重难点05 三角函数中ω的取值范围（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点05 三角函数中ω的取值范围 三年考情分析 2025年考向预测 根据近三年高考数学的考查情况，本节内容已成为重难点，主要结合函数的单调性、对称性、零点最值等性质进行考查，题型多为选择题，难度稍大 由于三角函数章节是北京卷的必考内容，而ω的取值范围是其中一个难点，2024年曾出现求ω的值的题目，故2025年也是有机会出现该考点，故考生需掌握ω问题的核心解题逻辑 题型1 结合单调性求ω的取值范围 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数（），当时，单调递增，则的取值范围是 ． 题型2 结合图象平移求ω的取值范围 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 1．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．（2024·陕西西安·一模）记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（2024·四川·一模）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．（2022·四川巴中·模拟预测）设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3 结合对称性求ω的取值范围 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值 1．（2023·24高一下·四川德阳·阶段练习）若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的取值范围是 . 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 3．（2023·24高三上·河北·期末）函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·23高一下·湖北武汉·期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 结合函数最值求ω的取值范围 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 1．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·一模）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ． 4．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 结合零点或方程的根求ω的取值范围 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 1．（2023·北京门头沟·一模）设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 2．（2022·北京·三模）已知函数在有且仅有3个零点，则函数在上存在 个极小值点，请写出一个符合要求的正整数的值 . 3．（2023·北京·三模）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值是 A． B． C． D． 4．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 5．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为，，，，且，则的取值范围是 . 2．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高三上·广东·开学考试）已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 . 5．（2024·25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 1．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有个零点，则的最小正周期的最小值为 . 6．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·内蒙古赤峰·二模）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 . 8．（2024·河南·模拟预测）已知和都是函数的零点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·四川内江·三模）设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川资阳·二模）已知函数（），若存在，，使得，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 三角函数中ω的取值范围 三年考情分析 2025年考向预测 根据近三年高考数学的考查情况，本节内容已成为重难点，主要结合函数的单调性、对称性、零点最值等性质进行考查，题型多为选择题，难度稍大 由于三角函数章节是北京卷的必考内容，而ω的取值范围是其中一个难点，2024年曾出现求ω的值的题目，故2025年也是有机会出现该考点，故考生需掌握ω问题的核心解题逻辑 题型1 结合单调性求ω的取值范围 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 2．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 3．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则在上递增， 所以，又，故. 故选：B 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】甲：在区间上单调递增， 当时，则， 所以，， 解得，，又，故k只能取0，所以． 又乙：的取值范围是， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数（），当时，单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 因为在上单调递增， 则解得， 又，可得． 故答案为：． 题型2 结合图象平移求ω的取值范围 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 1．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题意得， 又 所以， 所以，， 又因为，所以的最小值为. 故选：A. 2．（2024·陕西西安·一模）记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为，且， 所以，因为，可得， 所以的图象向右平移个单位后得到， 因为所得函数的图象关于轴对称，所以， 可得，因为，所以的最小值为. 故选：D. 3．（2024·四川·一模）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 由已知得， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 因为，所以的最小值为3， 故选：C. 4．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可得 ，∴，，解得，， 又，∴当时，取得最小值为5． 故选：D. 5．（2022·四川巴中·模拟预测）设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为： ， 但该函数图象与的图象重合，故， 故，但，故， 故选：B. 题型3 结合对称性求ω的取值范围 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值 1．（2023·24高一下·四川德阳·阶段练习）若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，得， 令，解得， 令，得； 令，解得， 令，得. 根据题意，得,解得. 故答案为：. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 3．（2023·24高三上·河北·期末）函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知函数过点，所以，即，又， 所以或，依题意可得， 若则靠近轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去； 所以，即， 因为，所以． 又，的图象如下所示： 要使函数在区间恰有一条对称轴和一个对称中心， 则，解得，即的取值范围是. 故选：C． 4．（2022·23高一下·湖北武汉·期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，，所以， 因为区间上恰有唯一对称轴，故， 解得. 故选：D 5．（2023·全国·三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则， 解得. 故选：A 题型4 结合函数最值求ω的取值范围 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 1．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为且， 所以， 又因为函数在区间上有且仅有3个极值点， 所以满足，即， 故答案为： 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得： ， 由于，可得： 由于函数恰好有5个最大值，4个最小值， 则，解得 故选：B. 3．（2024·江苏宿迁·一模）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 其中， 相邻的后面一个使得成立的值为：， 且，当且仅当，解得：． 故答案是：. 4．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知若，则可得； 显然当时，可得， 由的值域为，利用三角函数图像性质可得， 解得，即的取值范围是. 故选：D 5．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故选：D 题型5 结合零点或方程的根求ω的取值范围 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 1．（2023·北京门头沟·一模）设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； ，则，有且仅有两个零点， 则，解得， 故答案为：（答案不唯一）； 2．（2022·北京·三模）已知函数在有且仅有3个零点，则函数在上存在 个极小值点，请写出一个符合要求的正整数的值 . 【答案】 1 3 【详解】，， 由条件可知在区间有3个零点， 由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点， 且，解得：, 其中满足条件的一个正整数是3. 故答案为：1；3 3．（2023·北京·三模）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 当时，， 因为函数在区间内没有零点，所以最小正周期， 所以，， 所以或 解得，或 的最大值是. 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题. 4．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 5．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得，得． 令，零点和在区间内，则且， 即且，化简得， 由，得，所以为大于1的整数． 易得当时，；当时，； 当时，；当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案. 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为，，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】 由题意得，又， 所以，， 所以，且， 解得， 又因为，此时，所以， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 2．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 3．（2024·25高三上·广东·开学考试）已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在有且仅有2个极值点， 所以，解得， 因为在上单调递增， 又，所以， 解得，所以． 故选：A． 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】易知， 令，即， 根据周期性不妨k取，此时， 则 ， 易知是以B为顶点的等腰三角形， 若要满足为钝角三角形，则，解之得. 故答案为：. 5．（2024·25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，得，又，则， 当时，， 因为在上只有个零点，所以，解得， 当时，， 因为，所以，， 又因为在上单调递增，所以，解得， 综上可得. 故选：C. （建议用时：60分钟） 1．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 当时，则， 因为函数在上有三个零点， 所以， ∴， 故选：A. 2．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，则， 且，所以； 可得，设的最小正周期为， 因为和均关于y轴对称， 可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点， 对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）； 可得，解得， 且，则，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：；. 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 则或， 又，， 当是函数的一个对称中心时，， 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 当不是函数的一个对称中心时，因为， 即， 所以， 所以，又， 所以当时， 综上所述：. 故选：C 4．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 5．（2024·25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有个零点，则的最小正周期的最小值为 . 【答案】/ 【详解】当时，则， 因为函数在区间上有且仅有个零点， 则，解得， 故当时，函数的最小正周期取最小值. 故答案为：. 6．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    7．（2024·内蒙古赤峰·二模）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 . 【答案】(0,2] 【详解】依题意，得， 因为，所以，且， 而函数在上为增函数， 得，得，而，得， 故答案为： 8．（2024·河南·模拟预测）已知和都是函数的零点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】因为为函数的零点，所以，； 同理，；，. 所以，，即为偶数； 所以，，即为3的倍数. 所以为2和3的公倍数. 所以的最小值为6. 故选：B 9．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数， 由，得， 要使函数在上有且仅有两个零点， 所以，则，得， 即的取值范围是. 故选：B. 11．（2024·四川内江·三模）设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，当时，， 又，， 而在原点左侧第一个使得的x的值为，即， 由于存在，且，使得， 故需满足， 即的取值范围是， 故选：B 12．（2024·四川资阳·二模）已知函数（），若存在，，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】. 因为存在，，使得， 所以，解得. 故答案为： 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