第二章 相交线与平行线 重难专项

1 第二章 相交线与平行线 考点 1 垂线的性质与应用 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在ΔABC中， 90C  ， 3AC  ， 5AB  ，点 P是边 BC上的动点，则 AP的长不可能是（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 模块 章节重难点考察 考点 1.垂线的性质与应用 考点 2.尺规作图综合—作垂线、平行线 考点 3.平行线求角度问题 考点 4.平行线补充条件或证明依据 考点 5.平行线与折叠问题 考点 6.平行线拐点问题 考点 7.平行线分类讨论问题 考点 8.标角法—平行线复杂计算与证明题 章节重难点考察 模块导航 2 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释 的现象是 (填序号)． 考点 2 尺规作图—作垂线、平行线 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点 P作直线 l的垂线CD，下面三角板的摆放正确的 是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点， ΔABC的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)找一个格点D， 画直线CD使CD AB∥ ；（标出点D） (2)找一个格点E， 画直线BE使BE AC ， 垂足为H ；（标出点E） (3)比较大小： 线段BC 线段 BH （用“”“”“”号连接）． 3 考点 3 平行线求角度问题 1．（23-24七年级下·广西柳州·期中）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿 色出行，推出了共享单车服务．图 1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图 2是其示意 图，其中 AB、CD都与地面平行， AM 与 BC平行，若 65BCD  ，则 MAB 的度数为 （ ） A．65 B．100 C．105 D．115 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含60角的直角三角尺EFG（其中 90EFG  ， 60EGF  ）按如图所示的方式摆放在两条平行线 AB，CD之间． （1）如图 1，若三角尺的60角的顶点 G落在CD上，且 1 2 2   ，则 1 的度数为 ． （2）如图 2，若把三角尺的直角顶点 F落在 AB上，60角的顶点 G落在CD上，则 AFG 与 EGD 的数量关系为 ． 4 3．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，已知BC AE ，DE AE ， 2 3 180    (1)试说明 1 ABD   ； (2)若 1 70 ∠ ， BC平分 ABD ，试求 ACF 的度数． 考点 4 平行线补充条件或证明依据 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，下列条件中，能判断 AD BE∥ 的是（ ） A． 1 2   B． 3= 4  C． B DCE   D． 180B ADC    2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图（ B，C，E三点在同一直线上），要使 AB CD∥ ， 需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 5 3．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明： 如图， BE平分 ABD ，DE平分 BDC ，且 90    ． 求证： AB CD∥ ． 证明：∵ BE平分 ABD （已知）， ∴ 2ABD    （ ）． 又∵DE平分 BDC （ ）， ∴ BDC  ______（ ）．  2 2 2ABD BDC a a          （ ）． 又∵ 90a    （已知）， ABD BDC  （______）（ ）． ∴ AB CD∥ （ ）． 考点 5 平行线与折叠问题 1．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片 ABCD，点E，H 在 AD边 上，点F ，G在 BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点 B和点C都落在点 P处，若 118FEH EHG   ，则 FPG 的度数为（ ） A．54 B．55 C．56 D．57 6 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，点 D，E，F分别在 ABC 的各边上，DE AC∥ ， DF AB ．将ΔABC沿DE翻折，使得点 B落在 B处，沿DF翻折，使得点 C 落在C处．若 40B DC   ，则 A  °． 3．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张长方形纸片 ABCD沿 EF折叠，点 D、C 分别落在D、C的位置上，ED与 BC交于点 G．若 63EFG  °，求 1 、 2 的度数． 考点 6 平行线拐点问题 1．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线 AB CD EF∥ ∥ ，点O在直线 EF 上，下列结论正确的是（ ） A． 90       B． 180       C． 90       D． 180       7 2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转 弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点 B、C 和 D处的转弯角分别是 、  和，且 AB DE∥ ，则 、  和之间的数量关系是 ． 3．（22-23七年级下·山西运城·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过 作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图 1，MN PQ∥ ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．问 CAB ， MCA ， PBA 之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现 CAB MCA PBA   ，并给出了部分理由． 如图1，过点A作 AD MN∥ ， 因为MN PQ∥ ， AD MN∥ ， 所以 AD MN PQ∥ ∥ ， …； 8 (1)请将上面的说理过程补充完整； (2)如图 2，若 AB CD∥ ，∠ 160BEP  ， 129PFD  ．则 EPF  ； 【方法运用】 (3)如图 3，AB CD∥ ，点 P在 AB的上方，问 PEA ， PFC ， EPF 之间有何数量关系？ 请说明理由； 【联想拓展】 (4)如图 4，已知 EPF   ， PEA 的平分线和 PFC 的平分线交于点G，请你用含有 的 式子表示 G 的度数，直接写出结果． 考点 7 平行线分类讨论问题 1．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知： AB CD∥ ，E为 AB、CD之间一点，连接BE， ED，得到 BED ． 求证： BED B D    ． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明：过点E作 EF AB∥ ，则有 BEF B   ． ∵ AB CD∥ ， ∴ EF CD∥ ， FED D   ， BED BEF FED B D       ． 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： 直线 1 2l l∥ ，直线 EF 和直线 1l 、 2l 分别交于C、D两点，点A、 B分别在直线 1l 、 2l 上 9 (1)猜想：如图②，若点 P在线段CD上， 15PAC  ， 40PBD  ，求 APB 的度数． (2)拓展：如图③，若点 P在直线 EF 上，连接PA、PB ( )BD AC ，直接写出 PAC 、 APB 、 PBD 之间的数量关系． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）已知直线MN PQ∥ ，点 A、C在直线MN上，点 B、D在 直线 PQ上． (1)如图 1，若 AB CD∥ ， AE AB ，且 42EAM  ，求 CDQ 的度数； (2)如图 2，若 AE AB ， AG平分 EAM ， AB CD∥ ，过 D点作DF CD 交MN于 F， 求证： 2 BAG FDQ  ； (3)如图 3，若 60ABD  ，直线 AB和直线CD相交于 K，点 H在直线CD上，探究 BAH 、 AHB 和 HBD 之间的数量关系，请直接写出结论． 10 考点 8 标角法—平行线复杂计算与证明题 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知： AB CD∥ ，E、G是 AB上的点，F、H是CD上 的点, 1 2   (1)如图 1，求证：EF GH∥ ； (2)如图 2，过 F点作FM GH 交GH延长线于点 M，作 BEF DFM 、 的角平分线交于点 N，求 N 的度数； (3)如图 3，在（2）的条件下，作 AGH 的角平分线交CD于点 Q，若3 4FEN HFM   ，则 GQH MPN    ． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知 AB CD M N∥ ， ， 分别在 AB CD， 上． (1)如图（1），求证： MEN AME CNE    ； 11 (2)如图（2），若 F在 AB CD， 之间， 3EMF BMF NF   ， 平分 END ，若 2F E   ， 求 AME 与 CNE 的数量关系； (3)如图（3），射线ME从MA开始，绕 M点以10每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从 ND 开始，绕 N点以 25每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于 P，若直线ME与直线 NF相交所夹的锐角为30，直接写出运动时间 t秒  0 14t  的值． 1 第二章 相交线与平行线 考点 1 点到直线的距离问题—垂线段最短 1．A 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质．利用垂线段最短分析． 【详解】解：已知，在ΔABC中， 90C  ， 3AC  ， 根据垂线段最短，可知 AP的长不可小于 3，当 P和C重合时， 3AP  ， 则 AP的长不可能是2.5， 故选：A． 2．② 【难度】0.85 模块 章节重难点考察 考点 1.点到直线的距离问题—垂线段最短 考点 2.尺规作图综合—作垂线、平行线 考点 3.平行线求角度问题 考点 4.平行线补充条件或证明依据 考点 5.平行线与折叠问题 考点 6.平行线拐点问题 考点 7.平行线分类讨论问题 考点 8.标角法—平行线复杂计算与证明题 章节重难点考察 模块导航 2 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解 释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 考点 2 尺规作图—作垂线、平行线 1．A 【难度】0.94 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点 P作 AB的垂线CD，三角板的放法正确的是 故选：A． 2．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.85 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线、垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离． （1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案； （2）根据垂直的定义画出对应的图形即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可． 3 【详解】（1）解：如图，点D即为所求 （2）解：如图，点E，H 即为所求． （3）由垂线段最短可知，线段BC＞线段 BH ． 故答案为：． 考点 3 平行线求角度问题 1．D 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，由 AB CD∥ 可得出 65ABC BCD   ，再根据 AM BC∥ ，可得出 180MAB ABC   ，即可求出 MAB ． 【详解】解：∵ AB CD∥ ， ∴ 65ABC BCD   ， ∵ AM BC∥ ， ∴ 180MAB ABC   ， 4 ∴ 180 65 115MAB     ， 故选：D． 2． 80 60AFG EGD    【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角 的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知 1 EGD  ，依据 2 180FGE EGD    ，可求出结果； （2）依据 AB CD∥ ，可知 AFG FGD  ，再根据 60AFG EGD   ，即可求出结果． 【详解】解：（1） AB CD∥ ， 1 EGD  ， 2 180 1 2 2FGE EGD       ， ， 2 60 2 2 180     ， 解得 2 40  ， 1 2 2 80    ； （2） AB CD∥ ， AFG FGD  ， 即 60AFG EGD   ， 整理得 60AFG EGD   ， 故答案为：80， 60AFG EGD   ． 3．(1)见解析 (2) 55ACF   【难度】0.85 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、 根据平行线判定与性质证明 5 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键 是熟练掌握平行线的判定方法和性质． （1）根据平行线的判定方法得出 BC DE∥ ，根据平行线的性质得出 3 180CBD   ，根 据补角的性质得出 2 CBD  ，根据平行线的判定得出CF BD∥ ，最后得出结果即可； （2）先求出 1 70ABD    ，再求出 35CBD FBC    ，根据角平分线定义得出 根据垂线定义得出 90ACB  ，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵BC AE ，DE AE ， ∴ BC DE∥ ， ∴ 3 180CBD   ， ∵ 2 3 180   ， ∴ 2 CBD  ， ∴CF BD∥ ， ∴ 1 ABD   ； （2）解：∵ 1 70 ∠ ， ∴ 1 70ABD    ， ∵ BC平分 ABD ， ∴ 35CBD FBC    ， ∵BC AE ， ∴ 90ACB  ， ∴ 90 35 55ACF     ． 6 考点 4 平行线补充条件或证明依据 1．B 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握判定平行线的条件：同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补是解题关键． 【详解】解：A、 1 2   ，根据内错角相等，两直线平行，可判断 AB CD∥ ，不符合题意； B、 3= 4  ，根据内错角相等，两直线平行，可判断 AD BE∥ ，符合题意； C、 B DCE   ，根据同位角相等，两直线平行，可判断 AB CD∥ ，不符合题意； D、 180B ADC   不能判断平行，不符合题意； 故选：B． 2． 3= 4  （答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查学生对平行线的判定的理解与应用的能力，要认真审题，明确题目中的已知 条件，解题的关键是熟练掌握平行线判定定理．根据内错角相等，两直线平行；同位角相等， 两直线平行；同旁内角互补，两直线平行来判定两直线平行． 【详解】解：添加 3= 4  ， ∵ 3= 4  ， ∴ AB CD∥ （内错角相等，两直线平行）； 添加 5B   ， ∵ 5B   ， ∴ AB CD∥ （同位角相等，两直线平行）； 添加 180B BCD   ， ∵ 180B BCD   ， 7 ∴ AB CD∥ （同旁内角互补，两直线平行）； 添加 180D BAD   ， ∵ 180D BAD   ， ∴ AB CD∥ （同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为： 3= 4  （答案不唯一）． 3．角平分线的定义；已知； 2  ；角平分线的定义；等量代换；180；等量代换；同旁内 角互补，两直线平行 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两 直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵ BE平分 ABD （已知）， ∴ 2ABD    （角平分线的定义）． ∵DE平分 BDC （已知）， ∴ 2BDC    （角平分线的定义）． ∴  2 2 2ABD BDC             （等量代换）． ∵ 90    （已知）， ∴ 180ABD BDC   （等量代换）． ∴ AB CD∥ （同旁内角互补，两直线平行）． 考点 5 平行线与折叠问题 1．C 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 8 【分析】首先根据平行线的性质得到 FEH EFB   ， EHG HGC  ，然后由折叠的性 质得到 PFE BFE   ， HGC PGH  ，然后根据 118FEH EHG   得到 236BFE PFE HGC PGH     ，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ AD BC∥ ∴ FEH EFB   ， EHG HGC  ∵沿EF，GH折叠，使点 B和点C都落在点 P处， ∴ PFE BFE   ， HGC PGH  ∴ FEH PFE   ， EHG PGH  ∵ 118FEH EHG    ∴ 236BFE PFE HGC PGH      ∴ 360 236 124PFG PGF       ∴  180 56FPG PFG PGF      ． 故选：C． 2．70 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设 EDB x  ，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示 1 110 2 CDF CDC x     ， C BDE x    ，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设 EDB x  ， ∵将ΔABC沿DE翻折， 使得点 B落在 B处， ∴ EDB EDB x    ， ∵ 40B DC   ， ∴ 40EDC x    ， ∴ 180 40 220 2CDC x x x            ， 9 ∵沿DF翻折，使得点 C 落在C处． ∴ 1 110 2 CDF CDC x     ， ∵DE AC∥ ， ∴ C BDE x    ， ∴  180 110 70DFC x x       ， ∵DF AB∥ ， ∴ 70A DFC    ， 故答案为：70． 3． 1=54 ， 2=126  【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得 3= 4= 63   EFG ，再根据平角定义和平行线 的性质可求得∠1、∠2． 【详解】解：如图： 由题意可知： AD BC∥ ， ∵沿 EF折叠， ∴ 3= 4= 63   EFG ， ∴ 1=180 3 4=18 630 63 =54       ， ∵ AD BC∥ ， ∴ 1 2=180  ， ∴ 2=180 1=126  ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两 10 直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 考点 6 平行线拐点问题 1．B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直 线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出 BOF   ， 180COF   ，进而 利用角的关系解答即可． 【详解】解： AB EF ∥ ， BOF COF       ， COF      ， CD EF  ， 180COF   ， 180      ，故 B正确． 故选：B． 2．    【难度】0.65 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角 的外角”可知，在点 B、C和 D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示． 11 过点 C作 ∥MN AB，则 ECM CBG     （两直线平行，则同位角相等）． ∵ AB ED∥ ， ∴MN ED∥ ， ∴ FDC DCM∠ ∠ （两直线平行，则内错角相等）， 又∵ DCM DCE ECM   ∠ ∠ ∠ β α， FDC   ∴    ． 故答案为：    ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性 质把相关的角联系在一起． 3．(1)见解析 (2)71 (3) PFC PEA FPE    ，理由见解析 (4) 1180 2 G    【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证 明 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作 AD MN∥ ， MN PQ∥ ， AD MN∥ ，  AD MN PQ∥ ∥ ， MCA DAC  ， PBA BAD   ， CAB DAC BAD MCA PBA      ； 12 （2）如图 2，过点 P作 PM AB∥ ，  AB CD∥ ，  AB CD PM∥ ∥ ， 180BEP MPE   ， 180PFD FPM   ， 160BEP   ， 129PFD  ， 360 160 129 71MPE FPM       ， 71EPF  ， 故答案为：71； （3） PFC PEA FPE   ，理由如下： 如图 3，过 P点作PN AB∥ ，  PN CD AB∥ ∥ ， PEA NPE  ， FPN PFC  ， FPN NPE EPF   ， FPN PEA EPF   ， PFC PEA EPF   ； （4）如图 4， 13 由  2 知， 360PEA PFC EPF    ， EPF   ， 360PEA PFC     ， PEA 的平分线和 PFC 的平分线交于点G， PEG  12 PEA ， PFG  1 2 PFC ， PEG PFG   12   180PEA PFC    1 2  ， 在四边形EGFP中， 360PEG G PFG EPF     ， 180G   12  ． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 考点 7 平行线分类讨论问题 1．(1)55° (2) APB PAC PBD   或 APB PAC PBD   或 APB PBD PAC   【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等 【分析】（1）过点 P作 PH∥AC，然后得到 BD∥PH，从而得到∠PAC=∠APH，∠PBD=∠BPH， 然后得到∠APB的度数； （2）分情况讨论，当点 P在线段 CD上时，当点 P在射线 DF上时，当点 P在射线 CE上时， 然后过点 P作 PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点 P作 PH∥AC，则 PAC APH  ， 1 2/ /l l ， 14 BD PH ∥ ， PBD BPH   ， APB APH BPH PAC PBD      ， 15PAC   ， 40PBD  ， 15 40 55APB     ． （2）解：①当点 P在线段CD上时，由（1）知， APB PAC PBD   ②如图，当点 P在射线DP上时， 过点 P作 PH AC∥ ，则 PAC APH  ， 1 2l l ∥ ， BD PH ∥ ， PBD BPH   ， APB APH BPH PAC PBD      ； ③如图，当点 P在射线CE上时， 过点 P作 PH AC∥ ，则 PAC APH  ， 1 2l l ∥ ， BD PH ∥ ， PBD BPH   ， APB BPH APH PBD PAC      ； 15 综上所述， PAC 、 APB 、 PBD 之间的数量关系为 APB PAC PBD   或 APB PAC PBD   或 APB PBD PAC   ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行 线的性质得到内错角相等． 2．(1) 48 (2)证明见解析 (3)当点 H在点 K上方时， 240HBD AHB BAH   ∠ ∠ ∠ ；当点 H在DK之间时， 120AHB BAH HBD   ∠ ∠ ∠ ；当点 H在点 D下方时， 120AHB HBD BAH    ∠ 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义： （1）由垂直的定义先求出 48BAM  ，再根据平行线的性质即可得到 48ADQ BC BQ AM  ∠ ∠ ； （2）设 GAB x  ，则 90EAG x  ∠ ，由角平分线的定义得到 2 180 2EAM EAG x    ∠ ， 则 90 2 90BAM EAM x     ∠ ，同理可得 2 90ABQ MDQ xC BA    ∠ ∠ ，再由垂直 的定义得到 90 2FDQ CDQ x   ∠ ，则 2 BAG FDQ  ； （3）分当点 H在点 K上方时，当点 H在DK之间时，当点 H在点 D下方时， 三种情况画出 图形，根据角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵ AE AB ， 42EAM  ， ∴ 90 48BAM EAM     ， ∵MN PQ∥ ， ∴ 48ABQ BAM  ∠ ∠ ， ∵ AB CD∥ ， 16 ∴ 48ABQCDQ   ∠ ； （2）证明：设 GAB x  ， ∵ AE AB ， ∴ 90 90EAG GAB x     ∠ ∠ ， ∵ AG平分 EAM ， ∴ 2 180 2EAM EAG x    ∠ ， ∴ 90 2 90BAM EAM x     ∠ ， 同理可得 2 90ABQ MDQ xC BA    ∠ ∠ ， ∵CD DF ， ∴ 90 2FDQ CDQ x   ∠ ， ∴ 2 BAG FDQ  ； （3）解：如图所示，当点 H在点 K上方时，过点 H作HT MN∥ ，则HT MN PQ∥ ∥ ， ∴ 1 60 180HBD MAB ABD AHT HAM      ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ， ∴ 180HBD AHB HAM   ∠ ∠ ∠ ， ∴ 240HBD AHB HAM MAB    ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ 240HBD AHB BAH   ∠ ∠ ∠ ； 如图所示，当点 H在C H、 之间时，过点 H作HT MN∥ ，则HT MN PQ∥ ∥ ， ∴ HBD THB THA HAC ∠ ∠ ，∠ ∠ ， 180 120BAC ABD     ， ∴ HBD THA AHB AHB HAC   ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ HBD AHB BAH BAC  ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ AHB BAH HBD BAC  ∠ ∠ ∠ ∠ ，即 120AHB BAH HBD   ∠ ∠ ∠ ； 17 如图所示，当点 H在CD之间时，过点 H作HT MN∥ ，则HT MN PQ∥ ∥ ， ∴ HAN AHT BHT HBD ∠ ∠ ，∠ ∠ ， 180 120BAC ABD     ， ∴ 120AHT BAH  ∠ ∠ ， ∴ 120AHB AHT BHT BAH HBD     ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ 120AHB BAH HBD   ∠ ∠ ∠ ； 如图所示，当点 H在点 D下方时，过点 H作HT MN∥ ，则HT MN PQ∥ ∥ ， ∴ HAN AHT BHT HBD ∠ ∠ ，∠ ∠ ， 180 120BAC ABD     ， ∴ HAN AHT AHB HBD      ， ∴ 120BAC BAH HAN AHB HBD BAH        ∠ ∠ ∠ ； 综上所述，当点 H在点 K上方时， 240HBD AHB BAH   ∠ ∠ ∠ ；当点 H在DK之间时， 120AHB BAH HBD   ∠ ∠ ∠ ；当点 H在点 D下方时， 120AHB HBD BAH    ∠ ． 考点 8 标角法—平行线复杂计算与证明题 1．(1)见解析 (2)45 18 (3) 1 4 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得 1 3   ，再由内错角相等得出EF GH∥ ； （2）过点 N作 NK CD∥ ，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由3 4FEN HFM   结合前面（2）的结论，求出角度可得 1 4 GQH MFN    ． 【详解】（1）证明：∵ AB CD∥ ， ∴ 2 3  ， 又∵ 1 2   ， ∴ 1 3   ， ∴EF GH∥ ； （2）解：如图 2，过点 N作 NK CD∥ ， ∴ KN CD AB∥ ∥ ， ∴ 4 6 7KNE   ， ， 19 设 4 , 7x y    ， ∵EN FN、 分别平分 BEF DFM 、 ， ∴ 5 4 , 6 8 7ENK x y            ， 又∵ AB CD∥ ， ∴ 180 4 5 180 2) (,EFD x       又∵FM GH ， ∴ 90EFM  ， ∴180 2 2 90x y    ， ∴ 45x y  ， ∴ 6 45ENF ENK x y      ， （3）解： 1 4 GQH MPN    ， ∵3 4FEN HFM   ，即3 4 2 ,x y  ∴ 8 3 x y ∴ 8 45 3 x y y y    ， ∴ 27 72y x   ， ， 又∵EN 和GQ是角平分线， ∴GQ EN ， ∴ 180 90 72 18GQH EGQ         ， 又∵ 72MPN FEN x     ， ∴ 1 4 GQH MPN    ． 20 故答案为： 1 4 ． 2．(1)详见解析 (2)9 10 540AME CNE     (3) 2t  或 10或 14 【难度】0.4 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）过 E作ET AB∥ ，由平行线的性质可得出 MET AME   ， TEN CNE  ， 可得， MET TEN AME CNE     即 MEN AME CNE   ． （2）设 BMF y  ，则 3EMF y  ，设 ENF x  ，则 DNF x  ，由(1)可知 E AME CNE   ， F x y   ，可列出 )2 360 4( 2x y y x    ，将 180 4AME y   和 180 2CNE x   ，代入化简可得9 10 540AME CNE    ； （3）将直线EM 的点 M平移与直线NF的 N点重合，根据运动的角度差为15 t ，结合题意 将角度转化为30 150 210  、 、 角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【详解】（1）解：如图，过 E作ET AB∥ ， ∴ MET AME   ，① 又 AB CD∥ ， ∴ET CD ， ∴ TEN CNE  ．② ①②得， MET TEN AME CNE     ， ∴ MEN AME CNE   ． （2）解：如图， 21 设 BMF y  ，则 3EMF y  ，设 ENF x  ，则 DNF x  ， 由(1)可知  180 4 (180 2 ) 360 4 2E AME CNE y x y x          同理可得 F x y   又 2F E   ， ∴ )2 360 4( 2x y y x    ， 则9 5 720y x  ， 由 180 4AME y   ，得  1 180 4 y AME   ， 由 180 2CNE x   ，得  1 180 2 x CNE   , 将  1 180 2 x CNE   ，  1 180 4 y AME   代入9 5 720y x  ，得 9 10 540AME CNE    ． （3）解：将直线EM 的点 M平移与直线NF的 N点重合，如图， 根据题意得， 1 10DME t   ， 25DNF t   ，则 1 10FNE t   ， ∵直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30， 22 ∴ 1 30FNE  ， ∴ 25 10 30t t    ，解得 2t  ， 根据题意得 1 10DNM t   ， 1 25 180CNE t    ， ∵直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30， ∴ 1 30M NE  ， ∴ 1 1 1CNE M NE DNM    ，即 25 180 30 10t t       ，解得 10t  ， 根据题意得 1 10DNM t   ， 1 360 25CNE t    ， ∵直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30， ∴ 1 1 30N NE  ， ∴ 1 1 1N NE DNN DNE    ，即  30 180 10 360 25t t       ，解得 14t  ， 故满足题意得 2t  或 10或 14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想， 解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解．