专题03 认识方程（12大专题突破）-2024-2025学年四年级下册数学计算大通关（北师大版）

2024-2025学年四年级下册数学计算大通关 专题03 认识方程 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：用字母表示数、数量关系 3 突破点二：用字母表示运算定律及计算公式 6 突破点三：用字母表示稍复杂的数量关系 7 突破点四：含有字母式子的化简与求值 10 突破点五：等式的认识及列等量关系式 12 突破点六：方程的认识 15 突破点七：列简易方程 17 突破点八：等式的性质1 18 突破点九：等式的性质2 20 突破点十：应用等式的性质1和2解方程 22 突破点十一：列方程解含一个未知数的问题 25 突破点十二：列方程解含两个未知数的问题 27 综合突破 31 常用知识点 常用知识点 一、用字母表示数 1.基本概念：字母可以表示数量，也可以表示数量关系。 2.运算定律的表示： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 3.图形的计算公式： 长方形周长公式：C=2(a+b)（C为周长，a为长，b为宽） 长方形面积公式：S=ab 正方形周长公式：C=4a（a为边长） 正方形面积公式：S=a^2 4.数字与字母乘积的表示法： 字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以省略不写，数字一般写在字母前面。 1与字母相乘时，1省略不写。 二、方程的基本概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程与等式的联系区别：方程是等式，但等式却不都是方程。 三、等式的性质 1.等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 2.等式性质二：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。 四、解方程 1.解方程的书写格式： 解方程前要先写一个“解”字和冒号。 一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐。 表示未知数的字母一般都要放在等号的左侧。 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3.解方程的过程：求方程的解的过程叫做解方程。 五、列方程解决实际问题 1.关键步骤： 首先用字母表示未知数。 然后根据题目中数量之间的相等关系，列出一个含有未知数的等式（即方程）。 再解出方程。 最后检验，写出答语。 2.常见题型： 根据图形或实际问题中的等量关系列方程。 通过列方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题等。 专题突破 专题突破 突破点一：用字母表示数、数量关系 1．长方形甲的周长是： ，长方形乙的周长是： 。 【答案】 2a＋2b 2a＋2c 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别确定甲、乙的长和宽，再表示出其周长，在含有字母的乘法式子中，数字和字母、字母和字母之间的乘号能省略，数字写在字母的前面。 【详解】长方形甲的周长是：（a＋b）×2＝2a＋2b； 长方形乙的周长是：（a＋c）×2＝2a＋2c。 2．填一填。 鸵鸟2时奔跑 千米，3.5时奔跑 千米，t时奔跑 千米。 【答案】 140 245 70t 【分析】距离＝速度×时间，用鸵鸟的奔跑速度乘奔跑的时间即可求出奔跑的距离，据此解题。 【详解】70×2＝140（千米） 70×3.5＝245（千米） 70×t＝70t（千米） 鸵鸟2时奔跑140千米，3.5时奔跑245千米，t时奔跑70t千米。 3．填空。 在第一层摆了2个圆片， 在第二层摆了3个圆片， 在第n层摆了 个圆片。 【答案】n＋1 【分析】第一层摆了2个圆片，也就是1＋1；在第二层摆了3个圆片，也就是2＋1 在第三层摆了4个圆片，也就是3＋1；由此可知，圆片的个数＝层数＋1，所以在第n层摆的圆片的个数用n＋1表示即可。 【详解】 在第一层摆了2个圆片， 在第二层摆了3个圆片， 在第n层摆了n＋1个圆片。 4．填空。 摆1个三角形需要3根小棒， 摆2个三角形需要6根小棒， 摆a个三角形需要 根小棒。 【答案】3a 【分析】一个三角形需要3根小棒，两个三角形需要2个3根，也就是2×3＝6（根），三个三角形需要3个3根，也就是3×3＝9（根），摆几个三角形就有几个3根，摆a个三角形需要a个3根，也就是3a。据此解题。 【详解】 摆1个三角形需要3根小棒， 摆2个三角形需要6根小棒， 摆a个三角形需要3a根小棒。 5．淘气今年m岁，淘气妈妈今年（m＋25）岁，再过8年后，他们相差( )岁。 【答案】25 【分析】因为不管经过多长时间，孩子与妈妈的年龄差是不变的，用妈妈今年的岁数减淘气今年的岁数即可解答。 【详解】m＋25－m＝25（岁） 再过8年后，他们相差25岁。 突破点二：用字母表示运算定律及计算公式 6．乘法结合律用字母表示是：( )；正方形的周长计算公式用字母表示是：( )。 【答案】 （a×b）×c＝a×（b×c） C＝4a 【分析】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。 正方形的周长是指正方形四条边的长度总和。 【详解】乘法结合律为：（a×b）×c＝a×（b×c）；正方形的周长用C表示，边长用a表示，周长公式是：C＝4a。 乘法结合律用字母表示是：（a×b）×c＝a×（b×c）；正方形的周长计算公式用字母表示是：C＝4a。 7．笑笑画了一个边长a厘米的正方形，那么它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a a2 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，列出算式并化简，字母和数字相乘可以省略乘号并把数字放在字母前面，两个相同的数相乘可以写作这个数的平方。据此解答。 【详解】周长：a×4＝4a（厘米） 面积：a×a＝a2（平方厘米） 所以，它的周长是4a厘米，面积是a2平方厘米。 8．乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【答案】C 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此选择即可。 【详解】A．a×b＝b×a，表示的是乘法交换律，不符合题意； B．a×b×c＝a×（b×c），表示的是乘法结合律，不符合题意； C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c，表示的是乘法分配律，符合题意； D．a＋b＋c＝a＋（b＋c），表示的是加法结合律，不符合题意。 乘法分配律用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 故答案为：C 9．甲数是，比乙数的3倍少，表示乙数的式子是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用字母表示数，找准甲、乙的数量关系，把字母当作数来解答即可。甲数＝乙数×3－b，则乙数＝（甲数＋b）÷3，甲数是a，代入即可。 【详解】由分析可知，乙数是（a＋b）÷3。 故答案为：C 10．小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 b2 ab－b2 【分析】由题意得，一个长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，那么正方形的边长为b厘米，再根据正方形的面积＝边长×边长求解即可。此时，剩下部分是一个长方形。它的长为b厘米，宽为（a－b）厘米，再根据长方形的面积＝长×宽求解即可。也可用大长方形的面积减去正方形的面积求解。 【详解】正方形的面积：b×b＝b2 剩下部分的面积：b×（a－b）＝b（a－b） 剩下部分的面积：ab－b×b＝ ab－b2 故小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是b2平方厘米，剩下部分的面积是ab－b2平方厘米。 