重难点06 解三角形的最值与范围问题（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点06 解三角形的最值与范围问题 三年考情分析 2025年考向预测 解三角形中的最值与范围问题常与正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等知识结合，考查综合应用能力 2025 年高考将继续作为高考数学的重要考点，难度中等偏，将更多地与三角函数、平面向量等知识结合，可能出现更多结合实际情境的创新题型，如与几何图形(如四边形、圆内接三角形)结合 三角形中的最值范围问题的解题策略： ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 ③坐标法 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结 合三角函数、基本不等式等知识求其最值: 题型1 求周长的最值范围 1．（2024·25高二上·浙江·期中）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由余弦定理， 所以，又，所以； （2）由正弦定理得， ∴，. ∴ 在锐角中，，， 又∵，∴，∴， 综上可得， ∴， ∴ ∴周长的取值范围为. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 3．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，对应的三边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以，即； （2）因为，，由正弦定理得， 则，又， 则，且， 所以 因为，所以，则， 所以， 综上可知，三角形的周长的取值范围是． 5．（2024·25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 题型2 求面积的最值范围 1．（2022·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 【答案】(1)满足①③， (2) 【详解】（1）（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③， 由③知，则 故 （2），由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立 又，故面积最大值为 2．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域； (2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）， ， 当时，， ， 所以函数的值域为 （2）由（1）可知， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，由可知，， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立， 故三角形面积， 即面积最大值为. 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 5．（2024·河北·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即面积的最大值为． 故答案为： 题型3 求角度的最值范围 1．（2023·北京丰台·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为 ；的最大值是 . 【答案】 【详解】∵，∴由正弦定理得， 又，故，∴， ∵，∴； ∴， ∴，. ∵，∴， ∴当，即时，取得最大值. ∴当时，取得最大值. 故答案为：；. 2．（2020·北京密云·一模）在中，，，分别是角，，的对边，并且． （Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答． （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）1. 【详解】（Ⅰ）， 由余弦定理知，， ，． 选择①②： ， ，即，解得或（舍负）， 则的面积； 选择①③： 由正弦定理知，， ，， ， ， 由构成的方程组，解得，， 则的面积． 选择②③： 由正弦定理知，， ，， 则的面积． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ， ， ， ，， ，， 故的最大值为1． 3．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又  ． 故答案为：. 4．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 5．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，， 再由余弦定理，得，则， 又因为，所以， 因为，所以. 解法2：因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 题型4 求边长和差的最值范围 1．（2024·四川泸州·一模）设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. （2）由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 2．（2023·山西·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)设，当取得最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可知：， 即，则， 因为，则，且， 可得（不合题意），或，即， 又因为由三角形内角和定理可知，所以. （2）若，则， 由正弦定理得. 由（1）可知， 所以， 所以当，即时，取得最大值. 由正弦定理可知，即，解得， 又， 所以此时. 3．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【答案】(1)或； (2)最大值，. 【详解】（1），，， 又，， ． 又在中，，，， 因为，所以， 又在中，，， 再由三角形的余弦定理得：，， 即，解得或， 当时，， 当时，， （2），，． ． 其中，，，， 在中，，， 当时，取到最大值， 此时，． 4．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 【答案】 8 / 【详解】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 5．（2023·24高一下·河北·期中）在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为 ． 【答案】24 【详解】则的面积为， 则，所以，显然， 故， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：24 题型5 求边长商的最值范围 1．（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得， 而，由余弦定理得，即， 联立解得，，因此，，所以. （2）由（1）知，则，且， 由，得，即， 因此， 所以的取值范围是. 2．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意可得面积， 可得，即， 又易知为锐角，可得； 由正弦定理可得， 因为为钝角，可得，所以； 可得，因此； 故答案为：；； 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为， 则，又由题，则； （2）由（1），，又为锐角三角形， 则. 由正弦定理： . 因在上单调递增，则时，. 则，即. 4．（2024·全国·模拟预测）在中，，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 已知在中，，， 所以，，设， 在中，， 在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 5．（2024·江西·模拟预测）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、．若．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，，所以 ， 于是， 所以由，得， 由正弦定理得：，于是， ， 因为，所以，， 当且仅当时，“=”成立， 故答案为：． 题型6 求实际问题中的最值范围 1．（2020·21高一·全国·课后作业）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为. 故选：D. 2．（2023·24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【详解】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 故答案为： 3．（2020·上海普陀·一模）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设． （1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）. 【答案】（1）， （2）当时，停车场最大面积为平方米 【解析】（1）由正弦定理求得，再计算停车场面积关于的函数关系式； （2）化简函数解析式，求出的最大值以及取最大值时对应的值． 【详解】解：（1）由平行四边形得，在中，,, 则，即， 即，， 则停车场面积， 即，其中. （2）由（1）得， 即，   则.    因为，所以， 则时，平方米. 故当时，停车场最大面积为平方米. 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题． 4．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，设切点为，连接．由题意得， 设， 在中， , 当且仅当时取等号． 设，则， 所以， 故 （当且仅当时取等号）， 所以， 解得，所以的最小值为． 故答案为：. 5．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【答案】B 【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，， ， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在中，，，，根据余弦定理可知 ，所以的最小值为． 故选：B. 题型7 求参数的最值范围 1．（2024·海南·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由得， 得， 得，得， 得, 故或, 又为锐角三角形，故，即,， 由及正弦定理可得，故，， 因，故恒成立， 又 , 又为锐角三角形，故，， 故当时取得最大值， 故，即实数的取值范围为， 故答案为： 2．（2023·24高三上·河南郑州·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，得， 所以， 因为，，， 所以，则， 不等式恒成立，又， 所以恒成立，即， 因为， 所以 ， 因为三角形为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 又因为函数在区间单调递增， 所以，则， 所以. 故答案为： 3．（2023·四川成都·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在中，由可得, 又因为， 所以，即 则， 所以可得，由正弦定理得． 又可知．又为锐角三角形，所以， 由余弦定理得．所以， 即，所以， 解得． 又，所以． 又因为，所以， 即． 令，则，则． 因为在上单调递增，又，， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等求出参数取值范围. 4．（2022·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理，得， 所以， 所以， 即． 因为， 则当时，， 所以． 故选：D． 5．（2023·河南郑州·二模）在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，，由正弦定理得：， ∴，其中，又， ∴存在最大值，即有解，即， ∴，解得，又，解得，故的范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围. （建议用时：60分钟） 1．（2023·北京通州·三模）在△ABC中，若，，，若△ABC中存在且唯一，则△ABC面积的最小值为 ；此时m的值为 . 【答案】 【详解】设BC=a，△ABC面积为S，由余弦定理得， 所以①，由题意△ABC中存在且唯一，所以方程①有唯一解， 所以，解得或（舍去）， 代入方程①得，由及得， 所以， 此时三角形的三边为4，，，满足三角形成立条件，且. 故答案为：， 2．（2022·北京·三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】设，，，，则，则有和， 代入，解得：， 令和， 导函数，即可得的最大值在时取得， 此时，求得此时， 故选：D. 3．（2024·25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由于，，成等差数列，则， 由正弦定理可得, 故, ， 由于，因此，故 ，当且仅当，取等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得，进而利用正切和正弦的和差角公式得，，即可结合基本不等式求解. 4．（2022·23高三上·河南郑州·期末）已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记角所对的边分别为.因为， 所以由正弦定理可得.. ， 令，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故，故， 则实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键. 5．（2023·北京·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，对于， 利用正弦定理得： ∵，∴. ∵，且 ∴， ∴. （2）由（1）.在中， ∴ ∴（当且仅当时取等号，此时， ）. ∴ ∴ 6．（2023·北京延庆·一模）在中，，. (1)当时，求和； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)， (2)27 【详解】（1）因为且， 所以. 由正弦定理得，即. 所以. 所以或. 因为， ，所以. 所以. 由，即， 解得. （2）因为，    因为， 所以.                         所以，当且仅当为时，等号成立. 所以. 所以面积的最大值为. 7．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. （2）由（1）可知， 因为的面积为，即，所以， 则，即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 8．（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)= (2) 【详解】（1）由条件可知，， 即，即， ，即，则， 所以，且，所以； （2）由余弦定理， ， 因为，则，即， ， 设，， 设，则， 当，函数单调递增， 所以的范围是，所以的范围是. 9．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 由得，故或， 解得或，， 结合为锐角，故 （2）， 由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即， 故， 令，则对称轴为， 故当时，取最小值，， 故 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）锐角中，角对应的边为，满足，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意及正弦定理， 得， 因为，所以， ∴, ∴， 因为，所以，， 又因为，所以. （2）∵，∴， ， 由正弦定理，得，又因为， ， 由，得，得， ∴，∴，则， ∴. 11．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又因为，所以， 应用正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出， 所以， 设边上的高为，， . 12．（2022·23高三上·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)3千米 (2)6千米． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． （2）设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 解三角形的最值与范围问题 三年考情分析 2025年考向预测 解三角形中的最值与范围问题常与正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等知识结合，考查综合应用能力 2025 年高考将继续作为高考数学的重要考点，难度中等偏，将更多地与三角函数、平面向量等知识结合，可能出现更多结合实际情境的创新题型，如与几何图形(如四边形、圆内接三角形)结合 三角形中的最值范围问题的解题策略： ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 ③坐标法 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结 合三角函数、基本不等式等知识求其最值: 题型1 求周长的最值范围 1．（2024·25高二上·浙江·期中）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 3．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，对应的三边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 5．（2024·25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 题型2 求面积的最值范围 1．（2022·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域； (2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值. 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 5．（2024·河北·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ． 题型3 求角度的最值范围 1．（2023·北京丰台·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为 ；的最大值是 . 2．（2020·北京密云·一模）在中，，，分别是角，，的对边，并且． （Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答． （Ⅱ）求的最大值． 3．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 4．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 5．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 题型4 求边长和差的最值范围 1．（2024·四川泸州·一模）设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 2．（2023·山西·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)设，当取得最大值时，求的面积. 3．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 4．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 5．（2023·24高一下·河北·期中）在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为 ． 题型5 求边长商的最值范围 1．（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． 2．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 (1)求； (2)求的取值范围. 4．（2024·全国·模拟预测）在中，，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、．若．则的最小值为 ． 题型6 求实际问题中的最值范围 1．（2020·21高一·全国·课后作业）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 3．（2020·上海普陀·一模）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设． （1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）. 4．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为 ． 5．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 题型7 求参数的最值范围 1．（2024·海南·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为 . 2．（2023·24高三上·河南郑州·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（2023·四川成都·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ． 4．（2022·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河南郑州·二模）在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是 ． （建议用时：60分钟） 1．（2023·北京通州·三模）在△ABC中，若，，，若△ABC中存在且唯一，则△ABC面积的最小值为 ；此时m的值为 . 2．（2022·北京·三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 3．（2024·25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4．（2022·23高三上·河南郑州·期末）已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 6．（2023·北京延庆·一模）在中，，. (1)当时，求和； (2)求面积的最大值. 7．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值. 8．（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 9．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）锐角中，角对应的边为，满足，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 11．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 12．（2022·23高三上·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$