第26讲 概率初步（第1课时）(四类知识点+八大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第26讲 概率初步（第1课时）(八大题型） 学习目标 1.了解事件的分类，会判断一个现象属于什么事件. 2.会比较事件可能性的大小. 3.知道概率的意义，掌握用概率公式计算概率. 一、确定事件和随机事件 （1）在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件。 例如：从地面上抛出的篮球会落下；地球绕太阳公转等。 （2）在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件。 例如：明天太阳从西边出来;有人把石头孵出了小鸡。 （3）必然事件和不可能事件统称为确定事件。 （4）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件，例如将要过马路时恰好遇到红灯;过打开电视正在放广告。 二、事件发生的可能性 （1）要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. （2）随机事件可能性的大小 例：某人随意经过这一路口时，正好遇到某种颜色的信号灯，是随机事件.因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小. 这是通过比较各种结果发生所占有的时间长短来判断的.一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定. 三、概率： 引入：天气预报是根据已有的气象资料和经验，对天气情况作出的判断.预报“上海地区明天降水概率80%”,就是说上海地区明天降水有“80%的可能”。 （1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率. （2）分别用、、表示必然事件、不可能事件和随机事件，则 不可能事件的概率为0，即；必然事件的概率为1，； 随机事件的概率介于0到1之间，。 必然事件、不可能事件和随机事件的概率的取值情况，用线段图表示如下(如图23-1): 4、 概率的计算 （1）等可能试验 如果一项可以反复进行的试验具有以下特点： a.试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；b.任何两个结果不可能同时出现， 那么这样的的试验叫做等可能试验。 （2）概率计算公式：如果试验共有n个等可能结果，事件A包含其中k个结果，则事件A的概率。 （3）不确定事件发生的可能性的计算方法和步骤 （a）列出所有可能发生的结果，并判定多个结果发生的可能性相等 （b）确定所有可能发生的结果个数为n和其中出现所求事件的结果个数m （c）计算所求事件发生的可能性： 【即学即练1】指出下列事件中是必然事件的是（    ） A．某人射击一次，中靶 B．抛掷两颗骰子，点数之和为16 C．设，为实数，如果，那么 D．从分别写有号数1，2，3的3张标签中，任取一张，得到1号签 【答案】C 【分析】根据必然事件的定义逐一进行分析，即可得到答案． 【解析】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是不可能事件，不符合题意，选项错误； C、是必然事件，符合题意，选项正确； D、是随机事件，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握必然事件的定义是解题关键． 【即学即练2】把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【解析】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多，且每张卡片被摸到的可能性相同， ∴摸到可能性最大的数是4， 故选：B． 【即学即练3】掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率的意义进行解答即可． 【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上， 掷第4次时，不会受前3次的影响， 掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种， 所以掷第4次时6点朝上的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键． 【即学即练4】下列说法错误的是（  ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0、小于1 D．概率很小的事件不可能发生 【答案】D 【分析】本题主要考查必然事件，随机事件发生的概率，掌握其定义是解题的关键． 在某个特定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件，其概率为0；在某个特定条件下，一定会发生的事件叫必然事件，其概率为1；在某个特定条件下，可能发生，也可能不发生 事件叫随机事件，其概率大于等于0、小于1，由此即可求解． 【解析】解：A．必然事件发生的概率为1，正确，不合题意； B．不可能事件发生的概率为0，正确，不合题意； C．随机事件发生的概率大于等于0、小于1，正确，不合题意； D．概率很小的事件可能发生，原来的说法错误，符合题意． 故选：D． 【即学即练5】从中随机抽取1个数，既不是素数，也不是合数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了素数和合数的定义，以及根据概率公式计算概率，分析出从中，一个11个数，其中0，1既不是素数，也不是合数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】解：从中，一个11个数，其中0，1既不是素数，也不是合数， ∴从中随机抽取1个数，既不是素数，也不是合数的概率为：． 故答案为：． 题型1:事件的分类 【典例1】．．下列事件为必然事件的是（     ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【解析】解：A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故选项不符合题意； B. 班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，故选项不符合题意； C. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故选项不符合题意； D. ，长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，故选项符合题意； 故选：． 【典例1】．．下列事件中，属于确定事件是（   ） A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 【答案】D 【分析】此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【解析】A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖，是随机事件，故A不符合题意； B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息，是随机事件，故B不符合题意； C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进，是随机事件，故C不符合题意； D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球，是不可能事件，即是确定事件，故D符合题意； 故选：D． 【典例1】．．下列事件中，随机事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C．