突破点三：用字母表示稍复杂的数量关系 11．用小棒摆三角形，如图摆6个三角形要( )根小棒，摆个三角形要( )根小棒；77根小棒能摆( )个三角形。 【答案】 【分析】看图可知摆1个三角形需要（1＋2）根小棒，摆2个三角形需要（1＋2＋2）根小棒，摆3个三角形需要（1＋2＋2＋2）根小棒，……，摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒；知道小棒的根数求摆出三角形的个数时，用小棒根数减去1，再除以2即可。 【详解】2×6＋1 ＝12＋1 ＝13（根） 77－1＝76（根） 76÷2＝38（个） 即用小棒摆三角形，如图摆6个三角形要13根小棒，摆个三角形要（2n＋1）根小棒；77根小棒能摆38个三角形。 12．如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 【答案】C 【分析】根据一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人可以发现每多一张桌子，人数就会多4人，即坐的人数等于桌子的数量乘4，再加上2即可。 【详解】10×4＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 即10张桌子并起来一共可以坐42人。 故答案为：C 13．有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 【答案】B 【分析】此题先求x的4倍，即为4x，再用y减4x，将这个减法写在小括号里，小括号外是除法，15作被除数，小括号中式子计算出的得数作为除数，据此列式。 【详解】y减去x的4倍的差除15的算式是15÷（y－4x）。 故答案为：B 14．摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆3个三角形要7根小棒．那么，摆n个三角形要( )根小棒。 【答案】2n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【详解】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 15．王浩原有80元钱，他买了a元一枝的钢笔2枝，又买了b元一本的笔记本5本，还剩80－（2a＋5b）元。    ( ) 【答案】√ 【分析】先分别求出2支钢笔和5本笔记本分别花的钱数，再求出2支钢笔和5本笔记本一共花的钱数；最后用原有的钱数减去2支钢笔和5本笔记本花的钱数求出剩下的钱数。据此即可解答。 【详解】单价×数量＝总价，原有的钱数－花了的钱数＝剩下的钱数，还剩80－（2a＋5b）元，原题干说法正确。 故答案为：√ 突破点四：含有字母式子的化简与求值 16．服装厂做一套成人运动服需要3.5米的布料，做一套儿童运动服需要2米的布料。现在要做a套成人运动服和b套儿童运动服，一共需要 米的布料。如果，，一共需要 米的布料。 【答案】 3.5a＋2b 93 【分析】用做一套成人运动服需要的布料米数乘套数，求出做a套成人运动服需要的米数，用做一套儿童运动服需要的布料米数乘套数，求出做b套儿童运动服需要的米数，再把做a套成人运动服需要的米数与做b套儿童运动服需要的布料米数相加即可求出一共需要的布料米数；把a＝18，b＝15代入第一步求出的关系式计算即可解答。 【详解】a×3.5＋b×2＝（3.5a＋2b）（米） 把a＝18，b＝15代入3.5a＋2b，得： 3.5×18＋2×15 ＝63＋30 ＝93（米） 所以要做a套成人运动服和b套儿童运动服，一共需要（3.5a＋2b）米布料，如果，，一共需要93米布料。 17．—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩( )页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩( )页没读。 【答案】 344－ab/344－ba 254 【分析】由题意得，—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，那么直接用a×b即可算出已经读了多少页，再用344减去已经读的页数即可算出还剩下的页数；如果a＝18，b＝5，直接将数据代入即可解答。 【详解】344－a×b＝（344－ab）页 当a＝18，b＝5时，344－ab＝344－18×5＝344－90＝254（页） —本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩344－ab页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩254页没读。 18．修一条长S千米的路，每天修a千米，已经修了5天，5a表示( )，S－5a表示( )，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是( )千米。 【答案】 已修的长度 还剩下的长度 452.5 【分析】根据题干可知，每天修a千米，已经修了5天，用每天修的长度乘修的时间，即可求出修的长度，则5a表示已经修的长度，用总长度减去已经修的长度，即可求出还剩下的长度，则S－5a表示还剩下的长度；将S＝500，a＝9.5带入S－5a计算即可解此题。 【详解】S－5a ＝500－5×9.5 ＝500－47.5 ＝452.5（千米） 综上可知，5a表示已修的长度，S－5a表示还剩下的长度，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是452.5千米。 19．李老师买了7支钢笔和5本笔记本。钢笔每支a元，笔记本每本b元。李老师一共付了( )元。若a＝5.2元，b＝1.3元，则李老师一共付了( )元。 【答案】 7a＋5b 42.9 【分析】根据总价＝单价×数量，分别用包含字母a、b的算式表示出买钢笔和笔记本的总价，再相加即可得出李老师一共付了多少钱。当a＝5.2元，b＝1.3元时，带入算式计算出李老师一共付了多少钱即可。 【详解】李老师买了7支钢笔和5本笔记本。钢笔每支a元，笔记本每本b元。李老师一共付了（7a＋5b）元。 当a＝5.2元，b＝1.3元时，李老师一共付了： 7×5.2＋5×1.3 ＝36.4＋6.5 ＝42.9（元） 所以当a＝5.2元，b＝1.3元时，李老师一共付了42.9元。 【点睛】本题主要考查用字母表示数以及小数的加法计算，解答本题的关键在于知道总价＝单价×数量。 20．学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示( )；当，，则( )元。 【答案】 买20个足球和个篮球一共的价钱 1480 【分析】根据单价数量总价，确定、分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义；把、的值代入代数式，求出结果即可。 【详解】表示买20个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 表示买20个足球和个篮球一共的价钱。 当，时， 表示买20个足球和个篮球一共的价钱。当，，则元。 突破点五：等式的认识及列等量关系式 21．生活中有很多等量关系，找一找，说一说。 【答案】工作总量＝工作效率×工作时间；利润＝售价－成本 【分析】工作时间、工作效率、工作总量之间的等量关系为：工作总量＝工作效率×工作时间；利润与成本、售价之间的等量关系为：利润＝售价－成本；合理即可。 【详解】工作总量＝工作效率×工作时间 利润＝售价－成本 （答案不唯一） 22．结合下列情境说说数量间的等量关系。 【答案】见详解 【分析】求一个数的几倍是多少要用乘法计算。小女孩的年龄乘4可以算出阿姨的年龄。 求比一个数多几的数是多少要用加法计算。科技书的本数加上故事书比科技书多的本数，可以算出故事书的本数。 【详解】答： 23．请你表示下列数量间的等量关系。 【答案】1个苹果的质量＋1个梨的质量＝300g，1个鸡蛋的质量×2＝100g，1本数学故事书的价格×3＝15.6元 【分析】第一个图中，天平达到平衡，两端重量相等，天平左边有1个苹果和1个梨，天平右边有1个200g和1个100g的砝码，据此列式即可； 第二个图中，天平达到平衡，两端重量相等，天平左边有2个鸡蛋，天平右边有1个100g的砝码，据此列式即可； 第三个图中，标明3本数学故事书的总价为15.6元，据此列式即可。 【详解】1个苹果的质量＋1个梨的质量＝200g＋100g＝300g 1个鸡蛋的质量×2＝100g 1本数学故事书的价格×3＝15.6元 答：图中数量间的等量关系如下：1个苹果的质量＋1个梨的质量＝300g，1个鸡蛋的质量×2＝100g，1本数学故事书的价格×3＝15.6元。 24．根据下图图意，写出等量关系( )。 【答案】/ 【分析】仔细观察可知：三个篮球的价格加上一个足球的价格，一共是234元。也就是。 【详解】根据分析可知： 根据下图图意，写出等量关系。 （答法不唯一） 25．学校合唱队的人数比舞蹈队少18人，下列等量关系式正确的是（    ）。 A．合唱队的人数＋18人＝舞蹈队的人数 B．舞蹈队的人数＋18人＝合唱队的人数 C．合唱队的人数－舞蹈队的人数＝18人 D．合唱队的人数－18人＝舞蹈队的人数 【答案】A 【分析】学校合唱队的人数比舞蹈队少18人，说明合唱队的人数少，舞蹈队人数多，据此找等量关系式。 【详解】由分析可知：合唱队的人数＋18人＝舞蹈队的人数，或舞蹈队的人数－18人＝合唱队的人数，或舞蹈队的人数－合唱队的人数＝18人，只有选项A正确。 故答案为：A 突破点六：方程的认识 26．下面各式中，（    ）是方程。 A．2n＋34＝86 B．7x－6＜22 C．10＋m D．24÷3＝8 【答案】A 【分析】方程是含有未知数的等式； 方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此逐项分析。 【详解】A．2n＋34＝86是等式且含有未知数n，所以是方程； B．7x－6＜22含有未知数x，但不是等式，所以不是方程； C．10＋m含有未知数m，但不是等式，所以不是方程； D．24÷3＝8是等式，但没有未知数，所以不是方程。 故答案为：A 27．因为7.5x＋2含有未知数，所以是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此判断。 【详解】7.5x＋2含有未知数，但不是等式，所以不是方程，原题说法错误。 故答案为：× 28．6＋9x＜33是方程。( ) 【答案】× 【分析】方程必须具备两个条件：必须是等式；必须含有未知数，据此解答即可。 【详解】由分析可知，6＋9x＜33不是等式，所以6＋9x＜33不是方程，原说法错误。 故答案为：× 29．下面是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④  ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】方程是含有未知数的等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】①，它是等式且含有未知数，所以它是方程。 ②，它不是等式但它含有未知数，所以它不是方程。 ③，它是等式且含有未知数，所以它是方程。 ④，它不是等式但它含有未知数，所以它不是方程。 ⑤，它是等式但它不含有未知数，所以它不是方程。 综上所述，方程有2个。 故答案为：B 30．下列式子中（    ）是方程。 A．3x÷6＝5 B．6n－7 C．19－7＝12 D．4a＋8 【答案】A 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【详解】A．3x÷6＝5，既含有未知数，又是等式，所以是方程； B．6n－7，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；     C．19－7＝12，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；     D．4a＋8，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 故答案为：A 突破点七：列简易方程 31．根据题意先说出等量关系再列出方程。 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么 。 【答案】x－5＋8＝15 【分析】这辆公共汽车上原来的人数减去下车人数，再加上上车人数，可以算出现在车上人数。据此列出等量关系及方程。 【详解】等量关系式：车上原来人数－5＋8＝15 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么x－5＋8＝15。 32．全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是( )。 【答案】3.2m＝14050 【分析】根据等量关系：笑笑平均每小时阅读字的个数×笑笑在图书馆阅读的时间＝一共阅读的字数，据此列方程即可。 【详解】1.2＋2＝3.2（小时） 笑笑在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是3.2m＝14050。 33．的3倍与36的和是100，用方程表示是( )。 【答案】 【分析】根据题意最后算的是和，所以先把3与x相乘，数字与字母相乘，乘号可以省略不写，数字在前字母在后，再给这个积加36，等式的右边是100。 【详解】的3倍与36的和是100，用方程表示是3x＋36＝100。 34．根据“40比a的5倍少2”列出的方程是（    ）。 A．40－5a＝2 B．5a－40＝2 C．5a＋2＝40 D．40－2＝5a 【答案】B 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。a的5倍即5a，再减40等于2，据此列方程即可。 【详解】根据“40比a的5倍少2”列出的方程是5a－40＝2。 故答案为：B 35．5个苹果的质量相同，一共是700克，用x表示每个苹果的质量，列方程表示为( )。 【答案】5x＝700 【分析】根据题意可知，每个苹果的质量×苹果的个数＝一共的重量，据此把数量代入等式即可列出方程。 【详解】5个苹果的质量相同，一共是700克，用x表示每个苹果的质量，列方程表示为 5x＝700。 突破点八：等式的性质1 36．已知a＝b＋2，则a＋2＝b＋4。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立。据此解答。 【详解】已知a＝b＋2，那么等式两边同时加上2，等式仍成立，即a＋2＝b＋2＋2＝b＋4。原题说法正确。 故答案为：√ 37．已知a＋3.2＝b＋5.4，那么a（    ）b。 A．＞ B．＜ C．无法确定 【答案】A 【分析】根据等式的性质可知，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，据此解答。 【详解】将等式两边同时减去3.2，得到： 所以。 故答案为：A 38．解方程“3.8x＋5＝16.4”，第一步“3.8x＋5－5＝16.4－5”，依据的是（    ）。 A．加法之间关系 B．减法之间关系 C．运算定律 D．等式性质 【答案】D 【分析】等式的性质1：在等式的左右两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍是等式，据此分析解答。 【详解】由题干可知，在等式的左右两边同时减去5，左右两边仍然相等，符合等式的性质。 故答案为：D 39．因为6x－25＝12，所以6x－25＋25＝12＋25。( ) 【答案】√ 【分析】根据等式的性质对此题进行判断即可： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。 （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】由分析可得： 方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 原式6x－25＝12为方程，也是等式，其变成6x－25＋25＝12＋25，是在等式两边同时加上25，根据等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了等式和方程的意义，以及等式的性质，要求学生熟练掌握。 