精品解析：2025年广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）大冲学校中考一模数学试题

2024——2025学年第二学期九年级一模学科素养调研 数学 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ） A. 0.1008×106 B. 1.008×106 C. 1.008×105 D. 10.08×104 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 5. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 若甲、乙两组数据的方差，，则甲组数据比乙组数据稳定 C. 线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则 D. 二次函数的顶点在x轴 7. 如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_______． 10. 从0，，，，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为______． 11. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 12. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 13. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. （1）解方程： （2）解方程：． （3）计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：． 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是______人，C组对应扇形的圆心角为______°； （2）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少？ （3）经过统计，某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，求选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率． 17. 深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 18. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 19 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … 问题解决 任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式． 任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球高度；若不成功，请通过计算说明理由． 任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 20. 【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年第二学期九年级一模学科素养调研 数学 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ） A. 0.1008×106 B. 1.008×106 C. 1.008×105 D. 10.08×104 【答案】C 【解析】 【详解】解：100800=1.008×105． 故选C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方运算法则分别进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算正确； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误； C、x6÷x2＝x4，故本选项计算错误； D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项计算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项、整式乘法的完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 5. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 若甲、乙两组数据的方差，，则甲组数据比乙组数据稳定 C. 线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则 D. 二次函数的顶点在x轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等知识． 根据中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等逐项判断即可． 【详解】解：A、顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形；故此选项不符合题意； B、若甲、乙两组数据的方差，，则，所以乙组数据比甲组数据稳定；故此选项不符合题意； C、线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则，，故此选项不符合题意； D、二次函数的顶点为，所以顶点在x轴上，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 过D点作于点，得四边形是矩形，得出，，根据平行的性质，，根据锐角的正切值表示出和，然后利用，即可求解． 【详解】如图，过D点作于点， 根据题意可得：，， ， 四边形是矩形， ，， 从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角， ，， 在中 ， ， 在中， ， ， 故选：C． 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法及公式法因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 10. 从0，，，，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键． 先找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：在0，，这五个数中，有理数有0，这3个，其余两个为无理数， ∴抽出的数是无理数的概率为， 故答案为：． 11. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 12. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 13. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过作于，过作于，过作于， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三．解答题（共7小题，共61分） 14. （1）解方程： （2）解方程：． （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握以上知识点是解决此题关键． （1）两边直接开平方可得，再把此方程分成两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）首先把方程去括号、移项、合并同类项可得，继而得到，再两边直接开平方即可． （3）先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）两边直接开平方得：， 则，， 解得：，； （2）， 整理得：， 即， 两边直接开平方得：． （3）解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答． 【详解】 ， 当时，原式． 16. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：． 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是______人，C组对应扇形的圆心角为______°； （2）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少？ （3）经过统计，某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，求选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率． 【答案】（1）400人，144 （2）48000人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占百分比即可求出总人数；根据总人数即可求出组人数，然后算出所占百分比，最后即可求出组所对应的圆心角度数． （2）根据题意先求出调查人数中达到国家规定体育活动时间的学生所占百分比，再利用所占百分比乘以市辖区总人数即是可求答案． （3）根据概率公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：组的人数为40人，占， 总人数为：（人）． 组的人数是：（人） 组所对应的圆心角为：． 故答案为：400人，144． 【小问2详解】 解：中小学生每天在校体育活动时间不低于， 调查结果中达到要求的只有和组， 调查结果中达到要求的所占百分比为：． 其中达到国家规定体育活动时间的学生人数为：（人）． 故答案为：48000人． 【小问3详解】 解：某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员， 设2名男生为，设2名女生为， 则用树状图表示， 抽取的总情况有：12 ，抽取的一男一女的情况：8． 选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，涉及到的知识点有利用概率公式求时间发生的概率、扇形中圆心角的问题、通过样本估计总本．解题的关键在于通过观察图形分析关键信息以及掌握相关公式． 17. 深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【答案】（1）排球的单价为元，足球的单价为元； （2）张老师带的钱不够，最少还差元． 【解析】 【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元，则足球的单价为元， 依题意得，， 解得（不符合题意，舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为元，足球的单价为元； 【小问2详解】 解：设学校购买个足球，则购买个排球， 依题意得，， 解得， 设费用为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，， ∵，， ∴张老师带的钱不够，最少还差元， 答：张老师带的钱不够，最少还差元． 18. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … 问题解决 任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式． 任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． 任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】任务一：；任务二：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析；任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； 任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； 任务3：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 20. 【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1！）见解析；（2）11；（3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再根据证明即可得出结论； （2）作交于点，交于点，证明得出再分别证明，是等边三角形，得到 由求出，从而得出结论； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，求出，证明求得，证明四边形是平行四边形，得出进一步得出 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点，交于点，如图， ∵， 又 ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴等边三角形， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$