任取一个实数，它的平方小于零 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【解析】解：A、直线与直线不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意； B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意； C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，符合题意； 故选：D． 【典例1】．．指出下列事件是必然事件、随机事件，还是不可能事件：任意掷一枚骰子，“出现的点数是6”是 ，“出现的点数是7”是 ，“出现的点数是整数”是 【答案】 随机事件 不可能事件 必然事件 【分析】随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不发生的事件；必然事件：在一定条件必发生的事件； 结合实际可知，任意掷一枚骰子，会出现6种情况分别是：1点、2点、3点、4点、5点、6点，再根据上述定义进行求解即可. 【解析】任意掷一枚骰子，会出现6种情况分别是：1点、2点、3点、4点、5点、6点， 故任意掷一枚骰子，“出现的点数是6”是随机事件，“出现的点数是7”是不可能事件，“出现的点数是整数”是必然事件. 【点睛】本题考查事件类型的判定，掌握随机事件、必然事件和不可能事件的定义是关键. 题型2:事件可能性的大小 【典例1】．．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯秒，左转绿灯秒，红灯秒，黄灯秒．出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（  ） A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯 【答案】C 【分析】本题考查了判断发生可能性的大小，根据题意可得红灯的时间最长，则遇到哪一种灯的可能性最大，据此，即可求解． 【解析】解：依题意，红灯的时间最长，则遇到哪一种灯的可能性最大， 故选：C． 【典例1】．．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案． 【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面朝上与反面朝上的可能性一样大， 故选：C． 【典例1】．．估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小： ①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．本题主要考查可能性的大小，随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即（必然事件）； ②不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）； ③如果为不确定事件（随机事件），那么（A）． 【解析】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②煮熟的鸭子飞了，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 【典例1】．．从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了事件发生的可能性的大小，分别求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量，根据牌数多的事件发生的可能性大即可求解，求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量是解题的关键． 【解析】解：一副扑克牌共有张，其中“”牌有张，“红心”有张，“黑色的”牌有张，牌数多的事件发生的可能性大，所以将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 【典例1】．．有左、右两个抽屉，左边抽屉有个红球和个白球，右边抽屉有个红球和个白球，从左、右两个抽屉中各取一球，从哪一个抽屉中取出的球是红球的可能性更大？ 【答案】左边 【分析】本题考查了可能性大小，根据概率的相关知识进行解答即可． 【解析】解：两个抽屉都有个球，但左边抽屉的红球比右边抽屉的红球多， 从左边抽屉中取出一球是红球的可能性更大． 题型3:事件可能性的大小—图形问题 【典例1】．0．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 【答案】绿 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最少．哪一种颜色少，指针指向那种颜色的可能性就小． 【解析】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向绿颜色的可能性小， 故答案为：绿． 【典例1】．．比较下列随机事件发生的可能性大小． (1)如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指向灰色区域和指向白色区域；    (2)小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将一枚硬币掷两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜． 【答案】(1)指针指向灰色区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小 (2)两人获胜的可能性一样 【分析】(1)根据灰色区域的面积和白色区域面积的大小，判断可能性的大小； (2)首先求出将一枚硬币掷两次出现的结果，然后根据两次朝上的面相同和不同的结果数，判断可能性的大小. 【解析】（1）∵白色区域的面积比灰色区域的面积大， ∴指针指向灰色区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小， （2）将一枚硬币掷两次，有（正，正），（正，反），（反，反），（反，正）4种等可能的结果， 两次朝上的面相同的有2种，两次朝上的面不同的有2种，所以两人获胜的可能性一样． 【点睛】此题考查了随机事件的可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键. 【典例1】．．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 【答案】 ⑤ ④ ② ① 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为1即为一定能摸到； （2）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较大的，摸到的可能性较大，即可求解 （3）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较小的，摸到的可能性较小，即可求解 （4）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为0即为一定不能摸到，即可得解； 【解析】（1）⑤中20个球中，全部为红球，摸到红球的概率为，是必然事件，故一定能摸到 故答案为：⑤ （2）④中红球数较多，20个球中有18个红球，能摸到且摸到的可能性较大，概率为 故答案为：④ （3）②中红球数较少，20个球中有2个红球，能摸到且摸到的可能性较小，概率为， 故答案为：② （4）①中20个球中，没有红球，不可能摸到红球，是不可能事件； 故答案为：① 题型4:概率的综合辨析 【典例1】．．下列说法正确的是（    ） A．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 B．天气预报“明天降水概率为，是指明天有的时间会下雨 C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，反面朝上的次数一定是50次 【答案】A 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键． 根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故A正确； B、天气预报“明天降水概率，是指明天有的概率会下雨，故B错误； C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，故D错误． 故选：A． 【典例1】．．某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答． 【解析】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D 【典例1】．．下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据相应的概率判断出事件类型再进行解答即可． 【解析】解：A. “抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖，故此选项错误； B、小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是，故此选项错误； C、“任意画一个四边形，其内角和是”是确定事件，故原说法错误， D. “天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大，说法正确，符合题意； 故选：D． 【典例1】．．关于“明天是晴天的概率为”，下列说法正确的是（   ） A．明天一定是晴天 B．明天一定不是晴天 C．明天的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大 【答案】D 【分析】本题主要考查概率的定义及对其的理解，深刻理解概率表示事件发生可能性的大小是解题关键．根据概率的定义：概率表示事件发生可能性的大小，据此判断即可得． 【解析】解：明天是晴天的概率为，说明明天是晴天的可能性很大， 故选：D． 题型5:必然事件、不可能事件和随机事件的概率 【典例1】．．“水中捞月”这个事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，“水中捞月”是不可能事件，据此即可求解，理解概率的意义是解题的关键． 【解析】解：“水中捞月”是不可能事件， ∴“水中捞月”这个事件发生的概率是， 故选：． 【典例1】．．某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是掌握随机事件的取值范围． 根据随机事件的取值范围是求解即可． 【解析】解：随机事件的取值范围是， ∴某随机事件发生的概率的值不可能是1． 故选：D． 【典例1】．．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【解析】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 【典例1】．0．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1 D．概率很小的事件可能发生 【答案】C 【分析】根据必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0 ，随机事件发生的概率大于0，小于1 ，分别判断，即可确定正确的选项． 【解析】解：A、必然事件发生的概率为1，故A选项正确，不符合题意； B、 不可能事件发生的概率为0 ，故B选项正确，不符合题意； C、随机事件发生的概率大于0，小于1 ，故C选项错误，符合题意； D、概率很小的事件发生的可能性小，故D选项正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】此题考查了判断事件发生可能性的大小，解题的关键是熟练运用三种事件发生概率数值的大小来判断． 【典例1】．．下列说法正确的是（　　　） A．不可能事件发生的概率为 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次 【答案】A 【分析】根据必然事件是指在任何条件下都会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1以及概率的意义进行逐一判断即可． 【解析】解：A、不可能事件发生的概率为，原说法正确，符合题意； B、随机事件发生的概率在0到1之间，原说法错误，不符合题意； C、概率很小的事件可能发生，原说法错误，不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件的概念，概率的意义．必然事件是指在一定条件下，肯定会发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型6:根据概率公式计算概率的大小—数字问题 【典例1】．．从2，3，4，5，6中任取一个数，是素数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，质数又称素数，是只能被1和自身整除的自然数，因此2、3、5是素数，进一步计算概率即可． 【解析】解：2，3，4，5，6中2，3，5是素数， 故从2，3，4，5，6中任取一个数，是素数的概率是． 故答案为：． 【典例1】．．从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了素数和合数的定义，以及根据概率公式计算概率，分析出从中，一共个数，其中既不是素数，也不是合数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】解：从中，一共个数，其中既不是素数，也不是合数， ∴从中随机抽取个数，既不是素数，也不是合数的概率为：． 故答案为：． 【典例1】．．从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．先确定无理数的个数，再除以总个数． 【解析】解：，0，3中，是无理数， 则这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是． 故答案为：． 【典例1】．．从4、6、8这三个数字中任选两个数组成一个两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能够被3整除的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图与列表法求概率，通过树状图把所有可能的情况都列出来，然后利用概率公式求解即可． 【解析】解：从这三个数中任选两个数，画树状图得， 由树状图可以看出，组成的两位数共有6种等可能的情况，其中能被3整除的两位数只有两种情况， （能被3整除）． 故答案为：． 题型7:根据概率公式计算概率的大小 【典例1】．．在抽签中，设抽中的概率是，则抽不中的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了事件的概率，理解事件发生的概率与事件不发生的概率和为是解题的关键． 【解析】解：抽不中的概率是， 故答案为：． 【典例1】．．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题的关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【解析】∵连续抛掷一枚硬币，有种等可能结果：正面朝上，反面朝上，其中正面向上的只有种情况， ∴正面朝上的概率为：． 故答案为：． 【典例1】．．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【解析】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 【典例1】．．一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别，则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，正确理解概率的计算方法是解答本题的关键．根据概率的计算公式，即得答案． 【解析】一个布袋中放着12个黑球和8个红球， 从布袋中任取1个球，取出红球的概率． 故答案为：． 【典例1】．0．在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到“K”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解；能用列举法求简单概率是解题的关键． 【解析】解：任意抽取一张牌共有种结果，其中，抽到“K”有种结果， ， 故答案为：． 【典例1】．．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是概率类型的题目，熟悉必然事件，不可能事件，随机事件的概率是解题的关键．先确定事件、事件、事件分别是随机事件、必然事件、不可能事件，接下来结合随机事件、必然事件、不可能事件的相关知识分别求出、、的取值，对其排序，即可完成解答． 【解析】解：事件：买体育彩票中一等奖，是随机事件，故； 事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，故； 事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化是不可能事件，． 所以，． 故选：B． 【典例1】．．从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，三角形、四边形以及圆的定义，概率公式，掌握相关知识点是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断，再根据概率公式计算即可． 【解析】解：“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有“矩形”、“菱形”、“圆”三个， 则任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 题型8:根据概率公式计算概率的大小—图形、几何问题 【典例1】．．如图，是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“III”区域内的概率是 ．    【答案】 【分析】观察转盘可得，第“III”区域所在的扇形的圆心角为，该扇形的面积与圆的面积的比值即为指针落在“III”区域内的概率，扇形的面积与圆的面积的比实质就是扇形的圆心角与周角的比． 【解析】解：当转盘停止转动后，指针落在“III”区域内的概率是：． 【点睛】本题考查了几何概率，属于基础题． 【典例1】．．如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【解析】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 【典例1】．．一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    【答案】/0.5 【分析】本题考查了几何概率，直接根据概率公式求解即可． 【解析】解：指针指向蓝色区域的概率， 故答案为：． 【典例1】．．如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计正方形和空白部分的面积，然后计算空白部分的面积与整个图形的面积的比即可解答． 【解析】解：∵整个正方形的面积为，空白部分的面积为：， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选：B． 【典例1】．．如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； 根据题意，求得正方形的面积，再求得阴影部分面积，进而求解； 【解析】解：阴影部分面积为：， 正方形面积为：， 落在阴影部分中的概率为； 故选：C 【典例1】．．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求几何概率，勾股定理应用，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算出大正方形面积和阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【解析】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∴， 中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 一、单选题 1．下列事件中，是随机事件的是（    ）． A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7 B．如果m、n都是实数，那么 C．如果，那么 D．在标准大气压下，温度低于0℃时冰不会融化 【答案】C 【分析】利用随机事件是可能发生的事件，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件逐一选项判断即可． 【解析】解：A、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7，是必然事件，不合题意； B、如果m、n为实数，那么是一定发生的，是必然事件，不合题意； C、如果，那么或者或者，是随机事件，符合题意； D、在标准大气压下，温度低于0℃时冰不会融化，是必然事件，不合题意； 【点睛】该题考查的是对随机事件、必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．购买 1 张体育彩票中奖 B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C．汽车累积行驶 10000km，从未出现故障 D．从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标 【答案】B 【分析】直接利用不可能事件的定义逐一判断即可； 【解析】解：A. 购买 1 张体育彩票中奖是随机事件，不符合题意； B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，符合题意； C. 汽车累积行驶 10000km，从未出现故障，是随机事件，不符合题意； D. 从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标，是随机事件，不符合题意； 故选择：B 【点睛】本题主要考查不可能事件，随机事件的定义，正确地理解随机事件和不可能事件的定义是解题的关键． 3．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（    ）. A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【解析】∵某班有25名男生和24名女生， ∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为=， 女生当选的可能性为=， ∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性． 故选B． 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 4．下列事件中，是确定事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意买一张电影票座位是在第一排 D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯 【答案】A 【解析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可． 【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球，为确定事件，故符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，即随机事件，故不符合题意； C、任意买一张电影票座位是在第一排，即随机事件，故不符合题意； D、汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯，随机事件，故不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了确定事件和随机事件的定义，正确理解定义是解题的关键． 5．