专题02 多项式乘多项式的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02多项式乘多项式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型三、(+p)(+g)型多项式乘法 类型四、整式乘法与图形面积 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式运算中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 整式乘法混合运算需有序进行： 1. 先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算； 2. 逐项相乘：单项式乘多项式，用分配律逐项相乘，注意符号； 3.合并同类项：计算结束后，合并同类项化简结果： 4.注意细节：系数、字母及其指数分别运算，避免漏乘、符号错误。 关键：步步清晰，确保每一步运算准确。 例1.(25-26八年级上·河南南阳·期中)计算 o(后w2-2w+ (2(m-2nj(m2+mn-3n2） 【变式1-1】(2025七年级上全国.专题练习)计算： ()xx2+x-1-(2x2-1x-4): a5xj252++ 【变式1-2】(2025七年级上·全国.专题练习)计算： 0-x2y)2-x3x2-xy2+1: 1/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)m-n)m2+mn+n2）. 【变式1-3】(24-25七年级下.全国课后作业)计算： (0(x+y(x2-y+y2）; 2a+b+1)(a+b-2); (3)x-2)(x+5)-(2x-3)(2x+1). 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 不含某项，即该项系数为零。 技巧： 1.先按整式乘法法则展开，并合并同类项； 2.令指定项的系数为零，建立方程： 3.解方程求字母的值。 注意： 合并同类项务必准确： 系数包括符号，方程列对是关键； 最终结果需代入验证，确保该项确实被消去。 例2.(2025八年级上·全国.专题练习)已知(x2+mx-3(2x+n)的展开式中不含x的一次项，常数项是-6， 求： (1)m,n的值. (2)m+n)(m2-mn+n2)的值. 【变式2-1】(25-26八年级上天津蓟州·月考)若代数式(x2+x)(x2-2x+m展开后不含xX2项，求m的值 是 【变式2-2】(24-25七年级下·贵州铜仁月考)关于x的代数式(mx-2)2x+1)+x2+n化简后不含x2的项和常 数项. (1)分别求m、的值： (2)求m2024n2025的值. 【变式23】(24-25七年级下贵州铜仁月考)关于x的代数式(mx-2)2x+1)+x2+n化简后不含x2的项和 常数项. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)分别求m、n的值； (2)求(2m+2)224m2025n2026的值. 类型三、+p)+)型多项式乘法 对于(x+p)(x+q)型乘法，其结果是二次三项式。 核心公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p9 技巧： 直接套用公式，“首平方，尾积，和中间”。即： 1.首项为x2; 2.尾项为常数p×q 3.中间项系数为p+q。 注意事项： 确定P,9的符号，这是计算中间项系数和常数项的关键，最容易出错。 最后按x的降幂排列写出结果。 例3.（2025七年级下·全国专题练习)计算下列各式，然后回答问题. (a+4)(a+3)=-;(a+4)a-3)=_ (a-4)a+3)=-;(a-4)(a-3)=_ (1)从上面的计算中总结规律，写出下式结果. (x+a(x+b)=- (2)运用上述结果，写出下列各题结果. ①x+2008)(x-1000)=-; ②(x-2005)x-2000)=- 【变式3-1】(25-26七年级下·湖南张家界·期末)回答下列问题： (1)计算：①(x+2)(x+3)=; ②(x-5)x-6)=; ③(x+2)x-5)=. (2)总结公式：(x+a)(x+b)= (3)由(2)的公式，直接写出下列计算的结果： ①(x+10(x+3)=;②(x-2)(x-3)=; 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4已知a,b,m均为整数，且x+a)(x+b)=x2+mx+6,求m的所有可能值： 【变式3-2】(25-26八年级上·海南海口月考)(1)计算下列式子： ①(x+2)(x+3= ②(x-2(x-3= ③(x+2(x-3)= ④x-2)x+3)= (2)从上面的计算中总结出规律：(x+a)(x+b)= (3)运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①x+4)(x+7)= ②m-5)m+2)= ③(x-1)x-3)= @+ 【变式3-3】(24-25八年级上浙江台州期中)根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与 多项式相乘的法则，得到：(a+b)p+q)=ap+q)+bp+q) 再利用单项式与多项式相乘的法则，得：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bg 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： a b ap bp 9 ag bq 【任务1】计算下列各式： (x+2)(x+3)= (x-2)(x+3)=_ (x+2)(x-3)=_ 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-2x-3= 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释x+P)(x+q)=_ 【任务3】如果x+p)x+q=x2+mx+8其中m,p,q均为整数，求m的值。 类型四、整式乘法与图形面积 整式乘法与图形面积关联时，关键是用代数式正确表示图形的各部分长度。 技巧： 1.分割或填补图形，使其成为规则图形（如长方形）的组合。 2.列出面积表达式，根据几何关系（和、差）用整式表示总面积。 3.进行整式乘法运算，展开并合并同类项，得到最简结果。 注意： 字母代表长度，取值需非负。 确保运算过程遵循整式乘法法则，展开时注意系数和符号。 例4.(25-26八年级上·广东汕尾·月考)如图，某中学校园内有一块长为x+2y)米，宽为2x+y)米的长方 形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场. y米y (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为平方米（结果写成最简形式）： (②)求文化广场的总面积（结果用含x,y的最简形式表示）： (3)若x=2,y=3,预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用. 【变式4-1】(25-26八年级上·吉林长春.期中)如图，一个小长方形的长为a+b,宽为a,把6个大小相同 的小长方形放入到大长方形内. a+b (1)求在大长方形中，阴影部分的面积（用含Q,b的式子来表示）. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)若b=2a,大长方形面积为S,大长方形内阴影部分的面积为S,则：= S 【变式4-2】(25-26七年级上·重庆璧山期中)书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好， 现有一本数学课本如图1所示，其长为28cm、宽为20.5cm、厚为lcm,小军用一张长方形纸包好了这本数 学书，他将封面和封底各折进去xCm,封皮展开后如图所示，求： 20.5cm 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (I)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去1.5cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2? 【变式4-3】(25-26七年级下浙江温州期中)某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园的活动， 如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的， 模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长 方形A的宽为m,长为n,等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为n-4),宽为(m-1.5 ,模板总高为32cm. m A m B B D 32 B B A 图1 图2 (①)请用含m,n的代数式表示模板的面积（结果需化简）. (2)当2n-m=21时，请求出花灯模板的面积.单位：cm2 6/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、多项式乘法中的规律性问题 规律性问题通常涉及连续整式（如(x+a)(x+b).·)的展开结果。 核心技巧： 1.先特例探规律：计算前几个简单情况（如令x=1,或写出n=1,2时的结果）。 2.观察与归纳：重点关注展开式各项的系数与指数的变化规律 3.用符号概括：将发现的规律用含的代数式（通项）表示出来。 关键注意： 确保初始特例计算绝对准确，否则规律全错。 归纳出的规律需符合所有特例，最好能进行简要验证。 例5.(24-25七年级下.山西太原·月考)①16×14=224=1×1+1)×100+6×4 ②23×27=621=2×2+1×100+3×7 ③32×38=1216=3×3+1×100+2×8 …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案。 81×89= 73×77= 45×45= ； 64×66= (2)用公式(x+a(x+b)=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律. 【变式5-1】(25-26八年级上·四川内江期中)我们知道(a+b)2展开后等于a2+2ab+b2,我们可以利用乘 法法则将(a+b)展开.如果进一步，要展开(a+b)4,(a+b),你一定发现解决上述问题需要大量的计算， 是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(a+b)(n为非负整数)的每一项按字母α的次数由大到小 排列，就可以得到下面的等式： 计算 结果的项数 各项系数 (a+b)0=l 1 (a+b)'=a+b 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 3 121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 4 1331 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾 宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角. 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请根据上表写出(a+b)4,(x+2)的结果。 (a+b)= ；(x+2)3= (②)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 44-4×43× 【变式5-2】(25-26七年级上河南郑州期中)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就 是其中一例.如果将(a+b)”（n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的 等式： (a+b)°=1，它只有一项，系数为1： (a+b)=a+b,它有两项，系数分别为1,1； (a+b)=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1； (a+b)=a3+3ab+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1； 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： 10105 (1)按以上规则，(a+b)展开式共有项，第三项（字母部分为ab)的系数是_： 【拓展推广】 (2)我们在对(a-b的推导过程中，是将a+b)2=a2+2ab+b2中的“b”代换成“-b”,可得 (a-b)2=[a+(-b)]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2;利用杨辉三角，写出(a+b)的展开式-，进而写出 (a-b)的展开式_ 【迁移应用】 (3)根据以上规律计算：56-6×5×7+15×54×72-20×53×73+15×52×74-6×5×73+7. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-3】(25-26八年级上四川眉山期中)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三 角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和， 它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 1 11 (a+b)1=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 …… (1)根据上面的规律，则(a+b)的展开式=- (2)(a+b)“的展开式共有项，系数和为_ (3)运用：今天是星期一，经过8225天后是星期_ (4)直接写出(a-2b)的展开式中第三项的系数_ (⑤)若(2x-1）205=a,x2025+a,x2024+…+a024x2+a2osx+a26,求a,+a2++a204+a3025的值. 类型六、整式运算中的新定义型问题 新定义题的关键是理解并应用“新规则”。 核心技巧： 1.仔细读题：明确新运算的每一步法则（如符号“☆”的含义）。 2.模仿示例：严格按定义步骤操作，将新运算转化为常规整式运算。 3.化简求值：运用整式运算法则（去括号、合并同类项等）计算结果。 重要注意： 定义中的运算顺序和规则不可主观更改。 最终结果通常要化为最简形式，并与定义中的变量取值范围保持一致。 例6.(25-26八年级上·全国课后作业)定义：若A-B=1,则称A与B是关于1的单位数. (1)3与是关于1的单位数，x-3与 (填一个含x的式子)是关于1的单位数： (2)若A=3x2(x+2)-(2x-1,B=2x r+x-小 判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由. 【变式6-1】(2425七年级下全国期中)定义 12 aZbc,四 =1×4-2×3=-2.已知 c 34 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 |2x+11 x+1x-1 A= (n为常数)，B= x-12x x-1x+1 (1)若B=4,则x的值为-： (②)若A的代数式中不含x的一次项，当x=1,求A+B的值； (3)若A中的n满足8×2+=24，且A=B+2时，求16x2-8x+9的值. 【变式6-2】(24-25七年级下·四川成都期中)定义：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数 正好比整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”. (1)如果A=x-2,B=2x+5,判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知A=x-3,B=x2+2mx+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数， ①当n=1时，如果B是A的“相邻增项式”，求m的值. ②设D=B(A+2),若关于x的整式D中不含x的二次项，是否存在的值，使得整式D是整式A的“相邻增 项式” 【变式6-3】(25-26八年级上·北京期中)小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或 px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q=mpx2+(mq+npx+nq的值为O,把此时x的值称为多项式A的 零点. 0尼如多项式8x儿-引.则此多项式的琴点为子和 (2)已知多项式B=(x-2)(x+m)=x2+(a-1)x-3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； 间小聪继续斯完红-4训：-2小，：-及个一八-引等，发现在箱上表示这些多项式零点的两个点 关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”.若关于x的多项式M=(2x-b)(x-7是“3-系多 项式”，则b= 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上河南许昌月考)若(x+2)(x-3)=x2+mx+n,则m、n的值分别是（) 10/14 专题02 多项式乘多项式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型三、(x+p)(x+q)型多项式乘法 类型四、整式乘法与图形面积 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式乘法混合运算 整式乘法混合运算需有序进行： 1. 先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算； 2. 逐项相乘：单项式乘多项式，用分配律逐项相乘，注意符号； 3. 合并同类项：计算结束后，合并同类项化简结果； 4. 注意细节：系数、字母及其指数分别运算，避免漏乘、符号错误。 关键：步步清晰，确保每一步运算准确。 例1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则． （1）根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：           （2）               ． 【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运动法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 不含某项，即该项系数为零。 技巧： 1. 先按整式乘法法则展开，并合并同类项； 2. 令指定项的系数为零，建立方程； 3. 解方程求字母的值。 注意： - 合并同类项务必准确； - 系数包括符号，方程列对是关键； - 最终结果需代入验证，确保该项确实被消去。 例2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 【变式2-2】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）关于的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是关键； （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 【变式2-3】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则将括号打开，再合并同类项即可化简，再由题意可得，，求解即可； （2）将，代入式子计算即可得解． 【详解】（1）解：， ∵关于x的代数式化简后不含的项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴ 类型三、(x+p)(x+q)型多项式乘法 对于(x+p)(x+q)型乘法，其结果是二次三项式。 核心公式： (x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+ pq 技巧： 直接套用公式，“首平方，尾积，和中间”。即： 1. 首项为x2； 2. 尾项为常数p×q； 3. 中间项系数为 p+q。 注意事项： - 确定p, q的符号，这是计算中间项系数和常数项的关键，最容易出错。 - 最后按x的降幂排列写出结果。 例3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【变式3-2】（25-26八年级上·海南海口·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 类型四、整式乘法与图形面积 整式乘法与图形面积关联时，关键是用代数式正确表示图形的各部分长度。 技巧： 1. 分割或填补图形，使其成为规则图形（如长方形）的组合。 2. 列出面积表达式，根据几何关系（和、差）用整式表示总面积。 3. 进行整式乘法运算，展开并合并同类项，得到最简结果。 注意： - 字母代表长度，取值需非负。 - 确保运算过程遵循整式乘法法则，展开时注意系数和符号。 例4．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为_____平方米（结果写成最简形式）； (2)求文化广场的总面积（结果用含，的最简形式表示）； (3)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1)； (2)文化广场的总面积平方米； (3)修建文化广场所需要的费用元． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，合并同类项，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形面积即可求解； （）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （）把，代入求出面积，然后乘以即可求解． 【详解】（1）解：图中两块空白地块的面积为（平方米）， 故答案为：； （2）解： （平方米）， 答：文化广场的总面积平方米； （3）解：当，时， （平方米）， ∴修建文化广场所需要的费用（元）， 答：修建文化广场所需要的费用元． 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，一个小长方形的长为，宽为，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． (1)求在大长方形中，阴影部分的面积（用含，的式子来表示）． (2)若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式的化简与求值，熟练掌握“根据小长方形的长和宽确定大长方形的边长，通过面积差计算阴影部分面积”是解题的关键． （1）先根据小长方形的长、宽确定大长方形的长和宽，计算大长方形面积后，减去6个小长方形的面积，得到阴影部分面积． （2）将代入和的表达式，计算两者的比值． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴大长方形面积为，6个小长方形面积， ∴阴影部分面为 ； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去，封皮展开后如图所示，求： (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少？ 【答案】(1)包书纸的长是，宽是 (2)包书纸的面积是 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，注意计算的准确性即可，正确读懂题意是解题关键． （1）根据封皮的展开图长和宽列代数式即可得到答案； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：包书纸的长是， 包书纸的宽是， 答：包书纸的长是，宽是； （2）解：当时，， 答：包书纸的面积是． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】(1) (2)348 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 规律性问题通常涉及连续整式（如(x+a)(x+b)...）的展开结果。 核心技巧： 1. 先特例探规律：计算前几个简单情况（如令x=1，或写出n=1,2时的结果）。 2. 观察与归纳：重点关注展开式各项的系数与指数的变化规律。 3. 用符号概括：将发现的规律用含n的代数式（通项）表示出来。 关键注意： - 确保初始特例计算绝对准确，否则规律全错。 - 归纳出的规律需符合所有特例，最好能进行简要验证。 例5．（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川内江·期中）我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 【答案】(1)；． (2) 【分析】本题考查了杨辉三角的应用及二项式展开式的规律，解题的关键是利用杨辉三角确定二项式展开式的各项系数，结合展开规律进行运算． （1）根据杨辉三角得出的系数，按降幂、升幂展开；确定的系数，将、代入展开； （2）观察式子结构，逆用二项式展开公式，将式子转化为二项式的幂的形式计算． 【详解】（1）解：由杨辉三角，的系数为1，4，6，4，1， 故； 的系数为1，5，10，10，5，1，令，，则 ． 故答案为：；． （2）解：观察式子，其符合的形式，令，，则原式． 【变式5-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； 【拓展推广】 （2）我们在对的推导过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ，进而写出的展开式 ； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算：． 【答案】（1）5；6；（2）；；（3） 【分析】本题考查了整式的规律问题，理解题意，找出规律即可求解． （1）直接根据题干式子结合图表作答即可； （2）根据规律写出式子即可； （3）根据题意将原式化简为即可求解． 【详解】解：（1）由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即， ∴第三项（字母部分为）的系数是6； 故答案为：5；6； （2）根据图像得：， 将中的“”代换成“”， ∴ 故答案为：；； （3）根据题意得： ． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ； （2）观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依次类推，的展开式的系数和为； （3）∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 类型六、整式运算中的新定义型问题 新定义题的关键是理解并应用“新规则”。 核心技巧： 1. 仔细读题：明确新运算的每一步法则（如符号“☆”的含义）。 2. 模仿示例：严格按定义步骤操作，将新运算转化为常规整式运算。 3. 化简求值：运用整式运算法则（去括号、合并同类项等）计算结果。 重要注意： - 定义中的运算顺序和规则不可主观更改。 - 最终结果通常要化为最简形式，并与定义中的变量取值范围保持一致。 例6．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【变式6-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值． ②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式” 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②不存在，见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，多项式的项的概念理解，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②不存在， ∵， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∴ 当，即时，，而，故不符合题意，舍； 当，即时，，而，故不符合题意，舍 综上所述， 故不存在． 【变式6-3】（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【详解】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法的规律发现与应用，解题关键在于发现与多项式相乘时的消去规律． 先计算前三个式子结果分别为，，，得出规律，再根据规律计算即可． 【详解】解：； ； ； … ； 则， 即； ，则， 即， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·浙江温州·月考）五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 7．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何面积，先表示出大长方形的长为，大长方形的宽为，再表示出大长方形的面积，最后逐个判断即可． 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 10．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，列出代数式是正确解答的关键． （1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用长方形的面积减去两个三角形的面积； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：由题可得：； ∴阴影部分的面积为：； （2）解：将代入得：； 故阴影部分的面积为. 13．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． （2）根据图2比图1中草坪面积减少了，可得，将代入图2中草地的面积的代数式即可． 【详解】（1）解： ， 即剩余草坪的面积是平方米； （2）解：由题意知，图2比图1中草坪面积少：（平方米）， ， ， （平方米）， 即图2中草地的面积为平方米． 16．（25-26八年级上·山东济宁·周测）探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 17．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 18．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $