第17讲 菱形(三类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第17讲 菱形（十一大题型） 学习目标 1.了解菱形的概念； 2. 知道菱形的性质定理及其相关计算、证明； 3. 掌握菱形的判定定理，并会结合菱形的性质综合应用. 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1） 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即学即练1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【即学即练2】菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 【即学即练3】如图，在菱形中，O为和的交点，．则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练4】菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【即学即练5】下列条件中，能判断四边形是菱形的是（   ） A．对角线相等的平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．对角线互相垂直的矩形 【即学即练6】如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长是 ．   题型1:菱形性质的辨析 【典例1】．关于菱形，下列说法错误的是（ ） A．对角线垂直 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【典例2】．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 【典例3】．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 题型2:利用菱形的性质求长度 【典例4】．如图，菱形的边长，则菱形的周长为 ． 【典例5】．如图，菱形的周长是，的长是 ．    【典例6】．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ． 【典例7】．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 【典例8】．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ． 题型3:利用菱形的性质求角度 【典例9】．如图．菱形中，，则 ．    【典例10】．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【典例11】．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝ ° 【典例12】．在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例13】．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 题型4:利用菱形的性质求面积 【典例14】．菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A．24 B．12 C．36 D．10 【典例15】．已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为 ． 【典例16】．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【典例17】．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 【典例18】．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若，则菱形的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 题型5:菱形性质的解答证明题 【典例19】．如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 【典例20】．如图，在菱形中，作于F，，求证： 【典例21】．如图，O为菱形对角线的交点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【典例22】．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 题型6：菱形判定的证明 【典例23】．如图，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．    【典例24】．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【典例25】．如图，AE∥ BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C． (1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 题型7：菱形判定条件的辨析 【典例26】．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【典例27】．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【典例28】．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【典例29】．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（    ） A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直 【典例30】．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 题型8：添加一个条件成为菱形 【典例31】．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【典例32】．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【典例33】．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为 ．（只写出一个即可） 题型9：菱形的性质与判定综合 【典例34】．如图，点O既是的中点，又是的中点，且，连接，，，．若，则四边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．不能确定 【典例35】．如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【典例36】．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例37】．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（    ）    A． B．3 C．4 D．5 题型10：菱形的综合应用 【典例38】．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【典例39】．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例40】．在中，，，在边，上分别找到点M，N，使四边形是菱形，下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交，于点M，N． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交，于点M，N． A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【典例41】．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 题型11：难点分析、动态几何题 【典例42】．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【典例43】．如图，在中，，垂足为，是中线，将沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE为 . 【典例44】．如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 【典例45】．如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 【典例46】．如图，在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，联结PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ ． 一、单选题 1．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 2．在菱形中，，，则菱形的周长为（    ） A．48 B．30 C．20 D．10 3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（    ） A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 4．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 5．如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（    ） A．70° B．65° C．55° D．35° 6．下列四边形中不一定为菱形的是（　　） A．对角线相等的平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（    ） A． B． C．4 D．9 8．如图，菱形中，，，于点，则（    ） A．24 B．10 C． D． 9．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 二、填空题 11．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ． 12．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则较长的一条对角线长为 ． 13．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为 ． 14．如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是 ． 15．如图，木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，在，，，，，处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在，处固定．已知菱形的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，则，之间的距离（即线段的长）为 cm． 16．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为 ． 17．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 ． 18．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点．若直线上有一点，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 三、解答题 19．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 20．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 21．如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．    22．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P． (1)求证：PA＝PC． (2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 23．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．仅用一把无刻度的直尺按要求画图（不需写作法）． (1)画出以AB为一边的菱形ABCD，使其四个顶点都在格点上； (2)在AB上找一点E，使AE=3． 24．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 25．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形是菱形． 26．如图，在菱形中，，点E是边的中点．点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是矩形； (3)填空：当的值为 时，四边形是菱形． 27．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 28．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 菱形（十一大题型） 学习目标 1.了解菱形的概念； 2. 知道菱形的性质定理及其相关计算、证明； 3. 掌握菱形的判定定理，并会结合菱形的性质综合应用. 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1） 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即学即练1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了菱形和四边形，熟练掌握菱形的性质和四边形的性质是解题的关键． 【解析】解：菱形的四条边都相等，而矩形的邻边不一定相等， 故选：A． 【即学即练2】菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【解析】解：根据菱形的性质可知，菱形的四个边长相等， 菱形的边长为， 故选B． 【即学即练3】如图，在菱形中，O为和的交点，．则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相平分进行解答即可． 【解析】解：∵在菱形ABCD中，O为和的交点，， ∴． 故选：D． 【即学即练4】菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于菱形的对角线乘积的一半求解即可． 【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为4和6， ∴菱形的面积为∶， 故选：A． 【即学即练5】下列条件中，能判断四边形是菱形的是（   ） A．对角线相等的平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．对角线互相垂直的矩形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用菱形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误； B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项D错误． 故选：C． 【即学即练6】如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长是 ．    【答案】16 【分析】由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 题型1:菱形性质的辨析 【典例1】．关于菱形，下列说法错误的是（ ） A．对角线垂直 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据菱形的性质即可直接选出答案． 【解析】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【典例2】．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断． 【解析】解：A、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意； D、菱形、平行四边形的对角相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键． 【典例3】．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握菱形和矩形性质的相同点和不同点是解题的关键． 根据菱形和矩形的性质逐项分析判断即可得出答案． 【解析】A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故选项符合题意； D. 邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； 故选：． 题型2:利用菱形的性质求长度 【典例4】．如图，菱形的边长，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质—菱形的四条边都相等即可直接得出答案． 【解析】解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为： ， 故答案为：． 【典例5】．如图，菱形的周长是，的长是 ．    【答案】2 【分析】根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【解析】解：∵菱形的周长是， ∴， 故答案为：2 【点睛】此题考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等是解题的关键． 【典例6】．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ． 【答案】5． 【分析】根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解． 【解析】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC，AB∥CD ∴∠B+∠BCD＝180°， 又∠BCD＝120°， ∴∠B＝60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC＝AB＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键． 【典例7】．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【解析】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为：． 【典例8】．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可． 【解析】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 题型3:利用菱形的性质求角度 【典例9】．如图．菱形中，，则 ．    【答案】 【分析】由菱形的性质可得，结合，从而可得答案． 【解析】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 【典例10】．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【典例11】．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝ ° 【答案】25 【分析】根据菱形的性质得到，再根据垂直的定义即可得到∠BDE． 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝90°-=25° 故答案为：25． 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每组内角． 【典例12】．在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故选：B ． 【典例13】．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质可得，再证，得到，由，即可求解． 【解析】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 题型4:利用菱形的性质求面积 【典例14】．菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A．24 B．12 C．36 D．10 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式求解即可． 【解析】解：∵菱形的对角线的长分别为6和8， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键． 【典例15】．已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理； 先求出菱形的边长，再根据题意设，，利用勾股定理求出x，进而得到，的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【解析】解：如图， ∵菱形的周长是40， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵，即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为:， 故答案为：． 【典例16】．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的面积公式，勾股定理，利用勾股定理先求出对角线的长度，再根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求解，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 【解析】解：设对角线相交于点，则，， ∵菱形的周长为， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 【典例17】．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 【答案】4 【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝2cm， ∴BO＝1cm， ∵AB＝cm， ∴AO＝ ＝＝2（cm）， ∴AC＝2AO＝4cm． ∴S菱形ABCD＝（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 【典例18】．