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【解析】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 6．若某随机事件发生的概率为，则该事件在一次试验中（   ） A．一定不发生 B．可能发生，也可能不发生 C．一定发生 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了概率，概率是反映事件发生机会的大小的概念，可能发生也可能不发生，理解概率的定义是解题的关键． 【解析】解：∵某随机事件发生的概率为， 根据概率的意义可知，该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生， 故选：． 7．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（   ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖 【答案】B 【解析】略 8．下面说法正确的是（    ） A．某彩票的中奖概率是，买20张彩票一定会有1张中奖 B．小明做了5次掷图钉的试验，其中3次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率是 C．掷一枚质地均匀的硬币，前2次都是正面朝上，小亮认为第3次正面朝上的概率是 D．400人中有两人的生日在同一天是不可能事件 【答案】C 【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解析】解：A、某彩票的中奖概率是，买20张彩票不一定会有1张中奖，原说法错误，不符合题意； B、小明做了5次掷图钉的试验，其中3次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率不一定是，，原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，前2次都是正面朝上，小亮认为第3次正面朝上的概率是，原说法正确，符合题意； D、400人中有两人的生日在同一天是必然事件，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了概率的意义，模拟实验，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 9．小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的意义判断即可． 【解析】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的意义和计算，抛一枚质地均匀的硬币时，每次正面朝上和反面朝上的概率都是相同的． 10．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【解析】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 二、填空题 11．下列事件：①任意画一个三角形，其内角和为180°；②在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6．其中是随机事件的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据事件发生的可能性的大小逐个进行判断即可． 【解析】解：①：任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，不符合题意； ②：平面内两直线的位置关系有相交、平行或重合，因此在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交为随机事件，符合题意； ③：掷一枚质地均匀的骰子，出现的结果有六种，向上一面的点数是6此为随机事件，符合题意； 故答案为②③． 【点睛】本题考查的是必然事件、随机时间的概念，熟练掌握相关概念及区别是解题的关键． 12．如图，是可以自由转动的一个转盘，转动这个转盘，当它停下时，指针落在标有号码 上的可能性最大． 【答案】5 【解析】试题解析：∵号码是5的扇形所占的面积最大， ∴指针落在标有号码5上的可能性最大． 故答案为5． 点睛：可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 13．一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小． 【答案】 红 白 【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可． 【解析】解：球的总数：5+4+3=12（个） 摸到红球的可能性： 摸到黄球的可能性： 摸到白球的可能性： 所以摸到红球的可能性大，摸到白球的可能性小． 故答案为：红，白． 【点睛】本题主要考查可能性的求法，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论． 14．任意写出一个两位数，个位上的数字恰好是5的概率的是 . 【答案】 【分析】列举出个位数上数字的所有情况即可求得个位数字是5的概率． 【解析】解：个位上的数字共0～9十种情况， 故P（个位数字是5）＝， 故答案为. 【点睛】本题考查了概率的公式，属于概率问题的基础知识，比较简单． 15．某校体育室里有球类数量如下表，如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是 ． 球类 篮球 排球 足球 数量 3 5 4 【答案】 【分析】根据表中的数据，可知一共有12个球，足球只有4个，利用概率公式，可解答． 【解析】解:∵共有3+5+4=12个球，其中足球有4个，∴拿出一个球是足球的可能性是  =  ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查可能性的大小解题关键是找出所有结果和符合要求的事件发生的次数. 16．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】用抽到的数是3的倍数的结果数除以所有等可能结果数即可． 【解析】解：∵任意抽取一个数字共有10种等可能结果，其中抽到的数是3的倍数的有3、6、9这3种结果， ∴抽到的数是3的倍数的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 17．小明把如图所示的矩形纸板ABCD挂在墙上，E为AD中点，且∠ABD＝60°，并用它玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【解析】试题分析：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等， 又∵E为AD中点， ∴S△ODE=S△OAD， ∴S△ODE=S矩形纸板ABCD， ∴击中阴影区域的概率是． 考点：几何概率． 18．如果从－３，－２，－１，０，１这５个数中任取一个数记作，则关于的一元二次方程有实数根的概率是 . 【答案】 【解析】试题解析：方程有实数根， 解得： 且 在这5个数字中满足条件的只有一个数1. 概率为. 故答案为. 三、解答题 19．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)太阳从西边落山； (2)某人的体温是100 ℃； (3)a2＋b2＝0； (4)某个等腰三角形中任意两个角都不相等； (5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【答案】(1) “太阳从西边落山”是必然事件；(2) “某人的体温是100 ℃”是不可能事件；(3) “a2＋b2＝0”是随机事件；(4) “某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件；(5) “经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件． 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【解析】解：(1)根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件． (2)因为正常人体的体温都在37 ℃左右，所以“某人的体温是100 ℃”是不可能事件． (3)当a=b=0时，a2＋b2=0，当a，b中至少有一个不等于0时，a2＋b2为正数，所以“a2＋b2=0”是随机事件． (4)根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件． (5)经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 20．有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色． (1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）； (2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）． 【答案】(1)④；② (2)②③①④ 【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【解析】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色为， ∴可能性最大的是④，可能性最小的事件是②， 故答案为：④；②； （2）由（1）得：②＜③＜①＜④， 故答案为：②③①④． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 21．英文字母中，元音字母包含：a，e，i，o，u．现用 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard，and you will succeed”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列： （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”． 【答案】用 分别表示事件（）（）（）发生的可能性大小，则 【分析】分别求出三个事件发生的可能性，再比较即可． 【解析】解：用 分别表示事件（）（）（）发生的可能性大小，则 ，，， ∴． 【点睛】本题考查事件发生的可能性，关键是掌握求可能性的方法． 22．如图所示，有一个转盘被分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求下列事件的概率: (1)指针指向绿色； (2)指针指向红色或黄色； (3)指针不指向红色． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由转盘分成4个相同的图形，即共有4种等可能的结果，绿色的有1部分，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）红色或黄色的共有3部分，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）不指向红色的，即绿色或黄色的共有2部分，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】（1）解：转盘分成4个相同的图形，即共有4种等可能的结果， 绿色的有1部分， 指针指向绿色的概率为：； （2）解：红色或黄色的共有3部分， 指针指向红色或黄色的概率为：； （3）解：不指向红色的，即绿色或黄色的共有2部分， 指针不指向红色的概率为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，解题的关键是注意概率所求情况数与总情况数之比． 23．根据你的经验，分别求下列事件的概率： (1)在一个不透明的袋中装有红球3个，白球2个，黑球1个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出1个球，取到红球的概率． (2)投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为7的概率． (3)投掷两枚普通硬币，出现两个正面的概率． 【答案】(1)取到红色球的概率为 (2)出现的点数为7的概率是0 (3)出现两个正面的概率为 【分析】（1）用红球的个数除以球的总个数可得； （2）可判断该事件为不可能事件，其概率为0； （3）列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解析】（1）解：∵袋子中共有6个球，其中红色球有3个， ∴取到红色球的概率为=； （2）解：∵投掷一枚普通正方体骰子，不可能出现7点， ∴出现的点数为7的概率是0； （3）解：投掷两枚普通硬币，有4种情况：（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反），出现两个正面只有一种情况， ∴出现两个正面的概率为． 【点睛】本题主要考查概率公式，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解题的关键． 24．端午节小明妈妈包了4个蛋黄粽子，6个八宝粽子，10个红枣粽子，从外观上看，它们都一样． （1）小明吃一个就能吃到蛋黄粽子的概率是______； （2）爸爸、妈妈每人吃了2个粽子，都没有吃到蛋黄粽子，之后小明吃粽子 ①小明第一个就吃到蛋黄粽子的概率是________； ②如果小明第一个吃到了蛋黄粽子，那么他再吃一个，依然吃到蛋黄粽子的概率是多少？ 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【解析】解：（1）小明吃一个就能吃到蛋黄粽子的概率是； （2）①小明第一个就吃到蛋黄粽子的概率是； ②如果小明第一个吃到了蛋黄粽子，那么他再吃一个，依然吃到蛋黄粽子的概率是． 【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是确定总数的数量． 25．请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 【答案】（1）0；（2）1；（3）；（4）．图中表示见解析． 【分析】（1）先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为0求解； （2）先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为1求解； （3）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值； （4）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值．然后依次标在图中即可． 【解析】（1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1为不可能事件，其概率为0； （2）为必然事件，其概率为1； （3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球，是随机事件，其概率为； （4）如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内的概率为； 如图所示： 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 概率初步（第1课时）(八大题型） 学习目标 1.了解事件的分类，会判断一个现象属于什么事件. 2.会比较事件可能性的大小. 3.知道概率的意义，掌握用概率公式计算概率. 一、确定事件和随机事件 （1）在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件。 例如：从地面上抛出的篮球会落下；地球绕太阳公转等。 （2）在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件。 例如：明天太阳从西边出来;有人把石头孵出了小鸡。 （3）必然事件和不可能事件统称为确定事件。 （4）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件，例如将要过马路时恰好遇到红灯;过打开电视正在放广告。 二、事件发生的可能性 （1）要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. （2）随机事件可能性的大小 例：某人随意经过这一路口时，正好遇到某种颜色的信号灯，是随机事件.因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小. 这是通过比较各种结果发生所占有的时间长短来判断的.一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定. 三、概率： 引入：天气预报是根据已有的气象资料和经验，对天气情况作出的判断.预报“上海地区明天降水概率80%”,就是说上海地区明天降水有“80%的可能”。 （1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率. （2）分别用、、表示必然事件、不可能事件和随机事件，则 不可能事件的概率为0，即；必然事件的概率为1，； 随机事件的概率介于0到1之间，。 必然事件、不可能事件和随机事件的概率的取值情况，用线段图表示如下(如图23-1): 4、 概率的计算 （1）等可能试验 如果一项可以反复进行的试验具有以下特点： a.试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；b.任何两个结果不可能同时出现， 那么这样的的试验叫做等可能试验。 （2）概率计算公式：如果试验共有n个等可能结果，事件A包含其中k个结果，则事件A的概率。 （3）不确定事件发生的可能性的计算方法和步骤 （a）列出所有可能发生的结果，并判定多个结果发生的可能性相等 （b）确定所有可能发生的结果个数为n和其中出现所求事件的结果个数m （c）计算所求事件发生的可能性： 【即学即练1】指出下列事件中是必然事件的是（    ） A．某人射击一次，中靶 B．抛掷两颗骰子，点数之和为16 C．设，为实数，如果，那么 D．从分别写有号数1，2，3的3张标签中，任取一张，得到1号签 【即学即2】把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【即学即练3】掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【即学即练4】下列说法错误的是（  ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0、小于1 D．概率很小的事件不可能发生 【即学即练5】从中随机抽取1个数，既不是素数，也不是合数的概率为 ． 题型1:事件的分类 【典例1】．．下列事件为必然事件的是（     ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形 【典例2】．．下列事件中，属于确定事件是（   ） A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 【典例3】．．下列事件中，随机事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C．任取一个实数，它的平方小于零 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 【典例4】．．指出下列事件是必然事件、随机事件，还是不可能事件：任意掷一枚骰子，“出现的点数是6”是 ，“出现的点数是7”是 ，“出现的点数是整数”是 题型2:事件可能性的大小 【典例5】．．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯秒，左转绿灯秒，红灯秒，黄灯秒．出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（  ） A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯 【典例6】．．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 【典例7】．．估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小： ①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【典例8】．．从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【典例9】．．有左、右两个抽屉，左边抽屉有个红球和个白球，右边抽屉有个红球和个白球，从左、右两个抽屉中各取一球，从哪一个抽屉中取出的球是红球的可能性更大？ 题型3:事件可能性的大小—图形问题 【典例10】．．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 【典例11】．．比较下列随机事件发生的可能性大小． (1)如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指向灰色区域和指向白色区域；    (2)小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将一枚硬币掷两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜． 【典例12】．．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 题型4:概率的综合辨析 【典例13】．．下列说法正确的是（    ） A．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 B．天气预报“明天降水概率为，是指明天有的时间会下雨 C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，反面朝上的次数一定是50次 【典例14】．．某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【典例15】．．下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【典例16】．．关于“明天是晴天的概率为”，下列说法正确的是（   ） A．明天一定是晴天 B．明天一定不是晴天 C．明天的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大 题型5:必然事件、不可能事件和随机事件的概率 【典例17】．．“水中捞月”这个事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例18】．．某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 【典例19】．．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【典例20】．．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1 D．概率很小的事件可能发生 【典例21】．．下列说法正确的是（　　　） A．不可能事件发生的概率为 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次 题型6:根据概率公式计算概率的大小—数字问题 【典例22】．．从2，3，4，5，6中任取一个数，是素数的概率是 ． 【典例23】．．从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为 【典例24】．．从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是 ． 【典例25】．．从4、6、8这三个数字中任选两个数组成一个两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能够被3整除的概率是 ． 题型7:根据概率公式计算概率的大小 【典例26】．．在抽签中，设抽中的概率是，则抽不中的概率是 ． 【典例27】．．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 【典例28】．．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【典例29】．．一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别，则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 【典例30】．．在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到“K”的概率是 ． 【典例31】．．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例32】．．从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为 ． 题型8:根据概率公式计算概率的大小—图形、几何问题 【典例33】．．如图，是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“III”区域内的概率是 ．    【典例34】．．如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【典例35】．．一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    【典例36】．．如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（   ）. A． B． C． D． 【典例37】．．如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例38】．．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 一、单选题 1．下列事件中，是随机事件的是（    ）． A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7 B．如果m、n都是实数，那么 C．如果，那么 D．在标准大气压下，温度低于0℃时冰不会融化 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．购买 1 张体育彩票中奖 B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C．汽车累积行驶 10000km，从未出现故障 D．从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标 3．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（    ）. A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 4．下列事件中，是确定事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意买一张电影票座位是在第一排 D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯 5．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 6．若某随机事件发生的概率为，则该事件在一次试验中（   ） A．一定不发生 B．可能发生，也可能不发生 C．一定发生 D．以上都不对 7．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（   ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖 8．下面说法正确的是（    ） A．某彩票的中奖概率是，买20张彩票一定会有1张中奖 B．小明做了5次掷图钉的试验，其中3次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率是 C．掷一枚质地均匀的硬币，前2次都是正面朝上，小亮认为第3次正面朝上的概率是 D．400人中有两人的生日在同一天是不可能事件 9．小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列事件：①任意画一个三角形，其内角和为180°；②在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6．其中是随机事件的是 ．（填序号） 12．如图，是可以自由转动的一个转盘，转动这个转盘，当它停下时，指针落在标有号码 上的可能性最大． 13．一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小． 14．任意写出一个两位数，个位上的数字恰好是5的概率的是 . 15．某校体育室里有球类数量如下表，如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是 ． 球类 篮球 排球 足球 数量 3 5 4 16．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是 ． 17．小明把如图所示的矩形纸板ABCD挂在墙上，E为AD中点，且∠ABD＝60°，并用它玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是 ． 18．如果从－３，－２，－１，０，１这５个数中任取一个数记作，则关于的一元二次方程有实数根的概率是 . 三、解答题 19．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)太阳从西边落山； (2)某人的体温是100 ℃； (3)a2＋b2＝0； (4)某个等腰三角形中任意两个角都不相等； (5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 20．有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色． (1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）； (2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）． 21．英文字母中，元音字母包含：a，e，i，o，u．现用 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard，and you will succeed”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列： （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”． 22．如图所示，有一个转盘被分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求下列事件的概率: (1)指针指向绿色； (2)指针指向红色或黄色； (3)指针不指向红色． 23．根据你的经验，分别求下列事件的概率： (1)在一个不透明的袋中装有红球3个，白球2个，黑球1个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出1个球，取到红球的概率． (2)投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为7的概率． (3)投掷两枚普通硬币，出现两个正面的概率． 24．端午节小明妈妈包了4个蛋黄粽子，6个八宝粽子，10个红枣粽子，从外观上看，它们都一样． （1）小明吃一个就能吃到蛋黄粽子的概率是______； （2）爸爸、妈妈每人吃了2个粽子，都没有吃到蛋黄粽子，之后小明吃粽子 ①小明第一个就吃到蛋黄粽子的概率是________； ②如果小明第一个吃到了蛋黄粽子，那么他再吃一个，依然吃到蛋黄粽子的概率是多少？ 25．请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$