弧，交前弧于点N; (4)经过点N作射线OB.∠AOB就是所求的角，如图17-4-6(2)所示. 证明 记∠α的顶点为E,连接CD、MN.由作法，可知在△CDE和△MNO中， ∴ △CDE≌△MNO(SSS). ∴∠MON=∠CED(全等三角形的对应角相等),即∠AOB=∠α. 尺规作图：在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.尺规作图是古希腊数学家提出的一个概念，它对直尺和圆规的使用方法有着严格的限制：无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆. 知识点4 全等三角形的判定方法2 如图17-4-9(1),给定一个△ABC.用直尺和圆规作△A'B'C',如图17-4-9(2),使A'B'=AB,∠A'=∠A,A'C'=AC.将作好的△A'B'C'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作∠DA'E=∠A; (2)以点A'为圆心、以AC的长为半径作弧，交A'E于点C'; (3)以点A'为圆心、以AB的长为半径作弧，交A'D于点B'; (4)连接B'C'. △A'B'C'就是所求的三角形，如图17-4-9(2)所示. 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为"边角边"或“SAS"). 【即学即练1】完成下面的说理过程． 已知：，，． 试说明：． 解：因为（已知）， 所以，即（ ）． 在和中，， 所以（ ）． 【答案】 等式性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【解析】解：因为（已知）， 所以，即（等式性质）． 在和中， ， 所以． 故答案为：等式性质；． 【即学即练2】如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．由作图过程得，，，得到三角形全等，即可求解． 【解析】解：由作图过程得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）， 则作图依据是， 故答案为：． 【即学即练3】如图，，，则，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【解析】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【即学即练4】如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【解析】解：根据可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等； 故答案为：②． 【即学即练5】如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了用证明三角形全等，由图可知：，据此即可求解 【解析】解：由图可知：， ∵， ∴当时，可根据“”判定； 故选：B 题型1:SSS-利用“SSS”证明三角形全等 【典例1】．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据判定，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【解析】证明：在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等判定和性质，解题关键是掌握证明三角形全等． 【变式1-1】．如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ． 【变式1-2】．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法证明即可． 【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式1-3】．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【解析】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 题型2:SSS-添加一个条件证明三角形全等 【典例2】．如图，已知，要使得，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】要使，由于是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等． 【解析】解：添加． 在和中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键． 【变式2-1】．如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件． 先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加． 【解析】解：点是，的中点， ，， 当添加时，． 故答案为：． 【变式2-2】．如图，，判定的依据是 ． 【答案】 【分析】结合三角形全等的判定定理及题目所给条件判断． 【解析】， BD为公共边， 故 故可以用判定 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查三角形全等判定定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握判定定理的应用情形． 题型3:SSS-全等三角形的性质与SSS综合 【典例3】．如图，已知，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用可证明，得到，进而得到，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式3-1】．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，如果，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，再利用三角形的外角和的性质可得答案，证明是解本题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】0．如图，，，的延长线交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．结合隐含条件，证明，利用全等性质即可证明． 【解析】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-3】．如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可得证； （2）利用三角形的内角和定理，等量代换计算即可． 【解析】（1）证明：∵，    ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 题型4:尺规作图判定三角形全等的依据 【典例4】．如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ． 【答案】 【分析】用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是． 【解析】解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示： ， 判断的依据是， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【变式4-1】．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边 ，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点C 作射线 ．由此做法得 的依据是 ．    【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【解析】解：∵在和中， ∴（）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 题型5:尺规作图 【典例5】．如下图，已知P为的一边上的一点． (1)请利用尺规在外部作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据上面的作图，判断与是否平行．若平行，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画图解答即可． （2）根据平行线的判定解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【解析】（1）解：根据基本作图，画图如图， 则即为所求． （2）解：，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式5-1】．用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹． 已知：与射线． 求作：，使得． 【答案】见解析 【分析】先在射线上截取，再分别以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则． 