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若，则菱形的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、菱形的面积等知识，求得及是解题的关键. 【解析】∵四边形是菱形, 是等边三角形， ， ∵平分 ， ， ， ， , 故选: C. 题型5:菱形性质的解答证明题 【典例19】．如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，根据菱形的性质得到，可证，即可得到结论． 【解析】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ∴． 【典例20】．如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出 【解析】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 【典例21】．如图，O为菱形对角线的交点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，熟知矩形的性质与判定条件是解题的关键. （1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答； （2）根据菱形的对角线互相平分求出，再根据勾股定理列式求出，然后根据矩形的对角线相等求解． 【解析】（1）解：四边形是矩形．理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即 ∴四边形是矩形； （2）解：在菱形中，∵， ∴， ∴， ∴在矩形中，． 【典例22】．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 题型6：菱形判定的证明 【典例23】．如图，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】 根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． 【典例24】．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明； （2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案． 【解析】（1）∵ 四边形 是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）∵ 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形的周长． 【典例25】．如图，AE∥ BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C． (1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠BAC=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再根据三角形的等角对等边证得AD=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可． 【解析】（1）解：如图，射线BD为所求； （2）证明：∵AE∥BF， ∴∠DAC＝∠ACB． ∵AC平分∠BAE， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC． 同理可证AB＝AD， ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型7：菱形判定条件的辨析 【典例26】．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明是菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【典例27】．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理可知，①当平行四边形的对角线相互垂直时，平行四边形即为菱形；②当平行四边形的邻边相等时，平行四边形即为菱形；结合题中所给条件逐项验证即可得到答案． 【解析】解：根据菱形的判定定理可知，①当平行四边形的对角线相互垂直时，平行四边形即为菱形；②当平行四边形的邻边相等时，平行四边形即为菱形； 的对角线相交于点，如图所示： A、当时，内错角相等，得到，无法确定为菱形，不符合题意； B、当时，两个毫无关系的角度，得不到有用结论，无法确定为菱形，不符合题意； C、当时， ， ， ， ， 是等腰三角形，即，则由平行四边形对角线互相平分可得， 为矩形；即无法确定为菱形，不符合题意； D、当时， ， ， ， 是等腰三角形，即， 为菱形； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定，涉及菱形的判定定理、矩形的判定、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 【典例28】．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 【典例29】．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（    ） A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直 【答案】D 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得． 【解析】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意； B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意； C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意； D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题关键． 【典例30】．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型8：添加一个条件成为菱形 【典例31】．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【解析】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 【典例32】．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【解析】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【典例33】．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为 ．（只写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定及菱形的判定是解题的关键． 由菱形的判定方法进行判断即可． 【解析】解：可以添加的条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 题型9：菱形的性质与判定综合 【典例34】．如图，点O既是的中点，又是的中点，且，连接，，，．若，则四边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，先证明四边形是平行四边形，再由，可得出四边形是菱形，再根据菱形的性质可得出，进而得出菱形的周长． 【解析】解：∵点O既是的中点，又是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴四边形的周长是， 故选：B． 【典例35】．如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，根据、即可得出四边形为平行四边形，再根据平分即可得出，即，从而得出平行四边形为菱形，根据菱形的性质结合即可求出四边形的周长． 【解析】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，． ∵平分， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴． 故选：A． 【典例36】．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【解析】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 【典例37】．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（    ）    A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【解析】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ，，， ， ∴． 题型10：菱形的综合应用 【典例38】．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【解析】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 在中，， ∴，， 即， 解得， ∴， 所以四边形的周长为． 故选：C． 【典例39】．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．根据勾股定理求出，得出，进而可得出点C的坐标． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选A． 【典例40】．在中，，，在边，上分别找到点M，N，使四边形是菱形，下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交，于点M，N． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交，于点M，N． A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．方案Ⅰ：由线段垂直平分线的性质得到，，再证明，推出，可判定四边形是菱形；方案Ⅱ：证明，得到，只能得到四边形是平行四边形，不能判断四边形是菱形，据此求解即可． 【解析】解：方案Ⅰ：设与相交于点， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 方案Ⅱ：∵， ∴，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不能判断四边形是菱形， 故选：A． 【典例41】．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【答案】C 【分析】本题综合考查了菱形的判定和性质．根据菱形的性质可得，然后根据给出的方案结合菱形的判定方法进行判定即可． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案甲正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案乙正确． 故选：C． 题型11：难点分析、动态几何题 【典例42】．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【解析】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【典例43】．如图，在中，，垂足为，是中线，将沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE为 . 