40．方程两边同时加上或减去同一个数，方程仍然成立。( ) 【答案】√ 【分析】含有未知数的等式叫方程；等式的基本性质的第一条，给等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，据此进行判断。 【详解】由分析得： 方程两边同时加上或减去同一个数，方程仍然成立，题干阐述正确。 故答案为：√ 【点睛】在阐述等式的基本性质的时候，注意两个“同”，一是保证同时，二是保证同一个数。 突破点九：等式的性质2 41．已知x＝y，根据等式的性质，下面各式成立的是（    ）。 A．x＋1＝y－1 B．4x＝4y C．x÷2＝2y 【答案】B 【分析】等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可判断。 【详解】A．由x＝y，得到x＋1＝y＋1，故本项不符合题意； B．由x＝y，得到4x＝4y，故本项符合题意； C．由x＝y，得到x÷2＝y÷2或2x＝2y，故本项不符合题意。 故选：B 42．等式两边都乘或除以同一个数，等式仍然成立。( ) 【答案】× 【分析】根据等式的性质2：等式两边都乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。据此判断。 【详解】因为任何等式乘0都等于0，所以等式两边都乘或除以同一个数，0除外，等式才成立。 故答案为：× 43．如果，根据等式的性质填空。 　　     　　     【答案】 3 0.9 25 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此解答。 【详解】          44．如果x＝y，根据等式的基本性质，经过变化后下面的（    ）是错误的。 A．x÷b＝y÷b（b≠0） B．x＋y＝y＋y C．x×3×5＝15y D．x－y＝y－4＋3 【答案】D 【分析】此题可以根据等式的性质来解答： 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】A．左边除以b，右边除以b，所以左右两边仍然相等； B．左边加上y，右边加上y，所以左右两边仍然相等； C．左边x乘3再乘5相当于x乘15，右边y乘15，所以左右两边仍然相等； D．左边减去y，右边减去4再加上3相当于减去1，y不一定等于1，所以等式左右两边不一定相等。 故答案为：D。 45．方程的解与方程（    ）的解相同。 A． B． C． 【答案】A 【分析】在等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍成立。利用等式的性质把各选项中方程的左右两边同时除以一个数，使左边＝3x，再进行选择。 【详解】A．9x＝12 9x÷3＝12÷3 3x＝4 B．6x＝12 6x÷2＝12÷2 3x＝6 C．9x＝15 9x÷3＝15÷3 3x＝5 故答案为：A 【点睛】熟练掌握等式的性质是解题关键。 突破点十：应用等式的性质1和2解方程 46．解方程。          【答案】；； 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 （1）先根据等式的性质1两边都减去6，得，再根据等式的性质2两边都除以3，得。 （2）先根据等式的性质1两边都加2，得，再根据等式的性质2两边都除以4，得。 （3）根据等式的性质1两边都减去8，得。 【详解】 解： 解： 解： 47．看图列方程求出女生人数。 【答案】x＝9 【分析】根据图示，男生人数是女生人数的4倍还少3人，所以设女生为x人，那么男生人数为（4x－3）人，可知等量关系式为：女生人数＋男生人数＝42人，据此列出方程再解方程即可。 【详解】解：设女生为x人，则男生为（4x－3）人。 x＋4x－3＝42 5x－3＝42 5x－3＋3＝42＋3 5x＝45 5x÷5＝45÷5 x＝9 女生有9人。 48．鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。那么40码的鞋应该是( )厘米。 【答案】25 【分析】将b＝40代入b＝2a－10，即2a－10＝40，根据等式的性质1和2，两边同时＋10，再同时÷2，解方程求出a的值即可。 【详解】2a－10＝40 解：2a－10＋10＝40＋10 2a＝50 2a÷2＝50÷2 a＝25 40码的鞋应该是25厘米。 49．解方程。 x－8.63＝18.7           9x－18＝63 4x＋17.1＝53.1          4x÷6＝14 【答案】x＝27.33；x＝9；x＝9；x＝21 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 （1）等式两边同时加上8.63，即可求出求出未知数x。 （2）等式两边同时加上18，等式变为9x＝81，等式的两边同时除以9，即可求出求出未知数x。 （3）等式两边同时减去17.1，等式变为4x＝36，等式的两边同时除以4，即可求出求出未知数x。 （4）等式的两边同时乘6，等式变为4x＝84，等式的两边同时除以4，即可求出求出未知数x。 【详解】（1）x－8.63＝18.7 解：x－8.63＋8.63＝18.7＋8.63 x＝27.33 （2）9x－18＝63 解：9x－18＋18＝63＋18 9x＝81 9x÷9＝81÷9 x＝9 （3）4x＋17.1＝53.1 解：4x＋17.1－17.1＝53.1－17.1 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 （4）4x÷6＝14 解：4x÷6×6＝14×6 4x＝84 4x÷4＝84÷4 x＝21 50．列方程，并解方程。 【答案】4x＋45＝129；x＝21 【分析】通过观察发现：下面的每一小段是x支，有这样的4小段，也就是4个x支，即4x支，再加上45支，一共是129支，据此列方程，根据等式的基本性质：等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式仍然成立，等式两边都乘或除以（不为0）一个相同的数，等式仍然成立，据此即可求出x的值。 【详解】4x＋45＝129 解：4x＋45－45＝129－45 4x＝84 4x÷4＝84÷4 x＝21 突破点十一：列方程解含一个未知数的问题 51．小军心里想了一个数，将它乘5，再加上20，等于120，小军心里想的数是( )。 【答案】20 【分析】根据题意，可以设小军心里想的这个数为x，然后根据这个数×5＋20＝120，列出方程。在根据等式的性质1和2解方程，即可。 等式的性质1，等式两边同时加上或者减去一个相同的数，等式仍然成立。 等式的性质2，等式两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式成立。 【详解】解：设小军心里想的数是x。 5x＋20＝120 5x＋20－20＝120－20 5x＝100 5x÷5＝100÷5 X＝20 所以，小军心里想的数是20。 52．看图说一说等量关系，再列方程解决问题。 【答案】3个x米的长度＋200米＝2000米；x＝600 【分析】通过观察图可知：前三段每段都一样长，把这四段的长度相加就是总长度，据此列出方程，解方程即可。 解方程时，方程可以化简的，可以先化简，再根据等式的性质1和2解方程。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 【详解】等量关系：3个x米的长度＋200米＝2000米。 3x＋200＝2000 解：3x＋200－200＝2000－200 3x＝1800 3x÷3＝1800÷3 x＝600 53．聪聪和慧慧两家相距1500米，他们相约8：50各自从家向对方家的方向出发，9：02在途中相遇。聪聪的速度为65米/分，慧慧的速度是( )米/分。 【答案】60 【分析】用9：02减去8：50求出二人相遇的时间是多少分钟，设慧慧的速度是x米/分，根据路程＝速度×时间，分别求出相遇时两人走的路程，根据等量关系：“相遇时聪聪走的路程＋慧慧走的路程＝1500米”列方程解答即可。 【详解】解：设慧慧的速度是x米/分。 9：02－8：50＝12（分） 12x＋65×12＝1500 12x＋780＝1500 12x＋780－780＝1500－780 12x＝720 12x÷12＝720÷12 x＝60 因此，慧慧的速度是60米/分。 54．王叔叔用篱笆围了等边三角形的花圃，边长是20米；后来改围成正方形花圃，周长不变，正方形花圃的边长是多少米？（用方程解答） 【答案】15米 【分析】设正方形花圃的边长是x米，根据等量关系：正方形花圃的边长×4＝等边三角形的边长×3，列方程解答即可。 【详解】解：设正方形花圃的边长是x米。 4x＝20×3 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 答：正方形花圃的边长是15米。 55．科技小组制作了28个飞机模型和一些军舰模型，飞机模型比军舰模型的2倍还多4个。科技小组制作的军舰模型有多少个？（列方程解答） 【答案】12个 【分析】根据题意可知，军舰模型的个数×2＋4＝飞机模型的个数，设军舰模型有x个，根据等量关系式列方程，即可求出军舰模型的个数，据此解答即可。 【详解】解：设科技小组制作的军舰模型有x个。 2x＋4＝28 2x＋4－4＝28－4 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 答：科技小组制作的军舰模型有12个。 突破点十二：列方程解含两个未知数的问题 56．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时比乙车多行12千米。甲、乙两车出发5时后，甲车到达两地中点，此时乙车只行了甲车所行路程的一半。（期间乙车因维修停了2时）。A、B两地相距多少千米？ 【答案】720千米 【分析】首先根据题意，设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行（x＋12）千米，然后根据速度×时间＝路程，分别用两车的速度乘行驶的时间，求出两车各行驶了多少路程；最后根据甲车行驶的路程＝乙车行驶的路程×2，列出方程，求出乙车的速度，进而求出A、B两地相距多少千米即可。 【详解】解：设乙车每小时行千米，则甲车每小时行（x＋12）千米，所以 5（x＋12）＝（5－2）x×2 5x＋60＝3x×2 5x＋60＝6x 5x＋60－5x＝6x－5x x＝60 x＋12 ＝60＋12 ＝72（千米/小时） 72×5×2 ＝360×2 ＝720（千米） 答：A、B两地相距720千米。 57．看图列方程并求解。 【答案】79米 【分析】根据题意可知，红色有x米，黄色比红色多88米，黄色的米数用“x＋88”来表示，红色和黄色一共246米，等量关系：红色的长度＋黄色的长度＝红色和黄色的总长度，据此列出方程并求解。 【详解】x＋（x＋88）＝246 解：x＋x＋88＝246 2x＋88＝246 2x＋88－88＝246－88 2x＝158 2x÷2＝158÷2 x＝79 红色长79米。 58．果园里有桃树和梨树共252棵，桃树的棵数是梨树的5倍，桃树和梨树分别有多少棵？ 【答案】 桃树有210棵，梨树有42棵 【分析】桃树的棵数＝梨树的棵数×5，等量关系式：桃树的棵数＋梨树的棵数＝果园里桃树和梨树的总棵数，据此列方程解答解答。 【详解】解：设梨树有x棵，则桃树有5x棵。 5x＋x＝252 6x＝252 6x÷6＝252÷6 x＝42 桃树：42×5＝210（棵） 答：桃树有210棵，梨树有42棵。 59．分桃子啦！ 猴山上有多少只猴？有多少个桃子？ 【答案】有24只猴，有152个桃子。 【分析】可设有猴x只，根据题意，可列出方程5x＋32＝4×10＋8×（x－10），据此解出方程即可求得猴子有多少只，桃子有多少个。 【详解】解：设猴山上有x只猴，有（5x＋32）个桃子。 5x＋32＝4×10＋8×（x－10） 5x＋32＝40＋8x－80 5x＋32＋80＝40＋8x－80＋80 5x＋112＝40＋8x 5x＋112－40＝40＋8x－40 5x＋72＝8x 5x－5x＋72＝8x－5x 3x＝72 3x÷3＝72÷3 x＝24 5x＋32＝5×24＋32＝152 答：猴山上有24只猴，有152个桃子。 【点睛】本题用方程解答比较好理解，根据题意，找出题中的等量关系是解答的关键。 60．60名同学去划船，分别坐在3条大船和6条小船上刚好坐满，已知每条大船上坐的人数是小船坐的人数的3倍。每条大船上坐多少人？（用方程解） 【答案】12人 【分析】设小船坐x人，则大船坐3x人，3条大船坐3x×3＝9x人，6条小船坐6x人，再根据“60名同学分别坐在3条大船和6条小船上刚好坐满”，知道3条大船的人数＋6条小船的人数＝60，列出方程解答。 【详解】解：设小船坐x人，则大船坐3x人。 3x×3＋6x＝60 9x＋6x＝60 15x＝60 x＝60÷15 x＝4 大船坐：3×4＝12（人） 答：每条大船上坐12人。 【点睛】关键是设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，再找出数量关系等式，列出方程解决问题。 综合突破 综合突破 一、计算题 1．解方程。 x－19＝2       x－12.3＝3.8 【答案】x＝21；x＝16.1 【分析】x－19＝2利用等式的性质1，等式两边同时加减相同的数，等式仍然成立。等式两边同时＋19，即x－19＋19＝2＋19，然后再计算即可； x－12.3＝3.8利用利用等式的性质1，等式两边同时＋12.3，即x－12.3＋12.3＝3.8＋12.3，然后再计算即可；据此解题。 【详解】x－19＝2 解：x－19＋19＝2＋19 x＝21 x－12.3＝3.8 解：x－12.3＋12.3＝3.8＋12.3 x＝16.1 2．解方程。                      【答案】；； 【分析】（1）根据，算出方程的解； （2）依据等式的性质，方程两边同时减30，再同时除以2求解； （3）依据等式的性质，方程两边同时加4，再同时除以4求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 3．解方程。 7＋2y＝53        7m÷3＝21        3x－4.9＝4.1 【答案】y＝23；m＝9；x＝3 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 7＋2y＝53根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去7，再同时除以2即可； 7m÷3＝21根据等式的性质2，将方程左右两边同时乘3，再同时除以7即可； 3x－4.9＝4.1根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上4.9，再同时除以3即可。 【详解】7＋2y＝53 解：7－7＋2y＝53－7 2y＝46 2y÷2＝46÷2 y＝23 7m÷3＝21 解：7m÷3×3＝21×3 7m＝63 7m÷7＝63÷7 m＝9 3x－4.9＝4.1 解：3x－4.9＋4.9＝4.1＋4.9 3x＝9 3x÷3＝9÷3 x＝3 4．解方程。 y－8.12＝28    5x－15＝80    8x＋81＝169 【答案】y＝36.12；x ＝19；x＝11 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 y－8.12＝28根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上8.12即可； 5x－15＝80根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上15，再同时除以5即可； 8x＋81＝169根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去81，再同时除以8即可。 