【解析】解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 题型6:SSS-三角形全等的判定的综合应用（含作辅助线） 【典例6】．如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】证明，可得，再根据，利用等量代换可得即可． 【解析】解：．理由如下： ，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 【变式6-1】．如图，已知：、、、在同一条直线上，，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得，则对应角，易证结论； （2）根据，可以证得，进而得出结论． 【解析】（1）证明：如图：在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【变式6-2】．如图：，，若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用“”证明，即可得到答案． 【解析】解：连接， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式6-3】．如图，，，M、N分别是的中点，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】如图所示，连接，根据三角形中线平分三角形面积得到，，再证明，得到，则，由此求解即可． 【解析】解：如图所示，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型7:SAS-利用“SAS”证明三角形全等 【典例7】．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．将下面证明的过程补充完整． 证明：（    ）， ，即． 在和中， （    ）． 【答案】已知，，已知，，已知，， 【分析】利用已知条件和证明得到的，利用，证明三角形全等． 【解析】证明：（已知）， ，即． 在和中， ∵， （）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键． 【变式7-1】．已知：如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用证明再结合从而可得结论. 【解析】解： 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握“两边及其夹角相等的两个三角形全等”是解题的关键. 【变式7-2】．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，由此即可利用证明． 【解析】证明：， ． ， ∴， ． 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 【变式7-3】．如图，点在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，根据即可得出，进而得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【解析】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，根据已知得出是解题的关键． 【变式7-4】．如图所示，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC． 【解析】证明：∵， ∴． ∴， 在与中 ， ∴ (SAS)． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【变式7-5】．如图，线段，相交于点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，再利用证明，即可得到． 【解析】解：，， ． 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 题型8:SAS-添加一个条件证明三角形全等 【典例8】．如图，直线和相交于点，，若由“”判定，那么需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“”即两边及其夹角对应相等，已知一条边和对顶角相等，只需添加夹角的另一边相等即可判定． 【解析】解：根据对顶角相等可得， ∴只需添加， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判断，解题的关键是熟知两边及其夹角对应相等三角形是全等三角形． 【变式8-1】．使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理． 【解析】解：、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，能判定，符合题意， 故选：． 【变式8-2】．如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了用证明三角形全等，由图可知：，据此即可求解 【解析】解：由图可知：， ∵， ∴当时，可根据“”判定； 故选：B 题型9:SAS-三角形全等的条件辨析 【典例9】．下图中的全等三角形是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③ 【答案】D 【分析】根据两边及其夹角对应相等两个三角形全等，逐项判断，即可求解． 【解析】解：A、①和②只有一边一角对应相等，不能证明全等，故本选项错误，不符合题意； B、②和③只有一边一角对应相等，不能证明全等，故本选项错误，不符合题意； C、②和④只有一边一角对应相等，不能证明全等，故本选项错误，不符合题意； D、①和③两边及其夹角对应相等，能证明全等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握两边及其夹角对应相等两个三角形全等是解题的关键． 【变式9-1】．下列选项可用证明的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定,即两条对应边及其夹角相等逐项判定即可． 【解析】解：A、角不是夹角，不满足，不能证明，选项不符合题意； B、角不是夹角，不满足，不能证明，选项不符合题意； C、满足，能证明，选项符合题意； D、角不是夹角，不满足，不能证明，选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键． 【变式9-2】．如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【解析】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 题型10:SAS-三角形全等的判定的应用 【典例10】．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有③包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要根据已知条件进行选择运用是解题关键． 【变式10-1】．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可． 【解析】解：在与中， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式10-2】．如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解析】解： 是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 题型11:SAS-网格、格点问题 【典例11】．如图，在的正方形网格中，等于（    ） A．60° B．75° C．90° D．105° 【答案】C 【分析】根据三角形全等，可得与互余，即可得出结论． 【解析】如图： ，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形网格的特点，以及全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应角相等． 【变式11-1】．如图所示的网格是由个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示（见详解），证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解． 【解析】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，是对角线， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【变式11-2】．如图所示的网格为正方形网格，则 ．    【答案】90 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【解析】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90    【变式11-3】．如图是钉板示意图，每相邻的4个钉点均是小正方形的钉点，钉点的连线与钉点的连线交于点． （1）若，则的长为 ； （2）连接钉点，则 度． 【答案】 3 90 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，求出，即可求出的长； （2）根据题意可得，求出，同理，继而求出． 