第三章 概率初步 重难专项

1 第三章 概率初步 考点 1 事件的分类与可能性大小 1．C 【难度】0.85 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件 包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一 定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不 发生的事件．根据实际情况即可解答． 【详解】解：A、明年“雨水”时节会下雨，是随机事件，故 A不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故 B不符合题意； C、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件；故 C符合题意； D、任意掷一枚图钉，钉帽朝下，是随机事件，故 D不符合题意． 故选：C． 2．D 【难度】0.85 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件、必然事件的定义是解题的关键．根据定 义逐项判断即可． 【详解】解：A、清明时节雨纷纷属于随机事件，不符合题意； 模块 章节重难点考察 考点 1.事件的分类与可能性大小 考点 2.概率公式的计算与应用 章节重难点考察 模块导航 2 B、打开电视机，正在播动画片属于随机事件，不符合题意； C、袋中有 4个黑球和 2个白球，摸一次一定摸到红球属于随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和一定是180属于必然事件，符合题意； 故选：D． 3．B 【难度】0.85 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件 是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、里面知有 10个白球，从里面摸出红球是不可能事件，不符合题意； B、里面只有 10个红球，从里面摸出红球是必然事件，符合题意； C、里面有 2个红球，8个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意； D、里面有 9个红球，1个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4．B 【难度】0.85 【知识点】事件的分类 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性 事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件 下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生 的事件称为随机事件． 【详解】解：①在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件，正确，符合题意； ②掷一枚图钉，针尖朝上，是随机事件，原说法错误，不符合题意； ③从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是黑桃 5，是随机事件，正确，符合题意； ④若 a b ，则 a b ，是随机事件，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 5．C 3 【难度】0.65 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共 8张； B、卡片上的数字是 2的倍数有：2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ， 2 10 ，共 10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共 11张； D、卡片上的数字是 3的倍数有：3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ， 3 5 ，3 6 ，共 6张． ∵11 10 8 6   ， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大； 反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 6．C 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、事件的分类 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义判断即可． 【详解】①任意买一张电影票，恰好为奇数号是不确定事件； ②经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是不确定事件； ③两直线平行，内错角相等是确定事件中的必然事件； ④三角形内角和小于 180°是确定事件中的不可能事件； ⑤拔苗助长是确定事件中的不可能事件； 综上分析可知，属于确定事件的有 3个，故 C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，掌握随机事件、必然事件、不可 能事件的定义，是解答本题的关键． 7．D 【难度】0.65 【知识点】事件的分类 4 【分析】根据有理数的加法，减法，乘法，除法的法则，正数和负数，随机事件，必然事件， 不可能事件的特点逐一判断即可解答， 【详解】解：A、异号两数相加，和为负数，是随机事件，故 A不符合题意； B、异号两数相减，差为正数，是随机事件，故 B不符合题意； C、异号两数相除，商为正数，是不可能事件，故 C不符合题意； D、异号两数相乘，积为负数，是必然事件，故 D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加法，减法，乘法，除法的法则，正数和负数，随机事件，熟练 掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 8．A 【难度】0.65 【知识点】事件的分类 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定 它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必 然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可． 【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意； B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意； C：“清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意； D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识． 9．B 【难度】0.65 【知识点】事件的分类 【分析】根据事件的定义和分类，逐项判断即可解答． 【详解】解：桌上倒扣着背面图案相同的 5张扑克牌，其中 3张黑桃，2张红桃，从中随机抽 取 3张． A.事件“摸出三张黑桃”是随机事件，故选项 A不符合题意； B.事件“摸出三张红桃”是不可能事件，故选项 B符合题意； C.事件“摸出一张黑桃”是随机事件，故选项 C不符合题意； 5 D.事件“摸出一张红桃”是随机事件，故选项 D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了事件的概念和分类，事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又 分为必然事件和不可能事件，熟练掌握事件的概念和分类是解题的关键． 10．D 【难度】0.65 【知识点】事件的分类 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，故此选项不符合题意； B、中秋节晚上能看到月亮，是随机事件，故此选项不符合题意； C、买 100张一定会中奖，是随机事件，故此选项不符合题意； D、在只装有红球的袋中摸出 1球，是红球，是必然事件，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 考点 2 概率公式的计算与应用 1．C 【难度】0.65 【知识点】几何概率、用七巧板拼图形 【分析】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设 大正方形的边长为2，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为2a， 根据七巧板特点有 21 1 2 2 S a a a   阴 ， 又大正方形的面积为： 22 2 4a a a  ， 小球停留在阴影部分的概率是： 2 2 1 12 4 8 a a  ， 6 故选：C． 2．B 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积 4 4 16   ， 阴影部分面积 14 2 1 4 2      ， ∴小球停在阴影区域的概率 4 1 16 4   ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表 示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 3． 3 7 【难度】0.85 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有 7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有 3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有 7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有 3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 3 7 ． 故答案为： 3 7 4． 1 4 /0.25 【难度】0.65 【知识点】几何概率、用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七 7 巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的 1 4 ，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影 部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如 图所示： 阴影部分面积占正方形面积的 1 4 ， 飞镖落在阴影部分的概率是 1 4 ， 故答案为： 1 4 ． 5． 1 8 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形、根据概率公式计算概率 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为2， 1 1= 1 1 2 2 S   阴 ， 大正方形的面积 22 4  ， 小球停留在阴影部分的概率 1 12 4 8 P   ． 故答案为： 1 8 ． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 6．(1) 1 3 8 (2)取走了 7个白球 【难度】0.85 【知识点】已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率的知识 ． （1） 用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2）设取走了 x个白球，根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是 5 8 ，列出方程求解即可 ． 熟知概率公式是关键． 【详解】（1）解： P（从布袋中摸出一个球是红球） 8 8 1 8 16 24 3     ； （2）设取走了 x个白球， 根据题意得 8 5 24 8 x  ， 解得： 7x  ． 答： 取走了 7个白球 ． 7．(1) 13 54 (2)见解析 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可． （2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到 4的概率，进而比较大小求解即可． 【详解】（1）∵共有 54张扑克牌，其中方片有 13张， ∴从中任选一张，恰好是方片的概率是 13 54 ； 故答案为： 13 54 ； （2）∵一副扑克牌共有 54张，其中大王有 1张，4有 4张， ∴从中任选一张，恰好是大王的概率是 1 54 ， 9 从中任选一张，恰好是 4的概率是 4 2 54 27  ， ∵ 1 2 54 27  ∴摸到大王的机会比摸到 4的机会小． 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有 n种可能，而且 这些事件的可能性相同，其中事件 A出现 m种结果，那么事件 A的概率  A mP n  ． 8．(1) 10 49 (2)选择打开区域 A中的小方格，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】（1）根据宝箱由7 7 个方格组成，方格中随机放置着10个奖品，列式计算概率即可； （2）根据方格相邻的8个方格（即区域A）中有两个放置了奖品，计算打开区域A中的小方 格获奖的概率；根据区域A中有两个放置了奖品，计算出区域A外的小方格放置了8个奖品， 再计算出区域A外的小方格的总数，即可计算打开区域A外的小方格获奖的概率．比较二者 概率大小，选择概率大的即可． 【详解】（1） 7 7 49  ，方格中随机放置着10个奖品， 10 49 P  ， 故答案为： 10 49 （2） P（打开区域A中的小方格） 2 1 8 4   ， P（打开区域A外的小方格） 10 2 1 49 9 5     ， 1 1 4 5  ， 10 ∴打开区域A中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域A中的小方格． 【点睛】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键． 9．(1)20 (2)见解析 (3) 12 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、求条形统计图的相关数据、由样本所占百分比估计总体 的数量 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图； （1）用条形统计图中 B类别的人数除以扇形统计图中 B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出 A类别中女生的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概 率公式可得出答案． 【详解】（1）本次调查中，王老师一共调查了 (5 5) 50% 20   （名）． 故答案为：20． （2）由题意得，A类别的人数为20 15% 3  （人）， ∴A类别中女生的人数为3 2 1  （人）， 补全条形统计图如图 1所示． （3）列表如下： 男 女 男 （男，男） （男，女） 11 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 共有 6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有 3种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为 3 1 6 2  ． 10．(1) 1 4 (2) 1 3 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为 1 4 ， 故答案为： 1 4 ； （2）画树状图如下： 共有 9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有 3种， ∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为： 3 1 9 3  ． 1 第三章 概率初步 考点 1 事件的分类与可能性大小 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）下列事件中，必然事件是（ ） A．明年“雨水”时节会下雨 B．任意买一张电影票，座位号是奇数 C．从地面向上踢出的足球会落下 D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列事件是必然事件的是（ ） A．清明时节雨纷纷 B．打开电视机，正在播动画片 C．袋中有 4个黑球和 2个白球，摸一次一定摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和一定是180 3．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）下列 4个袋子中，装有除颜色外都相同的 10个小球， 分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子 是（ ） 模块 章节重难点考察 考点 1.事件的分类与可能性大小 考点 2.概率公式的计算与应用 章节重难点考察 模块导航 2 A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）下列事件中，判断正确有（ ） ①在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件； ②郑一枚图钉，针尖朝上，是不可能事件； ③从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是黑桃 5，是随机事件； ④若 a b ，则一定有 a b ，是必然事件． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23七年级下·贵州·期末）从标有数字 1，2，3，…，20的 20张卡片中任意抽取一张， 下列事件中，可能性最大的是（ ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是 2的倍数 C．卡片上的数字是 合数 D．卡片上的数字是 3的倍数 6．（21-22七年级下·山东烟台·期中）下列事件：①任意买一张电影票，恰好为奇数号；②经 过有信号灯的十字路口，遇见红灯；③两直线平行，内错角相等；④三角形内角和小于 180°； ⑤拔苗助长.属于确定事件的是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23七年级下·陕西西安·期末）下列事件中，是必然事件是（ ） A．异号两数相加，和为负数 B．异号两数相减，差为正数 C．异号两数相除，商为正数 D．异号两数相乘，积为负数 8．（2023·山西阳泉·二模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（ ） A．成语“守株待兔”是随机事件 B．成语“水中捞月”是随机事件 3 C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 9．（22-23七年级下·广东深圳·期末）桌上倒扣着背面图案相同的 5张扑克牌，其中 3张黑桃， 2张红桃，从中随机抽取 3张，下列事件是不可能事件的是（ ） A．摸出三张黑桃 B．摸出三张红桃 C．摸出一张黑桃 D．摸出一张红桃 10．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）下列事件是必然事件的是（ ） A．打开电视机，正在播放动画片 B．中秋节晚上能看到月亮 C．买 100张彩票一定会中奖 D．在只装有红球的袋中摸出 1个球是红球 考点 2 概率公式的计算与应用 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方 模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如 图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随 机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 7 C． 1 8 D． 2 8 2．（22-23七年级下·山东威海·期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影 区域的概率为（ ） A． 1 8 B． 1 4 C． 1 3 D． 12 4 3．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图是由 7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随 机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将 一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方 模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧 板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板 上，则小球停留在阴影部分的概率是 ． 6．（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有 8个红球和 16个白球，它 们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个 球是红球的概率是 5 8 ，问取走了多少个白球？ 5 7．（22-23七年级下·广东佛山·期末）一副扑克牌共有 54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有 13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取 1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到 4的机会小． 8．（22-23七年级下·山东济南·期末）小蒙设计一个抽奖游戏：如图1，宝箱由7 7 个方格组 成，方格中随机放置着10个奖品，每个方格最多能放一个奖品． (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现 了数字2，如图2．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个方格（即区域A）中有两个放置 了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域A中的小方格，或者打开区域A外 的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 9．（22-23七年级下·四川成都·期末）第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游 园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这 4项活动的喜爱情况，在 本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将 调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请 根据统计图解答下列问题： 6 (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱 A 和 D 学生中分别选 取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名 男生和一名女生的概率． 10．（22-23九年级上·河北保定·期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方 式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选 一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．