【详解】y－8.12＝28 解：y－8.12＋8.12＝28＋8.12 y＝36.12 5x－15＝80 解：5x－15＋15＝80＋15 5x＝95 5x÷5＝95÷5 x ＝19 8x＋81＝169 解：8x＋81－81＝169－81 8x＝88 8x÷8＝88÷8 x＝11 5．解方程。 x＋3.5＝6.8        2x－8＝12 【答案】x＝3.3；x＝10 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此解答。 （1）方程两边同时减去3.5。 （2）方程两边同时加上8，再同时除以2。 【详解】x＋3.5＝6.8 解：x＋3.5－3.5＝6.8－3.5 x＝3.3 2x－8＝12 解：2x－8＋8＝12＋8 2x＝20 2x÷2＝20÷2 x＝10 6．解方程。 3.54＋x＝7.06        5x－37＝63        2x＋7＝91        5x－3.25×2＝18.5 【答案】x＝3.52；x＝20；x＝42；x＝5 【分析】方程可以化简的，可以先化简，再根据等式的性质1和2解方程。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 【详解】3.54＋x＝7.06 解：3.54＋x－3.54＝7.06－3.54 x＝3.52 5x－37＝63 解：5x－37＋37＝63＋37 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 2x＋7＝91 解：2x＋7－7＝91－7 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 5x－3.25×2＝18.5 解：5x－6.5＝18.5 5x－6.5＋6.5＝18.5＋6.5 5x＝25 5x÷5＝25÷5 x＝5 7．解方程。 （1）x÷8＝13    （2）16.2－x＝9.5    （3）4x＋5＝37 【答案】；； 【分析】（1）依据等式的性质，方程两边同时乘8求解； （2）根据，把方程转化为的形式，然后计算出右边的结果； （3）依据等式的性质，方程两边同时减5，再同时除以4求解。 【详解】（1） （2） （3） 8．解方程。 8.5＋x＝100          x÷0.6＝3.5          4x－28＝52 【答案】x＝91.5；x＝2.1；x＝20 【分析】方程可以化简的，可以先化简，再根据等式的性质1和2解方程。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 等号两边同时减去8.5。 等号两边同时乘0.6。 等号两边先同时加上28，然后再同时除以4。 【详解】8.5＋x＝100    解： x＋8.5－8.5＝100－8.5 x＝91.5 x÷0.6＝3.5              解：x÷0.6×0.6＝3.5×0.6 x＝2.1 4x－28＝52            解：4x－28＋28＝52＋28 4x＝80 4x÷4＝80÷4 x＝20 9．解方程。 8x＋19＝51            7.2x＋1.8x＝27            8.5×6.4－4x＝46.4 【答案】x＝4；x＝3；x＝2 【分析】根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。可以解出上面三道方程。 ①根据等式的性质1，方程左右两边同时减去19，再根据等式性质2，方程左右两边同时除以8，得到方程的解； ②先化简等号左边的式子，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以9，得到方程的解； ③先计算8.5×6.4的积，根据等式的性质1，方程左右两边同时加上4x，然后再同时减去46.4，最后根据等式的性质2，方程左右两边同时除以4，得到方程的解。 【详解】8x＋19＝51 解：8x＋19－19＝51－19 8x＝32 8x÷8＝32÷8 x＝4 7.2x＋1.8x＝27 解：9x＝27 9x÷9＝27÷9 x＝3 8.5×6.4－4x＝46.4 解：54.4－4x＝46.4 54.4－4x＋4x＝46.4＋4x 54.4＝46.4＋4x 46.4＋4x＝54.4 46.4＋4x－46.4＝54.4－46.4 4x＝8 4x÷4＝8÷4 x＝2 10．解方程。 x÷2.05＝1.8           3＋2x＝75            8x－15.6＝56.4 【答案】x＝3.69；x＝36；x＝9 【分析】运用等式的性质解方程。 等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立； 第1小题：方程x÷2.05＝1.8，要想得到方程的解，需要在方程左右两边同时乘2.05，得到方程的解； 第2小题：方程3＋2x＝75，要想得到方程的解，需要把2x看成一个整体，在方程左右两边同时减去3；得到2x的值，再在方程左右两边同时除以2，得到方程的解。 第3小题：方程8x－15.6＝56.4，要想得到方程的解，需要把8x看成一个整体，在方程左右两边同时加上15.6；得到8x的值，再在方程左右两边同时除以8，得到方程的解。 【详解】x÷2.05＝1.8 解：x÷2.05×2.05＝1.8×2.05 x＝3.69 3＋2x＝75 解：3＋2x－3＝75－3 2x＝72 2x÷2＝72÷2 x＝36 8x－15.6＝56.4 解：8x－15.6＋15.6＝56.4＋15.6 8x＝72 x＝9 11．解方程。 x＋6.48＝24.5           15x＝630 【答案】x＝18.02；x＝42 【分析】（1）根据等式的性质1，在方程的两边同时减去6.48，求出方程的解即可； （2）根据等式的性质2，在方程的两边同时除以15，求出方程的解即可。 【详解】x＋6.48＝24.5 解：x＋6.48－6.48＝24.5－6.48 x＝18.02 15x＝630 解：15x÷15＝630÷15 x＝42 12．解方程。 2x－0.9＝17.1                         5y÷7＝15 【答案】x＝9；y＝21 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立。 （1）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边先同时加上0.9得到2x的值，然后方程两边再同时除以2即可解方程。 （2）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边先同时乘7得到5y的值，然后方程两边再同时除以5即可解方程。 【详解】2x－0.9＝17.1 解：2x－0.9＋0.9＝17.1＋0.9 2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9 5y÷7＝15 解：5y÷7×7＝15×7 5y＝105 5y÷5＝105÷5 y＝21 13．解方程。     x÷3＝27              x＋8＝15            2y－14＝26 【答案】x＝81；x＝7；y＝20 【分析】根据等式性质等式两边同时加上或减去相同的数，等式两边同时乘或除以相同的数，方程仍然成立；据此解方程。 （1）方程两边同时乘3。 （2）方程两边同时减去8。 （3）方程两边同时加上14，再同时除以2。 【详解】x÷3＝27 解：x÷3×3＝27×3 x＝81 x＋8＝15 解：x＋8－8＝15－8 x＝7 2y－14＝26 解：2y－14＋14＝26＋14 2y＝40 2y÷2＝40÷2 y＝20 14．解方程。 8.3＋x＝14.4    3x＋1＝10    x÷0.6＝2.3 【答案】x＝6.1；x＝3；x＝1.38 【分析】（1）根据等式的性质，两边同时减去8.3即可； （2）首先根据等式的性质，两边同时减去1，然后两边再同时除以3即可； （3）根据等式的性质，两边同时乘0.6即可。 【详解】（1）8.3＋x＝14.4 8.3＋x－8.3＝14.4－8.3 x＝6.1 （2）3x＋1＝10 3x＋1－1＝10－1 3x＝9 3x÷3＝9÷3 x＝3 （3）x÷0.6＝2.3 x÷0.6×0.6＝2.3×0.6 x＝1.38 15．