【解析】解：如图： （1）∵每相邻的4个钉点均是小正方形的顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）∵每相邻的4个钉点均是小正方形的顶点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 故答案为：（1）3，（2）90． 题型12:综合应用、难点分析 【典例12】．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（    ） ①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可； ②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线； ③根据“SAS”直接进行判断即可； ④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果； ⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE． 【解析】解：①∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，故①正确； ②∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误； ③在△BDF和△CDE中 ∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确； ④∵△BDF≌△CDE， ∴∠F＝∠DEC， ∴，故④正确； ⑤∵△BDF≌△CDE， ∴CE＝BF，故⑤错误； 综上分析可知，①③④正确，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键． 【变式12-1】．如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下： 甲：沿图中虚线折叠并展开，测量发现 乙：沿图中折叠，并测得 丙：先沿折叠，展开后再沿折叠，测得， 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙能得到，丙不能 B．甲、丙能得到，乙不能 C．乙、丙能得到，甲不能 D．甲、乙、丙均能得到 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和全等三角形的判定和性质求解即可． 【解析】解：甲：∵， ∴， 乙：∵， 但和不是同位角也不是内错角， 而且， ∴无法推出， 丙：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，甲、丙能得到，乙不能， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型13:解答综合题 【典例13】．如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．    (1)求证：； (2)若是的中点，的面积是20，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，即三角形中线的性质即可求解． 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 是的中点， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等份，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式13-1】．如图，在中，，于点，平分，交于点，为上一点，且，求证：. 【答案】见解析 【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据等角的余角相等可得，等量代换得出，即可得证． 【解析】证明：平分， . 在和中， ， . 中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式13-2】．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【解析】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式13-3】．如图，点为上一点，，，，求证：.    【答案】见解析 【分析】先证可得，再即可证明结论． 【解析】证明：， . ，， ， . ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 【变式13-4】．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【解析】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 一、单选题 1．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【解析】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 2．如图，和中，，，若，则等于（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】根据“SSS”证明，根据全等三角形的性质得出即可． 【解析】解：∵在和中， ∴（SSS）， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 3．如图，已知平分，那么就可以证明，理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得、、，由此即可判定求解． 【解析】解：∵平分， ∴， 在和中， ∴ 故选C 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．如图，已知，则的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再用SSS即可求解． 【解析】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（    ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A 【分析】利用SSS证明△ABC≌△ADC，可得答案． 【解析】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 6．如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　） A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B 【答案】C 【解析】由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答． 【分析】解：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）． 7．作∠AOB的角平分线的作图过程如下： 用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（    ） A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 【答案】D 【分析】连接CE，CD，可根据SSS证明△OCE≌△OCD，由此得到答案． 【解析】解：连接CE，CD， 由题意知，OE=OD，CE=CD， ∵OC=OC， ∴可根据SSS证明△OCE≌△OCD， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记判定定理并应用是解题的关键． 8．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（    ） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案． 【解析】解：∵BE=CD， ∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE， ∵∠1=∠2=110°，AD=AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°， ∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°， ∵∠BAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE=20°， ∴∠BAC=80°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 9．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 【答案】D 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【解析】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中 ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝7． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即：2＜2AD＜12， 1＜AD＜6． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法，要注意掌握． 10．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（    ） A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等 【答案】D 【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等． 【解析】解：∵， ∴， ∵ ①+②得 ②-①得 ∴在和中， ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件． 二、填空题 11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，其根据是 ． 【答案】SSS 【解析】试题分析：因为△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以由SSS可证△ABD≌△ACD． 考点：全等三角形的判定． 12．如图，已知，添加一个条件 ，使 【答案】 【分析】根据已有的一边与一角对应相等，利用SAS判定两三角形确定，即可添加AC=BD即可 【解析】解：∵△ABC与△BAD，具有AB=BA，和，一边和一角对应相等， 根据SAS判定两三角形确定，需添加夹角的另一边， ∴添加AC=BD， 在△ABC和△BAD中， ， ∴ 故答案是：AC=BD． 【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定定理是解题关键 13．如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明≌的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 【解析】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 在△OCD与△O′C′D′， ， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， 显然运用的判定方法是SSS． 故答案为：SSS． 【点睛】此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查． 14．如图，已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 （只写一种）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件选择合适的全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可． 【解析】解：添加条件为，理由是： 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SSS）． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 15．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（除外）． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的判定及方格图的特征．认真观察图形可得答案． 【解析】解：如图， 根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有5个，包括△ADE，△ANF，△ANG，△ACG，△AEF． 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平移，对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在中，D是上的一点，，平分，交于点E，连接，若，，则 ． 【答案】55° 【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED． 【解析】解：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠DCE， 在△ACE与△DCE中， ， ∴△ACE≌△DCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠A＝100°， ∵∠B＝45°， ∴∠BED＝∠CDE-∠B＝100°-45°＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100°． 17．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF= ． 【答案】/ 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长． 【解析】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在和中， ∴ ∴BG＝AC，， 又∵AE＝EF， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF， 又∵BE＝7CE，AE＝， ∴BF＋EF＝， 即BF＋＝， 解得BF＝． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则 ． 【答案】 【分析】作，交于，作，交于．通过平行线的性质证明，，，即可求出． 【解析】解：作，交于，作，交于， 是的中线， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题 19． 如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 【答案】证明见解析 【分析】根据边边边的判定方法，判定三角形全等，进而可证明对应角相等． 【解析】证明：在△ABD和△BAC中， ∵， ∴△ABD≌△BAC(SSS)， ∴∠C＝∠D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，能够根据条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 20．已知如图：．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据SSS直接证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【解析】证明：， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握SSS证明全等三角形是解题的关键． 21．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．    【答案】见解析 【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论． 【解析】证明：， ， ． 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形． (1)在图①中所画三角形与有一条公共边； (2)在图②中所画三角形与有一个公共角； (3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可； （2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可； （3）根据题意以及网格的特点画出图形即可． 【解析】（1）如图①所示，△ABD即为所求； （2）如图②所示，△DEC即为所求； （3） 如图③所示，△AED即为所求， 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据，得出，再根据，，利用“SAS”证明，即可证明结论． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两边对应相等，且这两条边所夹的角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 24．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点． (1)求证：△ABD≌△ACD； (2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD； （2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案． 【解析】（1）证明：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）； （2）解：∵△ABD≌△ACD， ∴∠ADB＝∠ADC， 在△EDB和△EDC中， ， ∴△EDB≌△EDC（SAS）， ∴∠BED＝∠CED， ∵∠BED＝50°， ∴∠CED＝∠BED＝50°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质． 25．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【解析】（1）证明：（1）， ， ， ， 在与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 26．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M． 求证：（1）EC＝BF； （2）EC⊥BF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）先利用SAS证明△ABF≌△AEC即可得到EC＝BF； （2）根据（1）中的全等推得∠AEC＝∠ABF，根据∠BAE＝90°，∠AEC+∠ADE＝90°，再根据对顶角相等，等量代换后，推得∠BMD＝90°． 【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC＝BF； （2）如图，由（1）得：△ABF≌△AEC， ∴∠AEC＝∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°， ∴∠AEC+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM＝90°， 在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝90°， ∴EC⊥BF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 27．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． (1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； (2)求证：CF＝FG＋CE． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出； （2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论． 【解析】（1）解：在△ABC中，∵∠A＝80°， ∴， ∠ABC、∠ACB的平分线交于点D， ， ， ∠EDC ； （2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的一个外角， ， 为的一个外角， ， 平分， ， ， ∠A＝2∠BDF， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的做辅助线是解决问题的关键． 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 三角形全等的判定（第1课时）（十三大题型） 学习目标 1. 理解全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2. 掌握尺规作图（作一个角等于已知角）； 3．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 知识点1 用全等三角形的性质判定三角形的全等 我们知道，如果△ABC≌△A'B'C',那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，如果△ABC与△A'B'℃的三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B'℃',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 那么就能判定△ABC≌△A'B'℃',如图17-4-1所示. 能否在上述六组边或角相等的条件中选择部分条件直接判定两个三角形全等呢? 要点：我们也可以这样理解教材，前面我们学过一个三角形有三条边、三个角，即为三角形的六要素，这六个要素（与另一个三角形的六要素）需要满足怎样的条件（或对应关系）才能与另一三角形全等？ 下面，我们就对判定两个三角形全等的条件进行讨论. 知识点2 全等三角形的判定方法1 如图17-4-2(1),给定一个△ABC.作一个△A'B'℃',如图17-4-2(2),使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.将作好的△A'B'℃'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作A'B'=AB; (2)分别以点A'、B'为圆心，以线段AC、BC的长为半径画弧，两弧相交于点C'; (3)连接A'C'、B'C'. △A'B'C'就是所求的三角形，如图17-4-2(2)所示. 公理 三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”). 知识点3 作一个角等于已知角 我们已经能用直尺和圆规作出一个三角形， 使它的三边分别等于已知三角形的三边．你能只使用直尺和圆规作出一个角等于已知角吗？ 例3 作一个角等于已知角. 如图17-4-5,已知∠α,作∠AOB=∠α. 分析 设法使已知∠α成为某三角形的一个内角，再利用直尺和圆规作出一个与该三角形全等的三角形，此三角形中∠α的对应角就是所求的角. 作法 (1)以∠α的顶点为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交∠α的两边于点C、D,如图17-4-6(1)所示； (2)过点O作一条任意射线OA,以点O为圆心、以a的长为半径作弧，交OA于点M; (3)以点M为圆心、以CD的长为半径作弧，交前弧于点N; (4)经过点N作射线OB.∠AOB就是所求的角，如图17-4-6(2)所示. 证明 记∠α的顶点为E,连接CD、MN.由作法，可知在△CDE和△MNO中， ∴ △CDE≌△MNO(SSS). ∴∠MON=∠CED(全等三角形的对应角相等),即∠AOB=∠α. 尺规作图：在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.尺规作图是古希腊数学家提出的一个概念，它对直尺和圆规的使用方法有着严格的限制：无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆. 知识点4 全等三角形的判定方法2 如图17-4-9(1),给定一个△ABC.用直尺和圆规作△A'B'C',如图17-4-9(2),使A'B'=AB,∠A'=∠A,A'C'=AC.将作好的△A'B'C'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作∠DA'E=∠A; (2)以点A'为圆心、以AC的长为半径作弧，交A'E于点C'; (3)以点A'为圆心、以AB的长为半径作弧，交A'D于点B'; (4)连接B'C'. △A'B'C'就是所求的三角形，如图17-4-9(2)所示. 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为"边角边"或“SAS"). 【即学即练1】完成下面的说理过程． 已知：，，． 试说明：． 解：因为（已知）， 所以，即（ ）． 在和中，， 所以（ ）． 【即学即练2】如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是 ． 【即学即练3】如图，，，则，理由是 ． 【即学即练4】如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【即学即练5】如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 题型1:SSS-利用“SSS”证明三角形全等 【典例1】．如图，，．求证：． 【变式1-1】．如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【变式1-2】．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【变式1-3】．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 题型2:SSS-添加一个条件证明三角形全等 【典例2】．如图，已知，要使得，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是 ． 【变式2-1】．如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 【变式2-2】．如图，，判定的依据是 ． 题型3:SSS-全等三角形的性质与SSS综合 【典例3】．如图，已知，求证：．    【变式3-1】．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，如果，，，求的度数．    【变式3-2】．如图，，，的延长线交于点，求证：． 【变式3-3】．如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型4:尺规作图判定三角形全等的依据 【典例4】．如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ． 【变式4-1】．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边 ，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点C 作射线 ．由此做法得 的依据是 ．    题型5:尺规作图 【典例5】．如下图，已知P为的一边上的一点． (1)请利用尺规在外部作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据上面的作图，判断与是否平行．若平行，请说明理由． 【变式5-1】．用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹． 已知：与射线． 求作：，使得． 题型6:SSS-三角形全等的判定的综合应用（含作辅助线） 【典例6】．如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【变式6-1】．如图，已知：、、、在同一条直线上，，，． 求证： (1)； (2)． 【变式6-1】．如图：，，若，求的度数． 【变式6-2】．如图，，，M、N分别是的中点，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为 ． 题型7:SAS-利用“SAS”证明三角形全等 【典例7】．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．将下面证明的过程补充完整． 证明：（    ）， ，即． 在和中， （    ）． 【变式7-1】．已知：如图，．求证：． 【变式7-2】．如图，，，．求证：． 【变式7-3】．如图，点在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式7-4】．如图所示，，，，求证：． 【变式7-5】．如图，线段，相交于点，且，，，，求的长． 题型8:SAS-添加一个条件证明三角形全等 【典例8】．如图，直线和相交于点，，若由“”判定，那么需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-2】．如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 题型9:SAS-三角形全等的条件辨析 【典例9】．下图中的全等三角形是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③ 【变式9-1】．下列选项可用证明的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式9-2】．如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 题型10:SAS-三角形全等的判定的应用 【典例10】．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】．如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 题型11:SAS-网格、格点问题 【典例11】．如图，在的正方形网格中，等于（    ） A．60° B．75° C．90° D．105° 【变式11-1】．如图所示的网格是由个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） B． C． D． 【变式11-2】．如图所示的网格为正方形网格，则 ．    【变式11-3】．如图是钉板示意图，每相邻的4个钉点均是小正方形的钉点，钉点的连线与钉点的连线交于点． （1）若，则的长为 ； （2）连接钉点，则 度． 题型12:综合应用、难点分析 【典例12】．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（    ） ①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【变式12-1】．如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下： 甲：沿图中虚线折叠并展开，测量发现 乙：沿图中折叠，并测得 丙：先沿折叠，展开后再沿折叠，测得， 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙能得到，丙不能 B．甲、丙能得到，乙不能 C．乙、丙能得到，甲不能 D．甲、乙、丙均能得到 题型13:解答综合题 【典例13】．如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．    (1)求证：； (2)若是的中点，的面积是20，求的面积． 【变式13-1】．如图，在中，，于点，平分，交于点，为上一点，且，求证：. 【变式13-2】．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【变式13-3】．如图，点为上一点，，，，求证：.    【变式13-4】．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 一、单选题 1．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和中，，，若，则等于（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 3．如图，已知平分，那么就可以证明，理由是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，则的理由是（    ） A． B． C． D． 5．如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（    ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 6．如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　） A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B 7．作∠AOB的角平分线的作图过程如下： 用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（    ） A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 8．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（    ） A．90° B．80° C．70° D．60° 9．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 10．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（    ） A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等 二、填空题 11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，其根据是 ． 12．如图，已知，添加一个条件 ，使 13．如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明≌的依据是 ． 14．如图，已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 （只写一种）． 15．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（除外）． 16．如图，在中，D是上的一点，，平分，交于点E，连接，若，，则 ． 17．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF= ． 18．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则 ． 三、解答题 19． 如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 20．已知如图：．求证：． 21．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．    22．如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形． (1)在图①中所画三角形与有一条公共边； (2)在图②中所画三角形与有一个公共角； (3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点． 23．已知：如图，，，．求证：． 24．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点． (1)求证：△ABD≌△ACD； (2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数． 25．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 26．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M． 求证：（1）EC＝BF； （2）EC⊥BF． 27．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． (1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； (2)求证：CF＝FG＋CE． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$