第13讲 多边形(三类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第13讲 多边形（十一大题型） 学习目标 1、能列出方程（组）解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理. 2、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题. 一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凸多边形 凹多边形 要点： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 二、多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【即学即练1】下列说法中，正确说法有 ①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； ②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角； ③各条边都相等的多边形是正多边形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据多边形的定义、多边形的外角和内角定义、正多边形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：①中缺少“在平面内”这一前提，故错误． ②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误． ③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误． 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的定义、多边形的外角和内角定义、正多边形的定义，熟记这些定义是解题的关键． 【即学即练2】六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形的内角和，把数据代入公式解答即可，熟练掌握多边形内角和公式是解决此题的关键． 【解析】解：∵多边形的内角和， ∴六边形的内角和， ∴任意六边形的内角和是， 故选：． 【即学即练3】正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正多边形的边数，用外角和除以正多边形的一个外角即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【解析】解：这个多边形的边数是， 故选：． 【即学即练4】若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：，解得． 多边形的边数为12，即它是十二边形． 故答案为：12． 【即学即练5】若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形外角和定理和一元一次方程的应用，熟练掌握相关概念是解题的关键，设该正多边形的外角为度，则其相邻的一个内角为度，列出方程即可求得该正多边形的外角度数，再根据多边形外角和定理即可求解． 【解析】解：设该正多边形的一个外角为度，则其相邻的一个内角为度， ， 解得， 该正多边形的外角为， 该正多边形的边数为：， 故答案为：9． 题型1：多边形的概念 【典例1】．如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【解析】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【典例2】．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的判断，根据四边形的定义解答即可．即由四条线段首位顺次相接，就组成了四边形． 【解析】解：图B是四边形，符合题意． 故选：B． 【典例3】．下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 根据正多边形的定义依次判定各项后即可解答． 【解析】解：直角三角形，长方形，圆不是正多边形，正方形是正多边形． 故选：B． 【典例4】．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【解析】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 题型2：多边形的内角和 【典例5】．凸七边形的内角和是 度． 【答案】900 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【解析】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 【典例6】．十二边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和的求法，据多边形内角和公式解答即可; 【解析】解：十二边形的内角和为， 故选：C． 【典例7】．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【解析】设这个多边形是n边形，由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 故答案为：十二． 【典例8】．若一个多边形的内角和为，则这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式．根据多边形的内角和公式求出多边形的边数即可． 【解析】设所求正n边形边数为n， 则， 解得． 故选：C 【典例9】．若正边形的每一个内角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键． 根据正多边形的内角和定理列出方程求解． 【解析】解：正边形的每一个内角为， 则正边形的内角和为， ， 整理得， 解得． 故答案为：10． 【典例10】．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式即可得． 【解析】解∶∵六边形的内角中有一个内角为， ∴其余五个内角之和为， 故答案为∶ ． 题型3：多边形的外角和 【典例11】．已知一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形是正 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和是是解题的关键． 根据正多边形的每一个外角都相等，正多边形的边数，计算即可求解． 【解析】解：这个正多边形的边数为， 故这个正多边形是正十二边形． 故答案为：十二． 【典例12】．若一个正多边形的边数是12，则这个正多边形的一个外角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要查了正多边形的外角问题．用除以12，即可求解． 【解析】解：． 故答案为： 【典例13】．一个边形的每个外角都是，则这个边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正五边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和为计算即可得解． 【解析】解：∵一个边形的每个外角都是， ∴这个边形的边数是，即这个边形是正八边形， 故选：C． 【典例14】．如果一个多边形的每个外角都是20度，它是 边形． 【答案】十八 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角的等于． 根据题意列出算式，即可得到多边形的十八边形． 【解析】解：∵多边形的外角的等于， ∴， ∴多边形的十八边形， 故答案为：十八． 题型4：多边形的内角和与外角和综合 【典例15】．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质． 首先设此正多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以11，根据多边形外角和为即可求得答案． 【解析】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∵多边形外角和为，正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的一个外角的度数为：． 故答案为：． 【典例16】．若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形外角和定理和一元一次方程的应用，熟练掌握相关概念是解题的关键，设该正多边形的外角为度，则其相邻的一个内角为度，列出方程即可求得该正多边形的外角度数，再根据多边形外角和定理即可求解． 【解析】解：设该正多边形的一个外角为度，则其相邻的一个内角为度， ， 解得， 该正多边形的外角为， 该正多边形的边数为：， 故答案为：9． 【典例17】．一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是1.5×360°=540°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n-2）×180°=1.5×360°， 解得：n=5． 即这个多边形为五边形． 故选B． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n-2）•180°． 【典例18】．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多，则它是正 边形． 【答案】九 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和的综合问题，利用方程思想解答是解题的关键．设外角为，则内角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【解析】解：设外角为，则内角为， 由题意，得， 解得， ∴， ∴这个正多边形的边数是9． 故答案为：九 【典例19】．在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据四边形的外角和等于360°可判断出外角中最多有三个钝角，而外角与相邻的内角是互补的，因此，四边形的内角中最多有3个锐角. 【解析】因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度， 多边形的内角中就最多有3个锐角． 故选B． 【点睛】本题考查了四边形的外角和定理和外角与内角的关系，把内角问题转化成外角问题是解答的关键. 题型5：多边形对角线的条数问题 【典例20】．若一个正多边形的一个外角是，则从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作 条对角线． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，多边形对角线条数问题，根据正多边形外角和为360度求出边数，再根据从n边形一个顶点出发最多可以作条对角线进行求解即可． 【解析】解：∵一个正多边形的一个外角是， ∴这个多边形的边数为， ∴从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作条对角线， 故答案为：9． 【典例21】．若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的对角线有 条． 【答案】35 【分析】本题主要考查了多边形的外角定理和对角线的求解，准确运用公式计算是解题的关键．先判断出多边形是十边形，再根据对角线公式计算即可． 【解析】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴每个外角是， ∴，即此多边形是十边形， 而十边形的对角线共有， 故有对角线35条， 故答案为：35． 【典例22】．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形对角线有条，据此求出多边形的边数，再根据多边形的内角和定理即可求解，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【解析】解：设这个多边形是边形，由题意得： ， ∴， ∴这个多边形的内角和， 故答案为：． 【典例23】．多边形从一个顶点出发可引出条对角线，这个多边形的内角和为 ． 【答案】/1260度 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【解析】解：多边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 【典例24】．一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条． 【答案】6 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可． 【解析】解：设此多边形的边数为， 由题意得:， 解得：， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数: 故答案为: 6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 题型6：对角线分成三角形的个数问题 【典例25】．．若某多边形从一个顶点引对角线把多边形分出6个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，边形从一个顶点一共可引出条对角线，可把多边形分成个三角形，根据结论即可即可解题． 【解析】解：某多边形从一个顶点引对角线把多边形分出6个三角形，则这个多边形的边数是，则这个多边形是八边形； 故选：C 【典例26】．．一个十边形可以分割成三角形的个数最少为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把多边形分成个三角形进行计算． 【解析】解：一个十边形至少可以分割成三角形的个数为：． 故选：C 【典例27】．．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【解析】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 题型7 ：增加边数或截去一个内角等问题 【典例28】．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（    ） A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180° 判断即可． 【解析】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°， ∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键． 【典例29】．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（    ）． A．160° B．140° C．200° D．20° 【答案】A 【分析】设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解． 【解析】解：设多边形的边数是n，没加的内角为x， 根据题意得：， ∵， ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键． 【典例30】．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【解析】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【典例31】．一个多边形，边数每增加1，内角和是（    ） A．不变 B．增加1 º C．增加180 º D．增加360 º 【答案】C 【分析】设原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n+1．根据多边形的内角和定理即可求得． 【解析】设原来的多边形的边数是n， n边形的内角和是(n-2)•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是(n+1-2)•180°， 则(n+1-2)•180°-(n-2)•180°=180°， 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理. 【典例32】．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【解析】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【典例33】．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【解析】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 【典例34】．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【解析】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 题型8： 复杂的图形问题 【典例35】．如图，在六边形中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形外角和求解即可． 【解析】解： ， ， 故选：C 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和是解题的关键． 【典例36】．如图， ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，连接，设交于点，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解． 【解析】解：如图所示，连接，设交于点   在和中，， ， ． 故答案为：． 【典例37】．如图，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的内角和得，，，再根据，，代入整理即可． 【解析】解：如图， 由四边形的内角和得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和与三角形外角的性质是解题关键． 【典例38】．如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则 度． 【答案】270 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【解析】解：连接BD， ∵∠BCD=90°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-90°=90°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-90°=270°， 故答案为：270． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 【典例39】．如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，继而得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解． 【解析】解：由题意得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，外角和问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典例40】．一个正方形，一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若，则 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理；根据正多边形的内角以及三角形的外角和为度，即可求解． 【解析】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正五边形的每一个内角为， ∵，， ∴， 故答案为：． 【典例41】．如图1，为度，如图2，为度，则 ．    【答案】0 【分析】将图1原六边形分成两个三角形和一个四边形可得到的值，将图2原六边形分成四个三角形可得到的值，从而得到答案． 【解析】解：如图1，将原六边形分成两个三角形和一个四边形，   ，， 如图2，将原六边形分成四个三角形，   ，， ， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，此类问题通常连接多边形的顶点，将多边形分割成四边形和三角形，通过计算四边形和三角形的内角和，求得多边形的内角和． 【典例42】．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出当时的度数，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【解析】解：正三角形中， ， 正四边形的每个内角为，， 正五边形的每一个内角为，， 正六边形的每一个内角为，， 依次类推，正n边形的每一个内角为， 则， ∴当时，． 故答案为： 【典例43】．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【解析】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 题型9： 图形折叠、裁剪问题 【典例44】．如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】/240度 【分析】根据多边形的内角和公式，是多边形的边数，即可求解． 【解析】解：四边形的内角和为，即，， ∴， ∵剪去后变成五边形， ∴五边形的内角和为，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，掌握多边形内角定理的运用是解题的关键． 【典例45】．如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ． 【答案】/720度 【分析】本题考查三角形外角定理、折叠的性质和四角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解题的关键．根据三角形外角定理得，，，，由折叠可知，，，，则等于四边形的内角和的2倍即可求解． 【解析】解：连接，如图， 则 ∴， 同理，，，， 那么， 由折叠知，，，，， ． 题型10： 多边形的实际应用题 【典例46】．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【解析】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 【典例47】．蜜蜂的蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表，如图，它是由很多个大小几乎相同的正六边形蜂房组成．正六边形的每个外角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的每个外角的度数都相等，且它们的度数之和为360度，据此求解即可． 【解析】解：， ∴正六边形的每个外角是， 故选：C． 题型11：解答题 【典例48】．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【解析】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 【典例49】．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案； （2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：多边形的内角和公式为， ，这个多边形的内角和； （2）解：多边形的内角和公式为，四边形的内角和为， 由题意可得， 解得． 【典例50】．如图，在五边形中，平分，平分． (1)五边形的内角和为______度； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和问题，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理： （1）根据多边形的内角和公式，进行计算即可； （2）根据（1）中结果，求出的度数，角平分线的定义，求出的度数，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【解析】（1）解：； 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【典例51】．如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【典例52】．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【解析】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 【典例53】． (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解； （2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解； （3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解． 【解析】（1）解：由题意得： ，， ． 故答案：． （2）解：①如图2，由折叠得：，， ，， ， ， ． 故答案：． ②如图3，， 理由如下：设与交于， 由①得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）得：， 同理可得：，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键． 一、单选题 1．一个多边形的每一个内角都是 ，这个多边形是（  ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【解析】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n， 解得n＝5， 所以，这个多边形是五边形． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 2．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（     ） A．50° B．100° C．180° D．200° 【答案】C 【解析】如图， ∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°， ∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°． 即五角星五个锐角的度数和是180°. 故选C． 3．一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是（   ）边形（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】根据这个多边形的内角和与外角和相加是540°，列出方程求解即可． 【解析】解：∵一个多边形的内角和与外角和为540°， 设这个多边形的边数为n， 则依题意可得（n-2）×180°+360°=540°， 解得n=3， ∴这个多边形是三边形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题． 4．内角和等于外角和2倍的多边形是（ 　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】本题应先设这个多边形的边数为n，则依题意可列出方程（n﹣2）×180°=360°×2，从而解出n=6，即这个多边形的边数为6． 【解析】解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得， （n﹣2）×180°=360°×2， 解得n=6， ∴这个多边形的边数为6． 故选B． 5．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 (    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】设多边形原有边数为x， 则(2x−2)×180=2160， 2x−2=12，解得x=7， 故本题选C. 6．若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是边形（   ） A．n=8 B．n=9 C．n＞9 D．n≥9 【答案】D 【解析】试题分析：等角n边形的一个外角不大于40°，说明它的每一个外角均小于或等于40°，多边形的外角和是一个固定值：360°，所以该多边形的边数大于或等于． 由题意得，即， 故选D. 考点：本题考查的是多边形的外角和 点评：解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和是360°，与边数无关. 7．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（   　）边形 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为，据此求解即可． 【解析】∵一个多边形最少可分割成五个三角形， ∴这个多边形的边数为， 那么它是七边形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为． 8．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加(   ) A．180° B．360° C．(n-2)·180° D．n180° 【答案】D 【解析】∵n边形的内角和是（n-2）•180°， ∴2n边形的内角和是（2n-2）•180°， ∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n-2）•180°-（n-2）•180°=n180°， 故选D. 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，整式的化简，都是需要熟练掌握的内容． 9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( ) A．90° B．100° C．130° D．180° 【答案】B 【解析】解：如图，∠1=90°-∠BAC； ∠2=120°-∠ACB； ∠3=120°-∠ABC； ∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150° ∵∠3=50° ∴∠1+∠2=100° 故选B 10．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（   ） A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，即可求解． 【解析】解：设新多边形的边数为n，根据题意得：（n-2）×180°=720°， 解得：n=6， ∴原多边形的边数为5或6或7． 故选∶ D 二、填空题 11．若n边形的每个内角都等于150°，则n＝ ． 【答案】12 【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可． 【解析】解：由题意可得：， 解得． 故多边形是12边形． 故答案为12． 【点睛】主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得． 12．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可求解． 【解析】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 13．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为36°，即可求出正多边形的边数即可． 【解析】正多边形的边数是：360°÷36°=10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 14．n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为 【答案】9 【解析】由题意得： （n-2）•180°：360°=7：2， 解得n=9， 故答案为9． 15．从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画 条对角线 【答案】n-3 【解析】从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画（n-3）条对角线， 故答案为n-3. 【点睛】本题考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．这些规律需要牢记． 16．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是 ，顶点的个数是 ，对角线的条数是 ． 【答案】 10 10 35 【解析】设这个多边形是n边形， 则（n-2）•180°=360°×4， 解得n=10， ， 故它的边数是10，顶点个数是10，对角线的条数是35. 点睛：解答本题的关键是记住多边形内角和公式为（n-2）×180°，任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．另外熟练掌握n边形的对角线条数为：（n≥3，且n为整数）． 17．如图所示，求 ． 【答案】900° 【分析】如图（见解析），先根据两个五边形的内角和、三角形的内角和得出3个等式，然后联立相加即可得出答案． 【解析】如图，连接AB、BC 设所求的角度和为x 则 在五边形ABDFH中， 即① 在五边形BCEGI中， 即② 在中，③ ①②③得， 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了五边形的内角和、三角形的内角和定理，通过作辅助线，构造两个五边形和一个三角形是解题关键． 18．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ． 【答案】7 2°或144° 【解析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以 ∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144° 三、解答题 19．几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ 【答案】十四边形的内角和是八边形内角和的2倍. 【解析】试题分析：设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，由题意列方程进行求解即可. 试题解析：设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则这个n边形内角和为：(n-2)×180°， 8边形内角和： (8-2)×180°=1080°， ∴2×1080°=2160°， ∴(n-2)×180°=2160， ∴n=14， 即十四边形的内角和是八边形内角和的2倍. 20．几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形的内角和为1000°？ 【答案】14，不存在 【解析】本题主要考查了多边形的外角和内角. 设n边形的内角和是2160°，根据内角和公式列方程求解即可．再假设n边形内角和为1000°，求解得n不是整数，不符合题意，所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°． 解: 设该多边形为n边形，依题意得 (n－2)·180°=2160° ∴n =14 不存在这样的多边形，理由如下: 假设存在这样的n边形，依题意得 (n－2)·180°=1000° ∴n= ∵ 多边形的边数为正整数 ∴不存在这样的多边形． 21．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为6 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据所给等量关系列出方程，即可求解． 【解析】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得， 即这个多边形的边数为6． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的内角和公式、外角和定理． 22．有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 【答案】12；24. 【分析】设它们的边数分别为x、2x，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即可列方程求解． 【解析】解：设它们的边数分别为x、2x，由题意得 ， 解得， 经检验是分式方程的根 答：这两个多边形的边数为12和24. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： 23．如图所示，六边形中，，且，，求的值． 【答案】14 【分析】如图（见解析），先根据六边形的内角均相等、外角和定理得出，其各外角相等且为，从而可得、、、均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解即可． 【解析】如图，将六边形的三边，，双向延长，得 ∵六边形的内角和是 ∴ ∴该六边形各外角均为 ∴、、、均为等边三角形 ∴ ． 【点睛】本题考查了六边形的内角和与外角和、等边三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造四个等边三角形是解题关键． 24．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题： （1）将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … n ∠α的度数 60° 45° 　 　 　 　 … 　 　 （2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）36°，30°，；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形每个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据（1）中得出的规律，列方程求解即可； 【解析】解：（1）当正多边形有5条边时，每个内角度数=(5-2) ×180°÷5=108°，则∠α=(180°-108°) ÷2=36°=180°÷5； 当正多边形有6条边时，每个内角度数=(6-2) ×180°÷6=120°，则∠α=(180°-120°) ÷2=30°=180°÷6； 由以上两个式子可知，当正多边形有n条边时，每个内角度数； 填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 … n ∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （）° （2）不存在，理由如下： 设存在正n边形使得∠α＝21°， 得∠α＝21°＝（）°． 解得：n＝8，n是正整数，n＝8（不符合题意要舍去）， 不存在正n边形使得∠α＝21°． 【点睛】本题考查了多边形的内角和等腰三角形的性质，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的内角和=（n-2）×180°． 25．附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 【答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=． 【分析】如图，延长BA到F，根据多边形外角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值. 【解析】如图，延长BA到F， ∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角， ∴∠EAF=360°÷5=72°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°， ∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB， ∴α=∠EAF=72°， 同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°， 当正多边形的边数是n时，α=． 故答案为36°；60°；45°； 【点睛】本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键. 26．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S＝∠A1+∠A2+…+∠A6＝360° 理由：连接A1A4 ∵∠1+∠2+∠A1OA4＝180° ∠A5+∠A6+∠A5OA6＝180° 又∵∠A1OA4＝∠A5OA6 ∴∠1+∠2＝∠A5+∠A6 ∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3＝360° ∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3＝360° 即S＝360° （2）延伸探究： ①如图2是二环四边形，可得S＝∠A1+∠A2+…+∠A8＝720°，请你加以证明 ②如图3是二环五边形，可得S＝　 　，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S＝　 　度．（用含n的代数式表示最后的结果） 【答案】（2）①证明见解析；②1080°，. 【分析】（2）①在（1）的基础上类似作辅助线，把要求的所有角转换到一个多边形中，再根据多边形的内角和定理进行求解； ②与①类似求解第一个问号；第二个问号根据二环四边形和二环五边形的计算总结规律即可. 【解析】解：（2）①如图所示，取一点M，连接A1M，A2M ， 则S＝∠A1+∠A2+…+∠A5+∠M+∠1+∠2＝（6﹣2）×180°＝720°， ∵∠A1OA2＝∠A6OA8， ∴∠M+∠1+∠2=∠A6+∠A7+∠A8， ∴S＝∠A1+∠A2+…+∠A8＝720°． ②依此类推，当是二环五边形时，则S＝1080°； 推而广之，二环n边形（n≥3的整数）时，S＝360（n﹣2）． 【点睛】本题考查了新定义运算，多边形的内角和.此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角能够构造到一个多边形中．熟练掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°是解答本题的关键． 39 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 多边形（十一大题型） 学习目标 1、能列出方程（组）解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理. 2、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题. 一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凸多边形 凹多边形 要点： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 二、多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【即学即练1】下列说法中，正确说法有 ①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； ②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角； ③各条边都相等的多边形是正多边形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练2】六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【即学即练4】若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则 ． 【即学即练5】若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是 ． 题型1：多边形的概念 【典例1】．如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【典例4】．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 题型2：多边形的内角和 【典例5】．凸七边形的内角和是 度． 【典例6】．十二边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【典例7】．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是 边形． 【典例8】．若一个多边形的内角和为，则这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．八边形 【典例9】．若正边形的每一个内角为，则 ． 【典例10】．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 题型3：多边形的外角和 【典例11】．已知一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形是正 边形． 【典例12】．若一个正多边形的边数是12，则这个正多边形的一个外角的度数为 ． 【典例13】．一个边形的每个外角都是，则这个边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正五边形 【典例14】．如果一个多边形的每个外角都是20度，它是 边形． 题型4：多边形的内角和与外角和综合 【典例15】．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为 ． 【典例16】．若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是 ． 【典例17】．一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【典例18】．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多，则它是正 边形． 【典例19】．在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型5：多边形对角线的条数问题 【典例20】．若一个正多边形的一个外角是，则从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作 条对角线． 【典例21】．若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的对角线有 条． 【典例22】．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 【典例23】．多边形从一个顶点出发可引出条对角线，这个多边形的内角和为 ． 【典例24】．一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条． 题型6：对角线分成三角形的个数问题 【典例25】．若某多边形从一个顶点引对角线把多边形分出6个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【典例26】．一个十边形可以分割成三角形的个数最少为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例27】．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 题型7 ：增加边数或截去一个内角等问题 【典例28】．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（    ） A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定 【典例29】．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（    ）． A．160° B．140° C．200° D．20° 【典例30】．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【典例31】．一个多边形，边数每增加1，内角和是（    ） A．不变 B．增加1 º C．增加180 º D．增加360 º 【典例32】．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【典例33】．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【典例34】．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 题型8： 复杂的图形问题 【典例35】．如图，在六边形中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例36】．如图， ． 【典例37】．如图，（　　） A． B． C． D． 【典例38】．如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则 度． 【典例39】．如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为 ． 【典例40】．一个正方形，一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若，则 ． 【典例41】．如图1，为度，如图2，为度，则 ．    【典例42】．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【典例43】．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 题型9： 图形折叠、裁剪问题 【典例44】．如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【典例45】．如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ． 题型10： 多边形的实际应用题 【典例46】．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【典例47】．蜜蜂的蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表，如图，它是由很多个大小几乎相同的正六边形蜂房组成．正六边形的每个外角是（   ） A． B． C． D． 题型11：解答题 【典例48】．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【典例49】．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多，求n的值． 【典例50】．如图，在五边形中，平分，平分． (1)五边形的内角和为______度； (2)若，，，求的度数． 【典例51】．如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【典例52】．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【典例53】． (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 一、单选题 1．一个多边形的每一个内角都是 ，这个多边形是（  ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 2．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（     ） A．50° B．100° C．180° D．200° 3．一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是（   ）边形（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 4．内角和等于外角和2倍的多边形是（ 　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 5．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 (    ) A．5 B．6 C．7 D．8 6．若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是边形（   ） A．n=8 B．n=9 C．n＞9 D．n≥9 7．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（   　）边形 A．8 B．7 C．6 D．5 8．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加(   ) A．180° B．360° C．(n-2)·180° D．n180° 9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( ) A．90° B．100° C．130° D．180° 10．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（   ） A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 二、填空题 11．若n边形的每个内角都等于150°，则n＝ ． 12．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为 ． 13．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 ． 14．n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为 15．从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画 条对角线 16．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是 ，顶点的个数是 ，对角线的条数是 ． 17．如图所示，求 ． 18．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ． 三、解答题 19．几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ 20．几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形的内角和为1000°？ 21．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 22．有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 23．如图所示，六边形中，，且，，求的值． 24．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题： （1）将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … n ∠α的度数 60° 45° 　 　 　 　 … 　 　 （2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 25．附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 26．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S＝∠A1+∠A2+…+∠A6＝360° 理由：连接A1A4 ∵∠1+∠2+∠A1OA4＝180° ∠A5+∠A6+∠A5OA6＝180° 又∵∠A1OA4＝∠A5OA6 ∴∠1+∠2＝∠A5+∠A6 ∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3＝360° ∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3＝360° 即S＝360° （2）延伸探究： ①如图2是二环四边形，可得S＝∠A1+∠A2+…+∠A8＝720°，请你加以证明 ②如图3是二环五边形，可得S＝　 　，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S＝　 　度．（用含n的代数式表示最后的结果） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$