解方程。 x－45＝26    x÷0.5＝4.6    36＋2x＝48 【答案】x＝71；x＝2.3；x＝6 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两端同时加上45，即可算出方程的解。 （2）根据等式的性质2，方程两端同时乘0.5，即可算出方程的解。 （3）根据等式的性质1和2，方程两端同时减去36，再同时除以2，即可算出方程的解。 【详解】x－45＝26 解：x－45＋45＝26＋45 x＝71 x÷0.5＝4.6 解：x÷0.5×0.5＝4.6×0.5 x＝2.3 36＋2x＝48 解：36＋2x－36＝48－36 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 16．看图列方程，并解方程。 【答案】 【分析】根据题意，已知原价为x元，自行车的现价是392元，降了63元，可以列出方程：x－63＝392，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；据此解答。 【详解】x－63＝392 解：x－63＋63＝392＋63 x＝455 17．看图列方程，并解方程。 【答案】y＋60°＋50°＝180° y＝70° 【分析】根据三角形的内角和是180°，即可列出方程y＋60°＋50°＝180°；解方程时，先计算出60°与50°的和，把方程变为简易方程y＋110°＝180°，再利用等式的性质一，把方程两边同时减去110°，即得到方程的解。据此解答。 【详解】y＋60°＋50°＝180° 解：y＋110°＝180° y＋110°－110°＝180°－110° y＝70° 18．看图列方程并求解。 【答案】x＋3x＋36＝276 x＝60 【分析】由图可知：第一段表示的是x人，第二段是第一段的3倍还多36人，可表示为：3x＋36，两段加起来是276人。据此列方程解答。 【详解】x＋3x＋36＝276 解：4x＋36＝276 4x＋36－36＝276－36 4x＝240 4x÷4＝240÷4 x＝60 19．根据如图列出方程是( )。 【答案】 【分析】据图很容易看出数量间的相等关系：3个m米加上2个5米等于100米，由此列方程，然后再解答。 【详解】 解： 所以根据如图列出方程是。 20．解方程。 x＋18＝25         x－6.3＝11.8         x÷0.8＝4.5 3x＋8＝53         55＋3x＝265         x＋19.6＝38 【答案】x＝7；x＝18.1；x＝3.6 x＝15；x＝70；x＝18.4 【分析】等式的性质1是指等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2是指等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 x＋18＝25利用等式的性质1解方程，两边同时减去18求解； x－6.3＝11.8利用等式的性质1解方程，两边同时加上6.3求解； x÷0.8＝4.5利用等式的性质2解方程，两边同时乘0.8求解； 3x＋8＝53利用等式的性质1和等式的性质2解方程，两边同时减去8，再同时除以3求解； 55＋3x＝265利用等式的性质1和等式的性质2解方程，两边同时减去55，再同时除以3求解； x＋19.6＝38利用等式的性质1解方程，两边同时减去19.6求解。 【详解】 解： 解： 解： 解： 解： 解： 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学计算大通关 专题03 认识方程 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：用字母表示数、数量关系 3 突破点二：用字母表示运算定律及计算公式 6 突破点三：用字母表示稍复杂的数量关系 7 突破点四：含有字母式子的化简与求值 10 突破点五：等式的认识及列等量关系式 12 突破点六：方程的认识 15 突破点七：列简易方程 17 突破点八：等式的性质1 18 突破点九：等式的性质2 20 突破点十：应用等式的性质1和2解方程 22 突破点十一：列方程解含一个未知数的问题 25 突破点十二：列方程解含两个未知数的问题 27 综合突破 31 常用知识点 常用知识点 一、用字母表示数 1.基本概念：字母可以表示数量，也可以表示数量关系。 2.运算定律的表示： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 3.图形的计算公式： 长方形周长公式：C=2(a+b)（C为周长，a为长，b为宽） 长方形面积公式：S=ab 正方形周长公式：C=4a（a为边长） 正方形面积公式：S=a^2 4.数字与字母乘积的表示法： 字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以省略不写，数字一般写在字母前面。 1与字母相乘时，1省略不写。 二、方程的基本概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程与等式的联系区别：方程是等式，但等式却不都是方程。 三、等式的性质 1.等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 2.等式性质二：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。 四、解方程 1.解方程的书写格式： 解方程前要先写一个“解”字和冒号。 一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐。 表示未知数的字母一般都要放在等号的左侧。 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3.解方程的过程：求方程的解的过程叫做解方程。 五、列方程解决实际问题 1.关键步骤： 首先用字母表示未知数。 然后根据题目中数量之间的相等关系，列出一个含有未知数的等式（即方程）。 再解出方程。 最后检验，写出答语。 2.常见题型： 根据图形或实际问题中的等量关系列方程。 通过列方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题等。 专题突破 专题突破 突破点一：用字母表示数、数量关系 1．长方形甲的周长是： ，长方形乙的周长是： 。 2．填一填。 鸵鸟2时奔跑 千米，3.5时奔跑 千米，t时奔跑 千米。 3．填空。 在第一层摆了2个圆片， 在第二层摆了3个圆片， 在第n层摆了 个圆片。 4．填空。 摆1个三角形需要3根小棒， 摆2个三角形需要6根小棒， 摆a个三角形需要 根小棒。 5．淘气今年m岁，淘气妈妈今年（m＋25）岁，再过8年后，他们相差( )岁。 突破点二：用字母表示运算定律及计算公式 6．乘法结合律用字母表示是：( )；正方形的周长计算公式用字母表示是：( )。 7．笑笑画了一个边长a厘米的正方形，那么它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 8．乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 9．甲数是，比乙数的3倍少，表示乙数的式子是（    ）。 A． B． C． D． 10．小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 突破点三：用字母表示稍复杂的数量关系 11．用小棒摆三角形，如图摆6个三角形要( )根小棒，摆个三角形要( )根小棒；77根小棒能摆( )个三角形。 12．如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 13．有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 14．摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆3个三角形要7根小棒．那么，摆n个三角形要( )根小棒。 15．