黄金卷03（湖北武汉专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D A C C D D B 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．9 12． 13．且 14． 15． 16． 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．【详解】（1）解：由①得：， ∴；············································（2分） （2）由②得：， ∴；············································（4分） （3）在数轴上表示两个解集如下：   ············································（6分） （4）不等式组的解集为：．············································（8分） 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握不等式组是解法步骤是解本题的关键． 18．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；············································（5分） （2）解：（答案不唯一）．过程如下： 如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形．············································（8分） 19．【详解】（1）解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： ············································（4分） （2）（人）．············································（6分） 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． （3）从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些．············································（8分） 20．【详解】（1）证明：连接交于点M， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线；············································（3分） （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， ，············································（4分） 由（1）知， ， ， ， ，············································（6分） ， ， ．············································（8分） 21．【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． 在上取点H，使，连接并延长，交于点G， 则：， 即， 则点G即为所求．············································（4分） （2）如图2，即为所求． 在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P， 则， 则为的中位线， 垂直平分， ， 则点P即为所求．············································（8分） 22．【详解】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线底面宽度米，且O为的中点， ∴（米）， ∴， 把代入，得， ∴． ∴抛物线的解析式为．············································（3分） （2）解：依题意，∵照明灯M，N 的水平距离为10米且在同一高度， ∴ 把代入， ∴， ∴照明灯距地面的高度为米；············································（5分） （3）解：满足安装设计要求，过程如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米），（米）， 如图：延长交抛物线于一点H， ∵电子显示屏，为确保行车安全，距左右墙紧需各留至少1米的安全距离 ∴令， 则， 把，代入， 得， 即点，············································（8分） ∴点到地面距离为（米）， ∵，············································（10分） ∴满足安装设计要求． 23．【详解】（1）解：①过E点作于点Q， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ， ，， ∴；············································（2分） ②延长交于点P， 由对折可知： ∴垂直平分， ∵，， ············································（4分） （2）由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ············································（6分） （3）画出如下图形草图： 描述画图步骤： 先在上相对点A而言更靠近点C的位置任取点E，确定点A关于的对称点G（保证点G画在下方），连接，画的角平分线交的延长线于点F； 由折叠可知： ∴ ∴，， ∴ ∴， ············································（10分） 24．【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，，············································（2分） 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为；············································（4分） （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为，············································（5分） ， ，， ， ， 解得：或，············································（6分） 点在第一象限， ， ，， ；············································（8分） （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或，············································（10分） 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点．············································（12分） 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，被联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会审批列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》．作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（    ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不相同 4．上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 6．如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（   ）　　 A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降 ． 12．已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 13．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 14．在观察地球仪时，某数学小组发现台湾的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，） 15．如图1，在中， (其中)， 四边形， 四边形都是正方形，过C，B两点将正方形分别沿与平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形，一起拼成图2， 点 H在上． 若则的值为 ． 16．已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得_______ (2)解不等式②，得_______； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_________ 18．如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 19．2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 20．如图，为的直径，C为外一点，交于点D，E为的中点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米． (1)求抛物线的解析式； (2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度； (3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 23．如图1，正方形中，边长，E为对角线上一动点，沿着对折，得到． (1)当时， ①求的面积； ②求的长； (2)若在线段上另有一点F如图2，把沿对折，正好得到，设，，用含x的代数式表示y； (3)若点F在线段的延长线上，把沿对折，得到，且在对角线上有一点E，使得沿折叠后正好得到．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍设，，用含x的代数式表示y． 24．已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，被联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会审批列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》．作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形一一判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了中心对称图形的概念和概率求解，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．绕某个点旋转后能与自身重合的图形叫中心对称图形． 先根据中心对称图形的概念得到圆、矩形是中心对称图形，然后由列表法求得所有等可能的结果与全部是中心对称图形的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形分别为A、B、C、D、E； 列表得： A B C D E A B C D           E                     ∴一共有20种情况， ∵是中心对称图形有圆、矩形，即A与B， ∴全部是中心对称图形有2种情况， ∴全部是中心对称图形的概率是． 