第一章 整式的乘除 重难专项

1 第一章 整式的乘除 考点 1 幂的运算 1．（20-21七年级下·河南郑州·期中）下列运算正确的是（ ） A． 5 3 2x x x  B．    2 3 5a a a    C．  32 62 6a a  D． 3 23 2a a a  2．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）若 2024 4m  ， 2024 8n  ，则 22024 m n  ． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算 (1)已知 2 5x  ， 2 3y  ，求： 22x y 的值． (2) 2 3 0x y   ，求： 2 4 8x y  的值． 模块 章节重难点考察 考点 1.幂的运算 考点 2.科学记数法 考点 3.负整数指数幂与 0次幂 考点 4.平方差公式的运算与应用 考点 5.完全平方公式的运算与应用 考点 6.整式的混合运算与化简求值 章节重难点考察 模块导航 2 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在 na b 中，a b n、 、 三者的关系． 同学甲：在 na b 中，已知a n、 ，求b，这是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的 n次方． 如：  32 8   ，则 8 是 2 的 3次方． 同学乙：在 na b 中，已知b n、 ，求 a，这是我们学过的开方运算，其中a叫做b的 n次方根， 如：  22 4  ，则 2 是 4的二次方根（即平方根）；  32 8   ，则 2 是 8 的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______， 32 的五次方根等于______； 同学丙：老师，在 na b 中，如果已知 a和b，那么如何求 n呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知 a b、 ，可以求 n，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若  0 1na b a a  ， ，则 n叫做以a为底b的对数，记作： logan b ． 例如： 32 8 ，则 3叫做以 2为底 8的对数，记作 2log 8 3 ． 结合上面的学习，请你计算： （2） 3log 27  ______， 3 4 164 log 16    ______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果 0a  ， 1a  ， 0M  ， 0N  ， 那么  log log loga a aM N M N   ． （3）请利用上述性质计算： 5 5 1log 7 log 7  ． 3 考点 2 科学记数法 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）我国古代数学家祖冲之推算出 π的近似值为 355 113 ，它与 π的误差小于 0.0000003．将 0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A． 73 10 B． 60.3 10 C． 63 10 D． 73 10 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某种微生物的平均质量为0.00000047克，数据 0.00000047用科学记数法表示为 ． 考点 3 负整数指数幂与 0 次幂 1．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）若 22 3 a        ， 01b        ， 21 2 c       ，则a、b、c 的大小关系是（ ） A．a b c  B．a c b  C． c b a  D． c a b  2．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）若 22a   ， 22b  ， 21 2 c        ， 01 2 d       ，则 a、b、 c、 d的大小关系是 （用连接） 考点 4 平方差公式的运算与应用 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）下列算式 ①   2 2a b b a  ② 1 11 1 2 2 x x          ③   3 3x y x y   ④   m n m n    ，宜用平 方差公式计算的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4 2．（2024·四川成都·三模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个 正整数为“正巧数”．例如： 2 2 2 2 2 28 3 1 ,16 5 3 ,24 7 5      ，因此 8，16，24都是“正 巧数”． m、n为正整数，且m n ，若    27 7 2m m n mn    是“正巧数”，则m n 的值为 ． 3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图 1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的 小正方形，然后将图 1中的阴影部分拼成一个长方形（如图 2所示）． (1)上述操作能验证的等式是______（用a，b表示）； (2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知 2 29 27a b  ，3 9a b  ，则3a b  ______； ②计算： 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 2 3 4 2022                                ． 考点 5 完全平方公式的运算与应用 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释  2 21 2 1x x x    的是（ ） A． B． C． D． 5 2．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，两个正方形边长分别为 a、b，如果 5a b  ， 6ab  ， 则阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）通过第1章的学习，我们已经知道，对于一个图 形  2 2 22a b a ab b    ；如图2可以得到： 2 2 22a b a ab b    ；现有长与宽分别为a、 b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形， (1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证  2a b 与  2a b 之间的关系（用含a、b的代 数式表示出来）；图3表示：________________________； (2)【解决问题】若 8x y  ， 2 2 40x y  ，则 xy  ________； (3)【拓展提升】如图 4，点C是线段 AB上的一点，以 AC，BC为边向两边作正方形 ACDE 和BCFG，延长GB和 ED交于点H ，那么四边形DCBH为长方形，设 10AB  ，图中阴影 部分面积为 42，求两个正方形的面积和 1 2S S ． 6 考点 6 整式的混合运算与化简求值 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知     2 23 , 2 3A a b b B a b a b ab       ，若  23 4 0   a b ，则 A B 的值为（ ） A．51 B． 69 C．15 D． 21 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，点 B在线段 AC上  BC AB ，在线段 AC同侧 作正方形 ABMN及正方形BCEF，连接 AM ME EA、 、 得到 AME△ ．当 1AB  时， AME△ 的面积记为 1S ；当 2AB  时， AME△ 的面积记为 2S ；当 3AB  时， AME△ 的面积记为 3S ；……，则 2024 2023S S  ． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：         2 2 2 3 6x y x y x y y x y y           ，其中   28 6 0x y    ． 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）阅读并思考： 计算 247 时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数 50，50 47 3  ； 第二步：取 50的一半 25， 25 3 22  ； 第三步： 23 9 第四步：把第二、三步综合起来，  2 247 25 3 100 3 2209     ． (1)依此方法计算 49： 第一步：49接近整十数 50，50 49 1  ； 7 第二步：取 50的一半 25， 25 1 24  ； 第三步： 21 1 第四步：把第二、三步综合起来，  2 249 ___ ___ 100 ___ 2401     ． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．     22 ___ __5 _ 1 00 0 ___n    ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算 256 3136 的过程． (5)计算63 67 也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：  6 6 1 42   ； 第二步：3 7 21  ； 第三步：前面两步的结果综合起来，63 67 的结果是 4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 1 第一章 整式的乘除 考点 1 幂的运算 1．A 【难度】0.85 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及合并同 类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A、x5÷x3=x2，故本选项符合题意； B、（-a）2•（-a）3=-a5，故本选项不合题意； C、（-2a2）3=-8a6，故本选项不合题意； D、3a3与-2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方以及积的乘方，熟记幂的运 算法则是解答本题的关键． 模块 章节重难点考察 考点 1.幂的运算 考点 2.科学记数法 考点 3.负整数指数幂与 0次幂 考点 4.平方差公式的运算与应用 考点 5.完全平方公式的运算与应用 考点 6.整式的混合运算与化简求值 章节重难点考察 模块导航 2 2．2 【难度】0.65 【知识点】同底数幂除法的逆用、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的幂的乘方，同底数幂除法的逆用，将 22024 m n 变形为  22024 2024m n ，再代入求值即可． 【详解】解： 2024 4m  ， 2024 8n  ，  22 2 22024 2024 2024 2024 2024 4 8 16 8 2m n m n m n          ， 故答案为：2． 3．(1) 5 9 (2)1 【难度】0.65 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： 2 5x  ， 2 3y  ，    22 22 52 2 2 2 5 3 92 yx xy x y        ； （2） 2 4 8x y  2 32 2 2x y   2 32x y  2 3 0x y   ， 原式 02 1  ． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（1） 3 ， 2 ；（2）3， 6 ；（3） 5 5 1log 7 log 0 7   【难度】0.65 3 【知识点】立方根概念理解、负整数指数幂 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中 n次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果 0a  ， 1a  ， 0M  ， 0N  ，那么  log log loga a aM N M N   ，结合 （2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）  43 81  ， 81的四次方根等于 3 ，  52 32   ，  32 的五次方根等于 2 ； （2） 33 27 ， 3log 27 3  ，    2 314 4 64 16      ， ，  3 4 164 log 4 2 6 16          ； （3）  log log loga a aM N M N   ， 5 5 5 57 1 1log 7 log log log 7 7 1 0         ． 考点 2 科学记数法 1．A 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于 1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10na 的形式，其中 1 10a  ，n为整数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝 4 对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10 时，n是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数．据此解答即可． 【详解】解： 70.0000003 3 10-= ´ ． 故选：A． 2． 74.7 10 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于 1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于 1的数的方法， 正确确定 ,a n的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于 1的数的方法，表示形式为  10 1 10na a   ，n的取值方 法：当原数的绝对值小于 1时，把原数变为 a，小数点向右移动位数的相反数就是 n的值，由 此即可求解． 【详解】解： 70.00000047 4.7 10  故答案为： 74.7 10 ． 考点 3 负整数指数幂与 0 次幂 1．C 【难度】0.94 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算 【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可． 【详解】 22 3 a        = 9 4 ， 01b        =1， 21 2 c       = 1 4 ， ∵ 1 9 4 4 ＜1＜ ∴ c b a  故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能 5 求出每个式子的值是解此题的关键. 2． a b d c   【难度】0.65 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查比较有理数的大小，幂的运算，根据乘法，负整数指数幂，零指数幂的法则 进行计算，再根据正数大于 0，0大于负数，判断大小即可。 【详解】解： 22 4a     ， 2 12 4 b   ， 21 4 2 c        ， 01 1 2 d       ， ∵ 14 1 4 4     ∴ a b d c   ； 故答案为： a b d c   考点 4 平方差公式的运算与应用 1．A 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，理解公式是解题的关键．平方差公式：   2 2a b a b a b    ， 据此对各种变形进行判断即可求解． 【详解】解：①   2 2a b b a  不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ② 21 1 1 1 11 1 1 1 1 2 2 2 2 2                                 x x x x x ，不符合平方差公式形式，故此项 不符合题意； ③     23 3 3x y x y x y      ，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④   m n m n    ，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 故选：A． 6 2．9 【难度】0.65 【知识点】因式分解的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征， 灵活运用平方差公式进行计算．将 2( 7)( 7) 2m m n mn    整理为 2 2( ) 7m n  ，据“正巧数” 定义可得出m n 的值． 【详解】解：     22 2 2 2 27 7 2 7 2 7m m n mn m n mn m n           ，     27 7 2m m n mn    是“正巧数”， 9m n   ． 故答案为：9． 3．(1) 2 2 ( )( )a b a b a b    (2)①3；② 2023 4044 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）图 1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 2 2a b ，图 2阴影部分 是长为 a b ，宽为a b 的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案； （2）①根据平方差公式将 2 29 36a b  转化为 (3 )(3 ) 36a b a b   ，再根据3 9a b  ，进 而求出3a b 的值； ②利用平方差公式将原式化为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 2 3 3 4 4 5 5 2022 2022            ，进而得出 1 3 2 4 3 5 4 6 2021 2023 2 2 3 3 4 4 5 5 2022 2022          即可． 【详解】（1）解：图 1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 2 2a b ， 图 2阴影部分是长为 a b ，宽为a b 的长方形，因此面积为 ( )( )a b a b  ， 由图 1、图 2的面积相等得， 2 2 ( )( )a b a b a b    ， 7 故答案为： 2 2 ( )( )a b a b a b    ； （2）解：① 2 29 27a b  ，   3 3 27a b a b    ， 又 3 9a b  ， 3 27 9 3a b     ， 故答案为：3； ②原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 2 3 3 4 4 5 5 2022 2022             1 3 2 4 3 5 4 6 2021 2023 2 2 3 3 4 4 5 5 2022 2022           1 2023 2 2022   2023 4044  ． 考点 5 完全平方公式的运算与应用 1．A 【难度】0.85 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据面积公式分别表示出 1x  和 2 2 1x x  各自的几何意义即可． 【详解】解：根据  21x  几何意义表示为边长为 x截去 1个单位长正方形的面积， 由 2 2 1x x  可知边长为 x正方形的面积，减去 2个边长为 x和 1的长方形，加一个边长为 1 的正方形，即可知 A满足题意． 故选：A． 8 2．3.5 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】用 a和 b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积． 【详解】解：  2 2 21 1 2 2 S a b a b a b  阴影  2 21 12 2a b ab    21 3 2 2 a b ab   ， 把 5a b  ， 6ab  代入得， 原式 1 325 6 3.5 2 2      ． 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，解题的关键是列出阴 影部分面积的表达式． 3．(1)    2 2 4a b a b ab    (2)12 (3) 1 2 16S S  【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结 构特征是解决问题的关键． （1）根据图3是一个边长为  a b 的大正方形，是由 4个长为a，宽为b的长方形和一个边 长为  a b 的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出  2a b 与  2a b 之间的关系； （2）先由完全平方公式得    2 2 22xy x y x y    ，再将 8x y  ， 2 2 40x y  ，整体 代入计算即可得出 xy的值； 9 （3）设 AC a ，BC b ，则 10a b  ， 42ab  ， 2 21 2S S a b   再由完全平方公式得  22 2 22 10 2 42 16a b a b ab        ，据此可得   1 2S S 的值； 【详解】（1）如图3所示：大正方形的边长为  a b ，小正方形的边长为  a b ， ∴大正方形的面积为  2a b ，小正方形的面积为  2a b ， 另一方面：大正方形是由 4个长为a，宽为b的长方形和一个边长为  a b 的小正方形构成， ∴    2 2 4a b a b ab    ， 故答案为：    2 2 4a b a b ab    ； （2）解：  2 2 22x y x xy y    ， ∴    2 2 22xy x y x y    ， ∵ 8x y  ， 2 2 40x y  ， ∴ 22 8 40 24xy    ， ∵ 12xy  ； （3）解：设 AC a ，BC b ， ∵ 10AB  ， ∴ 10a b  ， ∵图中阴影部分面积为 42，  ∴ 42ab  ， ∵四边形 ACDE和BCFG均为正方形， ∴ 2 2 1 2S S a b   ， ∵  2 2 22a b a ab b    ， ∴  22 2 22 10 2 42 16a b a b ab        ， ∴ 1 2 16S S  ． 10 考点 6 整式的混合运算与化简求值 1．A 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、绝对值非负性、运用完全平方 公式进行运算 【分析】把A和 B的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出 a、b值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解： 2 2( ) 3A a b b   ， 2( )( ) 3B a b a b ab    ， 2 2( ) 3 [2( )( ) 3 ]A B a b b a b a b ab         2 2 2 2 22 3 (2 2 3 )a ab b b a b ab       2 2 2 2 22 3 2 2 3a ab b b a b ab       2 5a ab   ； 2( 3) | 4 | 0a b    ， 3 0a   ， 4 0b  ， 3a  ， 4b  ， 2 5A B a ab     23 5 3 4     9 60   51 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次 方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2． 4047 2 【难度】0.65 【知识点】整式的混合运算 11 【分析】本题考查了整式混合运算，三角形面积求法，正确添加辅助线，结合图形得出S与 n 的关系是解题关键．连接 BE，则 BE AM ，利用 Δ ΔAME AMBS S ，可得： 2 1 2n S n ； 2 1 1 1 2 2n S n n    ，即可得： 1 2 1 2n n nS S     ，再把 2024n  代入计算即可． 【详解】解：如图，连接 BE， 在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF， ∴ BE AM ， AME 与 AMB 同底等高， Δ ΔAME AMBS S  ， 当 AB n 时， AME 的面积记为 2 1 2n S n ； 2 2 1 1 1 1( 1) 2 2 2n S n n n      ， 当 2n  时， 2 21 1 1 1 1 2 1( ) 2 2 2 2 2n n nS S n n n n          ， 2024 2023 2 2024 1 4047 2 2 S S      ． 故答案为： 4047 2 ． 3． 1 1 3 2 y x  ，6 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 12 【分析】本题主要考查整式的混合运算，非负数的性质，利用整式的相应的法则对式子进行化 简，再结合非负数的性质确定 x，y的值，再代入运算即可． 【详解】解：         2 2 2 3 6x y x y x y y x y y              2 2 2 2 22 4 3 6x xy y x y xy y y            22 3 6y xy y    1 1 3 2 y x    28 6 0x y    ， 8 0 6 0x y    ， ， 解得： 8 6x y  ， ， 原式  1 16 8 6 3 2        ． 4．(1)25，1，1 (2)25， n， n (3)见详解 (4)见详解 (5) (10 )[10 (10 )] ( 1) 100 (10 )a b a b a a b b        (6)见详解 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式四则混合运算、运用完全平方公 式进行运算 【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可； （2）根据（1）的规律书写公式即可； （3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性； （4）利用（2）中得到的公式求解即可； （5）分析63 67 的简单运算，书写计算公式即可； （6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性． 13 【详解】（1）解：根据题意，计算 49： 第一步：49接近整十数 50，50 49 1  ； 第二步：取 50的一半 25， 25 1 24  ； 第三步： 21 1 第四步：把第二、三步综合起来，  2 249 25 1 100 1 2401     ． 故答案为：25，1，1； （2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下：     22 250 1005 nn n    ． 故答案为：25， n， n； （3）∵  2 2 1005 00 25 0nn n    ，   2 225 100 100 2500n n n n      ， ∴公式     22 250 1005 nn n    正确； （4） 2 256 (25 6) 100 6    31 100 36   3136 ； （5）计算63 67 的口算方法，具体步骤如下： 第一步：  6 6 1 42   ； 第二步：3 7 21  ； 第三步：前面两步的结果综合起来，63 67 的结果是 4221． 结合上述计算过程，可书写计算公式为 (10 )[10 (10 )] ( 1) 100 (10 )a b a b a a b b        ． 故答案为： (10 )[10 (10 )] ( 1) 100 (10 )a b a b a a b b        ； （6）∵ (10 )[10 (10 )]a b a b   2 2100 10 100 10 10a ab a ab b b      2 2100 100 10a a b b    ， 14 又∵ ( 1) 100 (10 )a a b b    2 2( ) 100 (10 )a a b b     2 2100 100 10a a b b    ， ∴公式 (10 )[10 (10 )] ( 1) 100 (10 )a b a b a a b b        是正确的． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识， 理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键．