王浩原有80元钱，他买了a元一枝的钢笔2枝，又买了b元一本的笔记本5本，还剩80－（2a＋5b）元。    ( ) 突破点四：含有字母式子的化简与求值 16．服装厂做一套成人运动服需要3.5米的布料，做一套儿童运动服需要2米的布料。现在要做a套成人运动服和b套儿童运动服，一共需要 米的布料。如果，，一共需要 米的布料。 17．—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩( )页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩( )页没读。 18．修一条长S千米的路，每天修a千米，已经修了5天，5a表示( )，S－5a表示( )，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是( )千米。 19．李老师买了7支钢笔和5本笔记本。钢笔每支a元，笔记本每本b元。李老师一共付了( )元。若a＝5.2元，b＝1.3元，则李老师一共付了( )元。 20．学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示( )；当，，则( )元。 突破点五：等式的认识及列等量关系式 21．生活中有很多等量关系，找一找，说一说。 22．结合下列情境说说数量间的等量关系。 23．请你表示下列数量间的等量关系。 24．根据下图图意，写出等量关系( )。 25．学校合唱队的人数比舞蹈队少18人，下列等量关系式正确的是（    ）。 A．合唱队的人数＋18人＝舞蹈队的人数 B．舞蹈队的人数＋18人＝合唱队的人数 C．合唱队的人数－舞蹈队的人数＝18人 D．合唱队的人数－18人＝舞蹈队的人数 突破点六：方程的认识 26．下面各式中，（    ）是方程。 A．2n＋34＝86 B．7x－6＜22 C．10＋m D．24÷3＝8 27．因为7.5x＋2含有未知数，所以是方程。( ) 28．6＋9x＜33是方程。( ) 29．下面是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④  ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．下列式子中（    ）是方程。 A．3x÷6＝5 B．6n－7 C．19－7＝12 D．4a＋8 突破点七：列简易方程 31．根据题意先说出等量关系再列出方程。 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么 。 32．全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是( )。 33．的3倍与36的和是100，用方程表示是( )。 34．根据“40比a的5倍少2”列出的方程是（    ）。 A．40－5a＝2 B．5a－40＝2 C．5a＋2＝40 D．40－2＝5a 35．5个苹果的质量相同，一共是700克，用x表示每个苹果的质量，列方程表示为( )。 突破点八：等式的性质1 36．已知a＝b＋2，则a＋2＝b＋4。( ) 37．已知a＋3.2＝b＋5.4，那么a（    ）b。 A．＞ B．＜ C．无法确定 38．解方程“3.8x＋5＝16.4”，第一步“3.8x＋5－5＝16.4－5”，依据的是（    ）。 A．加法之间关系 B．减法之间关系 C．运算定律 D．等式性质 39．因为6x－25＝12，所以6x－25＋25＝12＋25。( ) 40．方程两边同时加上或减去同一个数，方程仍然成立。( ) 突破点九：等式的性质2 41．已知x＝y，根据等式的性质，下面各式成立的是（    ）。 A．x＋1＝y－1 B．4x＝4y C．x÷2＝2y 42．等式两边都乘或除以同一个数，等式仍然成立。( ) 43．如果，根据等式的性质填空。 　　     　　     44．如果x＝y，根据等式的基本性质，经过变化后下面的（    ）是错误的。 A．x÷b＝y÷b（b≠0） B．x＋y＝y＋y C．x×3×5＝15y D．x－y＝y－4＋3 45．方程的解与方程（    ）的解相同。 A． B． C． 突破点十：应用等式的性质1和2解方程 46．解方程。          47．看图列方程求出女生人数。 48．鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。那么40码的鞋应该是( )厘米。 49．解方程。 x－8.63＝18.7           9x－18＝63 4x＋17.1＝53.1          4x÷6＝14 50．列方程，并解方程。 突破点十一：列方程解含一个未知数的问题 51．小军心里想了一个数，将它乘5，再加上20，等于120，小军心里想的数是( )。 52．看图说一说等量关系，再列方程解决问题。 53．聪聪和慧慧两家相距1500米，他们相约8：50各自从家向对方家的方向出发，9：02在途中相遇。聪聪的速度为65米/分，慧慧的速度是( )米/分。 【答案】60 54．王叔叔用篱笆围了等边三角形的花圃，边长是20米；后来改围成正方形花圃，周长不变，正方形花圃的边长是多少米？（用方程解答） 55．科技小组制作了28个飞机模型和一些军舰模型，飞机模型比军舰模型的2倍还多4个。科技小组制作的军舰模型有多少个？（列方程解答） 突破点十二：列方程解含两个未知数的问题 56．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时比乙车多行12千米。甲、乙两车出发5时后，甲车到达两地中点，此时乙车只行了甲车所行路程的一半。（期间乙车因维修停了2时）。A、B两地相距多少千米？ 57．看图列方程并求解。 58．果园里有桃树和梨树共252棵，桃树的棵数是梨树的5倍，桃树和梨树分别有多少棵？ 59．分桃子啦！ 猴山上有多少只猴？有多少个桃子？ 60．60名同学去划船，分别坐在3条大船和6条小船上刚好坐满，已知每条大船上坐的人数是小船坐的人数的3倍。每条大船上坐多少人？（用方程解） 综合突破 综合突破 一、计算题 1．解方程。 x－19＝2       x－12.3＝3.8 2．解方程。                      3．解方程。 7＋2y＝53        7m÷3＝21        3x－4.9＝4.1 4．解方程。 y－8.12＝28    5x－15＝80    8x＋81＝169 5．解方程。 x＋3.5＝6.8        2x－8＝12 6．解方程。 3.54＋x＝7.06        5x－37＝63        2x＋7＝91        5x－3.25×2＝18.5 7．解方程。 （1）x÷8＝13    （2）16.2－x＝9.5    （3）4x＋5＝37 8．解方程。 8.5＋x＝100          x÷0.6＝3.5          4x－28＝52 9．解方程。 8x＋19＝51            7.2x＋1.8x＝27            8.5×6.4－4x＝46.4 10．解方程。 x÷2.05＝1.8           3＋2x＝75            8x－15.6＝56.4 11．解方程。 x＋6.48＝24.5           15x＝630 12．解方程。 2x－0.9＝17.1                         5y÷7＝15 13．解方程。     x÷3＝27              x＋8＝15            2y－14＝26 14．解方程。 8.3＋x＝14.4    3x＋1＝10    x÷0.6＝2.3 15．解方程。 x－45＝26    x÷0.5＝4.6    36＋2x＝48 16．看图列方程，并解方程。 17．看图列方程，并解方程。 18．看图列方程并求解。 19．根据如图列出方程是( )。 20．解方程。 x＋18＝25         x－6.3＝11.8         x÷0.8＝4.5 3x＋8＝53         55＋3x＝265         x＋19.6＝38 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $$