黄金卷03（广东省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C B A B C C D 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．2． 12．1． 13．x≥1． 14．2n+8． 15．2π． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．解： ＝0． 17．（1）解：如图所示，∠ABF即为所求； （2）证明：∵CE∥AB， ∴∠BAC+∠ACE＝180°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣∠BAC＝90°＝∠BAF， 在△BAF和△ACE中， ， ∴△BAF≌△ACE（ASA）， ∴BF＝AE． 18．解：（1）如图：道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上， 延长Q1R1交EF于点X，则∠R1XE＝90°， ∵FG＝EP＝1米，道闸升起过程中对边始终保持平行， ∴Q1R1＝1米， ∵AD＝3.6米，FH＝EW＝0.2米， ∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米， ∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米， ∴ER13米， ∴EX1.8米， ∴tan∠R1EN． 答：道闸升起的最大角的正切值为； （2）需要同时升起两个道闸．理由如下： 设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，汽车应从如图位置进入． ∴B′N＝1.9米， 由（1）得：ER＝3米， ∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米， ∵tan∠R1EN， ∴A′B′＝1.1米， ∴点A′到地面的距离为：0.2米， ∵1.8， ∴需要同时升起两个道闸． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19．解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°144°， 故答案为：50，144°； （2）D的人数为：50×10%＝5（人）， ∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 20．（1）证明：连接OE， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵BD＝BF， ∴∠BDF＝∠F， ∴∠OED＝∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°， 在Rt△ECF中， ∵CF＝2，tan∠CEF， ∴CE＝4． ∵BD是直径， ∴∠DEB＝90°＝∠FEB， ∴∠CEF+∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FBE+∠CEB＝90°， ∴∠FBE＝∠CEF， ∴， ∴BC＝8． ∴BF＝BC+CF＝10． ∴BD＝BF＝10． ∴OE＝5． 在Rt△AEO中，， 在Rt△ACB中，， ∴． ∴． 21．解：问题1：∵每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），AM＝A1N＝1m，MN＝2x m，AA1＝AM+A1N+MN，AA1＝2x+2， ∵3.5m≤x≤3.75m， ∴9m≤AA1≤9.5m． 问题2：取AA1中点O，以AA1为x轴，建立坐标系，作NP⊥AA1交抛物线于点P， 设抛物线表达式为y＝ax2+c， ∵AA1＝9m，OA1AA19＝4.5m，A1B1＝AB＝2.95m， ∴B1（4.5，2.95）， 由题意得NP＝4+0.55＝4.55m， ∴P（3.5，4.55）， 将B1（4.5，2.95）、P（3.5，4.55）代入y＝ax2+c， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为yx2+7． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°． 由旋转得AH＝AG，∠GAH＝90°． ∴∠BAD﹣∠GAF＝∠GAH﹣∠GAF． ∴∠BAG＝∠DAH． ∴△BAG≌△DAH（SAS）． ∴GB＝HD； （2）解：四边形AGFH为正方形． 证明：∵点E，F分别是边AB，AD的中点，AD＝AB， ∴AE＝AF． ∵在等腰Rt△AEF中，点G是EF的中点， ∴AG⊥EF，AGEF＝GF， ∴∠AGF＝90°． ∴AH∥GF，AH＝GF． ∴四边形AGFH为平行四边形， ∵∠GAH＝90°，AG＝AH， ∴▱AGFH为正方形； （3）解：分两种情况讨论：当∠H＝90°时，如图，过点G作GN⊥AB于点N， ∵△BAG≌△DAH， ∴∠AGB＝∠H＝90°， ∵∠GAH＝90°， ∴四边形AGMH为矩形， ∵AH＝AG， ∴四边形AGMH为正方形， ∵∠AGB＝90°，AE＝BE， ∴EA＝EGAB＝2， ∵∠GNE＝90°，∠GEN＝45°， ∴∠GEN＝∠EGN＝45°， ∴EN＝GNEG， ∴AN＝AE﹣EN＝2， ∴AG2＝AN2+GN28﹣4， ∴四边形AGMH的面积为8﹣4； 当∠HAD＝90°时， 如图，点G与点F重合，此时，AF＝DF＝AG＝2， ∵∠BAG＝90°， ∴BG2， ∵△BAG≌△DAH， ∴∠H＝∠AFB，DH＝BG＝2，AH＝AG＝2， ∵∠H+∠ADH＝90°，∠AFB＝∠DFM， ∴∠DFM+∠ADH＝90°， ∴∠DMF＝90°， ∴∠DMF＝∠DAH＝90°， ∴∠FDM＝∠HDA， ∴△FDM∽△HDA， ∴， ∴， ∴FM，DM， ∴四边形AGMH的面积为AH•ADFM•DM2×4． 综上所述，四边形AGMH的面积为或8﹣4． 23．解：（1）∵在y＝2x+2中，当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2）， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ∴B（，3）； （2）如图，过点B作BG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，设BC交y轴于点K， ∵∠BGC＝∠DHC＝90°， ∴BG∥DH， ∴△BCG∽△DCH， ∴， ∴DHBG3＝1， 当y＝1时，1， 解得：x， ∴D（，1）， ∴GH1， ∵BG∥DH， ∴， ∴CH， ∴OC＝OH+CH2， ∴C（2，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴K（0，4）， ∴AK＝4﹣2＝2， ∴S△ABD＝S△ADK﹣S△ABK221； （3）过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H，BG⊥HG于G，连接AE，如图， 由旋转得：BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴∠BDG+∠EDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°， ∴∠EDH＝∠DBG， ∵∠H＝∠G， ∴△BDG≌△DEH（AAS）， ∴DH＝BG＝2，EH＝DG＝1， ∴E（，2）， ∴AE∥x轴， ∵∠AED+∠FAO＝90°，∠AED+∠DEH＝90°， ∴∠FAO＝∠DEH， ∴tan∠FAO＝tan∠DEH2， 设直线AF交x轴于Q， ∴OQ＝4， ∴直线AF的解析式为yx+2， ∴x+2， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴点F的坐标为（1，）或（3，）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各数中，属于无理数的是（　　） A．﹣2 B．2025 C． D．0.5 2．下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 3．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000km的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（　　） A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106 4．在化学课上：老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．