【答案】 【分析】如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题． 【解析】解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形． ∵AB=AC=4，， ∴CH=1，AH=NB= ，BC=2， ∵AM∥BC， ∴∠M=∠DBC， 在△ADM和△CDB中， ， ∴△ADM≌△CDB(AAS)， ∴AM=BC=2，DM=BD， 在RT△BMN中，∵BN=，MN=3， ∴， ∴BD=DM=， ∵BC=CD=BE=DE=2， ∴四边形EBCD是菱形， ∴EC⊥BD，BO=OD=，EO=OC， ∵AD=DC， ∴AE∥OD，AE=2OD=． 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，属于中考常考题型． 【典例44】．如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，分和两种情况，画出图形，然后利用勾股定理解题即可． 【解析】解：显然， 如图，当时，过点C作于点F， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴，则， ∴， ∴，， ∴； 当时，则点E与点D重合，点N与点B重合， 这时； 故答案为：或2． 【典例45】．如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【解析】解：如图，连接交于点，连接，． 的长度固定， 要使的周长最小，只需要的长度最小即可． 四边形是菱形， 与互相垂直平分， ， 的最小长度为的长，此时点P与点重合． 菱形的边长为，为的中点，， ， ， 是等边三角形， ，，， ∴， 的最小周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键． 【典例46】．如图，在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，联结PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ ． 【答案】 【分析】延长GP交CD于点H，根据AB＝AD，BG＝BE，得出四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，由菱形的性质证明△DPH≌△FPG，得出DH=GF，进而得出△CHG为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出CP⊥HG，∠PCG=60°，再利用直角三角形的性质，即可求解． 【解析】解：如图，延长GP交CD于点H， 在▱ABCD和▱BEFG中，AB＝AD，BG＝BE， ∴四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形， ∴CD=CB，GF=GB，CD∥AE，GF∥AE， ∴CD∥GF， ∴∠DHP=∠FGP， ∵∠DPH=∠FPG，DP=FP， ∴△DPH≌△FPG（AAS）， ∴DH=GF，PH=PG， ∴DH=GB， ∴CH=CG， ∴CP⊥PG， ∴∠HCG=2∠PCG， ∵∠ABC=60°， ∴∠HCG=180°-∠ABC=120°， ∴∠PCG=60°， ∴∠CGP=30°， ∴CG=2PC， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 一、单选题 1．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 【答案】C 【分析】根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角，即可求解． 【解析】解：菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角是解题的关键． 2．在菱形中，，，则菱形的周长为（    ） A．48 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【解析】解：菱形对角线互相垂直平分，如下图： ，， ， 菱形的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，解题的关键是根据勾股定理计算的长． 3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（    ） A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论． 【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°， ∵AE＝1，AE⊥BC， ∴AE＝AB， ∴∠B＝30°， ∴∠DAB＝150°， ∴∠DAB：∠B＝5：1； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键． 4．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【分析】根据菱形的对角相等的性质求得∠BCD的度数，然后利用菱形的对角线平分一组对角即可求得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠BCD，AC平分∠BAD和∠BCD， ∵∠BAD＝70°， ∴∠BCD＝70°， ∴∠ACD＝∠ACB＝35°， 故选：B． 【点睛】题目主要考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角相等，对角线平分一组对角，难度不大． 5．如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（    ） A．70° B．65° C．55° D．35° 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，点O是AC的中点，， ∴∠BAD=180°-∠ABC=110°， ∴∠BAC=55°， ∵E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴， ∴∠COE=∠BAC=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 6．下列四边形中不一定为菱形的是（　　） A．对角线相等的平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 【答案】A 【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形； 故选A. 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=2，OB=， ∴AC=4，BD=2， ∴菱形ABCD的面积为×4×2=4． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）． 8．如图，菱形中，，，于点，则（    ） A．24 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解 再利用勾股定理可得答案． 【解析】解：如图，AC，BD交于点O， 菱形，，， 由可得： 故选D 【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相垂直平分是解本题的关键． 9．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，判断即可． 【解析】解：如图： ①，错误，不符合题意； ②，正确，符合题意； ③，正确，符合题意； 所以正确的有两个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每组对角是解本题的关键． 10．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】A 【解析】解：连接OE，与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE=OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD=，DE=2， ∴OE=，即OF=EF=， 在Rt△DEF中， 根据勾股定理得：DF==1， 即DC=2， 则S菱形ODEC=OE•DC=××2=． 故选A． 二、填空题 11．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ． 【答案】5． 【分析】根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解． 【解析】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC，AB∥CD ∴∠B+∠BCD＝180°， 又∠BCD＝120°， ∴∠B＝60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC＝AB＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键． 12．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则较长的一条对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；利用30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可． 【解析】解：由题意得作图如下：菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∵ABCD是菱形， ∴AC、BD互相垂直平分，AC平分∠DAB， ∴∠CAB=30°，∠AOB=90°， ∵菱形周长为24cm， ∴AB=24÷4=6cm， ∴OB=AB=3cm，AO=cm， ∴BD=2OB=6cm，AC=2AO=cm， ∴较长的一条对角线长cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性质是解题关键． 13．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】根据菱形的面积的公式，即可求出阴影部分的面积． 【解析】解：∵菱形是中心对称图形， ∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半， ∵菱形的两条对角线的长分别为5和12， ∴菱形的面积为， ∴阴影部分的面积为15， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了利用菱形的性质求面积，正确运用菱形面积公式是解题的关键． 14．如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是 ． 【答案】 【分析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形． 【解析】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．如图，木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，在，，，，，处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在，处固定．已知菱形的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，则，之间的距离（即线段的长）为 cm． 【答案】10 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后根据勾股定理可进行求解． 【解析】解：设AC与BD交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC=24cm， ∴AC⊥BD，， 在Rt△AOB中，， ∴； 故答案为10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键． 16．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为 ． 【答案】（-3，6） 【分析】作于，由和的坐标得出，，，由勾股定理求出，由菱形的性质得出，即可得出点的坐标． 【解析】解：作于，与轴交于点，如图所示， ，， ，，，， ， 四边形是菱形， ， 轴， 点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键． 17．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 ． 【答案】 【分析】先画出符合题意的图形，根据菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，可得，根据含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解析】解：如图，菱形 ∴ ∴ ∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，记 ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 18．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点．若直线上有一点，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2或或5 【分析】根据平行四边形的性质和折叠的性质，可证明，可得到四边形是菱形，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，即， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴点B在的垂直平分线上， 当时，点F在的垂直平分线上，如图， 此时点B与点F重合， ∴； 当时， 或； 当时，如图，过点C作，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或2或或5． 故答案为：或2或或5 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型， 三、解答题 19．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【解析】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 20．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解． 【解析】（1）解：菱形ABCD的周长为24， ， 又∠BAD＝60°， 是等边三角形， ， 故对角线BD的长为6； （2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ，， 又， ， ， 菱形ABCD的面积， 故菱形ABCD的面积是． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21．如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．    【答案】证明见解析 【分析】先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形． 【解析】证明：如图，    ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵O为的中点 ∴ ∵ ∴≌（） ∴ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形． 22．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P． (1)求证：PA＝PC． (2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形AECF是菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AF，CE，根据平行四边形的性质可得ABCD，AB＝CD，进而结合已知条件可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等可得四边形AECF是平行四边形，进而可得PA＝PC； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接AF，CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴PA＝PC； （2）解：四边形AECF是菱形． 理由：∵由（1）可知：四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握平行四边形的性质与菱形的性质是解题的关键． 23．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．仅用一把无刻度的直尺按要求画图（不需写作法）． (1)画出以AB为一边的菱形ABCD，使其四个顶点都在格点上； (2)在AB上找一点E，使AE=3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)计算AB=5，根据四边形相等的四边形是菱形，构造即可． （2）在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，计算即可． 【解析】（1）因为AB==5， 所以根据四边形相等的四边形是菱形，构造菱形如下： （2）在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，画图如下： 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质证明结论； （2）先根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理计算出，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形的面积即可得出结论． 【解析】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角），解决（1）小题的关键是判断为直角三角形斜边上的中线． 25．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得； （2）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证． 【解析】解：（1）四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2），， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 26．如图，在菱形中，，点E是边的中点．点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是矩形； (3)填空：当的值为 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“”证明和全等，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）可证是等边三角形，则即可证明； （3）由，得是等边三角形，则即可证明． 【解析】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）当的值为2时，四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键． 27．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】(1)秒 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 28．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 【答案】(1)不变，∠MND=30°； (2)AM的长为2-2或4-4； (3) 【分析】（1）联结DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果； （2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果； （3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果． 【解析】（1）解：如图1， 联结DM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB， ∴DM=BM，OD=OB==2， ∴BD=4， ∴AD=AB=BD， ∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°， ∴∠ACD=∠BCD=30°， 设∠MBO=α， ∵MN=MB， ∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α， 在△CBM中， ∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α， ∴∠CMD=∠CMB=90°-α， 在△MND中， ∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α， ∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α， ∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°， ∵BM=DM=MN， ∴∠MND=∠MDN==30°； （2）解：当点N在边BC上时， 在△MBN和△CBM中， ∠BMN=∠ACB=30°， ∠CBM=∠MBN， ∴∠CMB=∠MBN， ∵MB=MN， ∴∠MBN=∠MNB， ∴∠CBM=∠MBN， ∴CM=CB=4， ∴AM=AC-CM=4-4； 当点N在CB延长线上时， 过点M作MG⊥BN于点G， ∵MB=MN， ∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°， ∴∠GMC=180°-90°-30°=60°， ∴∠BMO=45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OB=OM=2， ∴AM=AO-OM=2-2； 综上，AM的长为2-2或4-4； （3）解：如图2， 作ME⊥AB于E，MF⊥DN， ∵∠CAB=30°， ∴EM=AM=x， ∴AE=， ∴BE=AB-AE=4-x， 在Rt△BEM中， BM=， 在Rt△MNF中， 同理可得：NF=MN=， ∴DN=2NF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系． 44 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$