故选：D． 3．如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（    ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不相同 【答案】A 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图均为长方形，俯视图是一个圆． 故选：A． 4．上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，数据用科学记数法表示为， 故选：D． 5．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每一个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 6．如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键． 由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案． 【详解】解：由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形是菱形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴． 故选：C． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图所示 ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（   ）　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，由可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 的长为5， 设，则， 解得：或5， ， ，， 为半圆的直径， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 故选：D． 10．如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降 ． 【答案】9 【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：根据 “每登高1km气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 下降为负，所以下降， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 12．已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 13．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴且， 即且， 解得：且． 故答案为：且 【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键． 14．在观察地球仪时，某数学小组发现台湾的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，    根据题意， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为， 故答案为：． 15．如图1，在中， (其中)， 四边形， 四边形都是正方形，过C，B两点将正方形分别沿与平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形，一起拼成图2， 点 H在上． 若则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知结合图形得到设，，则，证明得到，再证明求得证明四边形是平行四边形得到，过C作于H，则四边形是矩形，求得，进而求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∵ ∴ 设，，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，，不符合要求，舍去， ∴， ∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过C作于H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合填空题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，看到图形，找到线段之间的数量关系是解答的关键． 16．已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数（为非零常数，）， ∴当时，，，． 又∵当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故正确； 又∵对称轴为直线，， ∴， 若，是函数图象上的两点，离对称轴近些， 又∵抛物线开口向下， 则，故正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ∴， 解得，故正确； ∵二次函数（为非零常数，），当时，随的增大而增大， ∴． 若图象经过点，则，得． ∵，， ∴，故错误； ∴正确，错误， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得_______ (2)解不等式②，得_______； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_________ 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：由①得：， ∴； （2）由②得：， ∴； （3）在数轴上表示两个解集如下：    （4）不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握不等式组是解法步骤是解本题的关键． 18．如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) （答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，再运用证明，即可作答． （2）先由平行四边形的性质得，由，证明四边形是平行四边形，最后因为，即可证明四边形是矩形进行作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：（答案不唯一）．过程如下： 如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形． 19．2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】(1)，88.5，98，图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】（1）根据圆心角度数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： （2）（人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． （3）从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些． 20．如图，为的直径，C为外一点，交于点D，E为的中点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定，相似三角形判定与性质，垂径定理推论及圆周角定理的应用等知识， （1）连接交于点M，得出，证出，，进而得出，即可证出结论； （2）连接，证明，得出，根据，可求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点M， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用， （1）在上取点H，使，连接并延长，交于点G，则点G即为所求； （2）在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，则，可得为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． 在上取点H，使，连接并延长，交于点G， 则：， 即， 则点G即为所求． （2）如图2，即为所求． 在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P， 则， 则为的中位线， 垂直平分， ， 则点P即为所求． 22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米． (1)求抛物线的解析式； (2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度； (3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】(1) (2)米 (3)满足安装设计要求，过程见详解． 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得代入，进行计算即可作答． （3）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把，代入，得，故点到地面距离为（米），因为，所以满足安装设计要求． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线底面宽度米，且O为的中点， ∴（米）， ∴， 把代入，得， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，∵照明灯M，N 的水平距离为10米且在同一高度， ∴ 把代入， ∴， ∴照明灯距地面的高度为米； （3）解：满足安装设计要求，过程如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米），（米）， 如图：延长交抛物线于一点H， ∵电子显示屏，为确保行车安全，距左右墙紧需各留至少1米的安全距离 ∴令， 则， 把，代入， 得， 即点， ∴点到地面距离为（米）， ∵， ∴满足安装设计要求． 23．如图1，正方形中，边长，E为对角线上一动点，沿着对折，得到． (1)当时， ①求的面积； ②求的长； (2)若在线段上另有一点F如图2，把沿对折，正好得到，设，，用含x的代数式表示y； (3)若点F在线段的延长线上，把沿对折，得到，且在对角线上有一点E，使得沿折叠后正好得到．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍设，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识． （1）①过E点作于点Q，求出，，得到，得到，，即可求出答案；②延长交于点P， 由对折可知：，则垂直平分，，即可求出答案； （2）证明，，则，得到，即可求出答案； （3）按照题意画出图形，说明画图步骤，证明，得到，，则，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：①过E点作于点Q， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ， ，， ∴； ②延长交于点P， 由对折可知： ∴垂直平分， ∵，， （2）由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ∴， （3）画出如下图形草图： 描述画图步骤： 先在上相对点A而言更靠近点C的位置任取点E，确定点A关于的对称点G（保证点G画在下方），连接，画的角平分线交的延长线于点F； 由折叠可知： ∴ ∴，， ∴ ∴， 24．已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点． 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$