（8a2）2＝8a4 6．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．45° C．58° D．60° 7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 8．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 9．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2＜4ac，②abc＞0，③3a+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．4的算术平方根是 　 　． 12．4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 　 　小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 14．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　 　cm（用含n的式子表示）． 15．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为　 　． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．计算：． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点C作CE∥AB，连接AE． （1）基本尺规作图：作∠ABF＝∠EAC，交线段AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BF＝AE． 18．图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 　 　名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 　 　； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BD＝BF． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CF＝2，，求AD的长． 21．综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素材1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素材2 据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于0.55m． 素材3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m． 问题解决 问题1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围． 问题2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22．如图1，正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，点G是线段EF上的一个动点，连接AG，将线段AG绕点A逆时针方向旋转90°，得到AH，连接HD，GB． （1）求证：GB＝HD； （2）如图2，若EG＝FG，连接FH，试判断四边形AGFH的形状，并说明理由； （3）若直线BG与直线DH交于点M，当△AHD为直角三角形时，求四边形AGMH的面积． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D， 连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EA．点F是反比例函数的图象上一点，连接FA，若∠AED+∠FAO＝90°，求点F的坐标． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各数中，属于无理数的是（　　） A．﹣2 B．2025 C． D．0.5 【分析】根据无理数的概念逐项判断即可． 【解答】解：A、﹣2是负整数，不是无理数，不符合题意； B、2025是正整数，不是无理数，不符合题意； C、2是无理数，符合题意； D、0.5是有限小数，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查无理数，解题的关键是理解无理数的概念． 2．下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可． 【解答】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 3．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000km的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（　　） A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：218000000＝2.18×108． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．在化学课上：老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是化学变化的有4种结果， 所以从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）是解题的关键． 5．下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．（8a2）2＝8a4 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故该项不正确，不符合题意； B、（a3）2＝a6，故该项正确，符合题意； C、a8÷a2＝a6，故该项不正确，不符合题意； D、（8a2）2＝64a4，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握“幂的运算的运算法则”是解本题的关键． 6．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．45° C．58° D．60° 【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数． 【解答】解：如图，过点B作BD∥a， ∴∠ABD＝∠1＝22°， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数． 解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论． 【解答】解法一：连接AD，如图1， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠BCD＝38°， ∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°． 解法二：连接OD，如图2， 根据圆周角定理，∠DOB＝2∠DCB＝76°， ∵OD和OB均为⊙O的半径， ∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴在△DOB中，∠ABD． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 8．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0， 即m＞﹣1且m≠0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1． 在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2＜4ac，②abc＞0，③3a+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以分别判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 该图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①错误，不符合题意； a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，故②正确，符合题意； 对称轴为直线x1，即b＝﹣2a， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＞0，故③正确，符合题意； x＝2和x＝0时对应的函数值相等，则y＝4a+2b+c＝c＜0，故④错误，不符合题意； 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．4的算术平方根是 　2　． 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵22＝4， ∴4的算术平方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 12．4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 　1　小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 【分析】直接根据众数的定义求解． 【解答】解：在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是1小时． 故答案为：1． 【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了加权平均数． 13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≥1　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣1≥0，再求出答案即可． 【解答】解：要使代数式有意义，必须x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中a≥0是解此题的关键． 14．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　2n+8　cm（用含n的式子表示）． 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）． 故答案为：2n+8． 【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式． 15．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为　2π　． 【分析】根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，由于S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分＝S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解． 【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置， ∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°， ∴S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′， ∴S阴影部分＝S扇形ABA′2π． 故答案为2π． 【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．计算：． 【分析】先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案． 【解答】解： ＝0． 【点评】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方运算的法则，零指数幂的运算法则，二次根式的化简，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点C作CE∥AB，连接AE． （1）基本尺规作图：作∠ABF＝∠EAC，交线段AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BF＝AE． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法作出图形即可； （2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示，∠ABF即为所求； （2）证明：∵CE∥AB， ∴∠BAC+∠ACE＝180°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣∠BAC＝90°＝∠BAF， 在△BAF和△ACE中， ， ∴△BAF≌△ACE（ASA）， ∴BF＝AE． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握作图方法是解答本题的关键． 18．图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【分析】（1）道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上，延长Q1R1交EF于点X，分别计算出ER1和R1X的值，利用勾股定理求得EX的值，即可求得最大角∠R1EN的正切值； （2）设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，画出相关图形，求得EB′的长，利用∠R1EN的正切值可得R1X的值，加上0.2即为可通过的汽车的最高高度，与1.8比较即可判断一个道闸升起能否通过． 【解答】解：（1）如图：道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上， 延长Q1R1交EF于点X，则∠R1XE＝90°， ∵FG＝EP＝1米，道闸升起过程中对边始终保持平行， ∴Q1R1＝1米， ∵AD＝3.6米，FH＝EW＝0.2米， ∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米， ∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米， ∴ER13米， ∴EX1.8米， ∴tan∠R1EN． 答：道闸升起的最大角的正切值为； （2）需要同时升起两个道闸．理由如下： 设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，汽车应从如图位置进入． ∴B′N＝1.9米， 由（1）得：ER＝3米， ∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米， ∵tan∠R1EN， ∴A′B′＝1.1米， ∴点A′到地面的距离为：0.2米， ∵1.8， ∴需要同时升起两个道闸． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．画出相关图形，得到一个道闸升到最高点时点Q1的位置是解决本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 　50　名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 　144°　； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°144°， 故答案为：50，144°； （2）D的人数为：50×10%＝5（人）， ∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BD＝BF． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CF＝2，，求AD的长． 【分析】（1）连接OE，求出OE∥BF推出∠AEO＝90°，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE，解直角三角形求出CE＝4，根据圆周角定理求出∠DEB＝∠FEB＝90°，进而求出∠FBE＝∠CEF，解直角三角形求出BC＝8，则BF＝BC+CF＝10，BD＝BF＝10，OE＝5，解直角三角形求解即可． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵BD＝BF， ∴∠BDF＝∠F， ∴∠OED＝∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°， 在Rt△ECF中， ∵CF＝2，tan∠CEF， ∴CE＝4． ∵BD是直径， ∴∠DEB＝90°＝∠FEB， ∴∠CEF+∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FBE+∠CEB＝90°， ∴∠FBE＝∠CEF， ∴， ∴BC＝8． ∴BF＝BC+CF＝10． ∴BD＝BF＝10． ∴OE＝5． 在Rt△AEO中，， 在Rt△ACB中，， ∴． ∴． 【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练运用切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数定义并作出合理的辅助线是解题的关键． 21．综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素材1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素材2 据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于0.55m． 素材3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m． 问题解决 问题1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围． 问题2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式． 【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合AA1＝AM+A1N+MN，即可求解； 问题二：AA1中点O，建立坐标系，作NP⊥AA1，求出点B点P的坐标，代入抛物线表达式，即可求解． 【解答】解：问题1：∵每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），AM＝A1N＝1m，MN＝2x m，AA1＝AM+A1N+MN，AA1＝2x+2， ∵3.5m≤x≤3.75m， ∴9m≤AA1≤9.5m． 问题2：取AA1中点O，以AA1为x轴，建立坐标系，作NP⊥AA1交抛物线于点P， 设抛物线表达式为y＝ax2+c， ∵AA1＝9m，OA1AA19＝4.5m，A1B1＝AB＝2.95m， ∴B1（4.5，2.95）， 由题意得NP＝4+0.55＝4.55m， ∴P（3.5，4.55）， 将B1（4.5，2.95）、P（3.5，4.55）代入y＝ax2+c， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为yx2+7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立适当直角坐标系． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22．如图1，正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，点G是线段EF上的一个动点，连接AG，将线段AG绕点A逆时针方向旋转90°，得到AH，连接HD，GB． （1）求证：GB＝HD； （2）如图2，若EG＝FG，连接FH，试判断四边形AGFH的形状，并说明理由； （3）若直线BG与直线DH交于点M，当△AHD为直角三角形时，求四边形AGMH的面积． 【分析】（1）证明△BAG≌△DAH（SAS）．得出GB＝HD； （2）证出AG⊥EF，AGGF，得出∠AGF＝90°．由正方形的判定可得出结论； （3）分两种情况，当∠H＝90°时，如图，过点G作GN⊥AB于点N，证出∠GEN＝∠EGN＝45°，求出EN，由勾股定理可得出答案；当∠HAD＝90°时，如图，点G与点F重合，此时，AF＝DF＝AG＝2，证明△FDM∽△HDA，求出FM，DM， 则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°． 由旋转得AH＝AG，∠GAH＝90°． ∴∠BAD﹣∠GAF＝∠GAH﹣∠GAF． ∴∠BAG＝∠DAH． ∴△BAG≌△DAH（SAS）． ∴GB＝HD； （2）解：四边形AGFH为正方形． 证明：∵点E，F分别是边AB，AD的中点，AD＝AB， ∴AE＝AF． ∵在等腰Rt△AEF中，点G是EF的中点， ∴AG⊥EF，AGEF＝GF， ∴∠AGF＝90°． ∴AH∥GF，AH＝GF． ∴四边形AGFH为平行四边形， ∵∠GAH＝90°，AG＝AH， ∴▱AGFH为正方形； （3）解：分两种情况讨论：当∠H＝90°时，如图，过点G作GN⊥AB于点N， ∵△BAG≌△DAH， ∴∠AGB＝∠H＝90°， ∵∠GAH＝90°， ∴四边形AGMH为矩形， ∵AH＝AG， ∴四边形AGMH为正方形， ∵∠AGB＝90°，AE＝BE， ∴EA＝EGAB＝2， ∵∠GNE＝90°，∠GEN＝45°， ∴∠GEN＝∠EGN＝45°， ∴EN＝GNEG， ∴AN＝AE﹣EN＝2， ∴AG2＝AN2+GN28﹣4， ∴四边形AGMH的面积为8﹣4； 当∠HAD＝90°时， 如图，点G与点F重合，此时，AF＝DF＝AG＝2， ∵∠BAG＝90°， ∴BG2， ∵△BAG≌△DAH， ∴∠H＝∠AFB，DH＝BG＝2，AH＝AG＝2， ∵∠H+∠ADH＝90°，∠AFB＝∠DFM， ∴∠DFM+∠ADH＝90°， ∴∠DMF＝90°， ∴∠DMF＝∠DAH＝90°， ∴∠FDM＝∠HDA， ∴△FDM∽△HDA， ∴， ∴， ∴FM，DM， ∴四边形AGMH的面积为AH•ADFM•DM2×4． 综上所述，四边形AGMH的面积为或8﹣4． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D， 连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EA．点F是反比例函数的图象上一点，连接FA，若∠AED+∠FAO＝90°，求点F的坐标． 【分析】（1）在y＝2x+2中，令x＝0，可求得点A的坐标，联立方程组可求得点B的坐标； （2）过点B作BG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，设BC交y轴于点K，由BG∥DH，得△BCG∽△DCH，可得，求得DHBG＝1，再求得D（，1），进而可得C（2，0），运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，进而求得K（0，4），即可求得答案； （3）过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H，BG⊥HG于G，连接AE，先证得△BDG≌△DEH（AAS），可得DH＝BG＝2，EH＝DG＝1，得出E（，2），进而得出tan∠FAO＝tan∠DEH2，再求得直线AF的解析式为yx+2，联立方程组即可求得答案． 【解答】解：（1）∵在y＝2x+2中，当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2）， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ∴B（，3）； （2）如图，过点B作BG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，设BC交y轴于点K， ∵∠BGC＝∠DHC＝90°， ∴BG∥DH， ∴△BCG∽△DCH， ∴， ∴DHBG3＝1， 当y＝1时，1， 解得：x， ∴D（，1）， ∴GH1， ∵BG∥DH， ∴， ∴CH， ∴OC＝OH+CH2， ∴C（2，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴K（0，4）， ∴AK＝4﹣2＝2， ∴S△ABD＝S△ADK﹣S△ABK221； （3）过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H，BG⊥HG于G，连接AE，如图， 由旋转得：BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴∠BDG+∠EDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°， ∴∠EDH＝∠DBG， ∵∠H＝∠G， ∴△BDG≌△DEH（AAS）， ∴DH＝BG＝2，EH＝DG＝1， ∴E（，2）， ∴AE∥x轴， ∵∠AED+∠FAO＝90°，∠AED+∠DEH＝90°， ∴∠FAO＝∠DEH， ∴tan∠FAO＝tan∠DEH2， 设直线AF交x轴于Q， ∴OQ＝4， ∴直线AF的解析式为yx+2， ∴x+2， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴点F的坐标为（1，）或（3，）． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点D坐标的关键． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$