精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1、本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中无理数（ ） A. B. C. D. 2. 用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 地在地球仪上的位置如图所示，则A地的位置用经纬度可表示为（ ） A. 东经，北纬 B. 东经，北纬 C. 东经，北纬 D. 东经，北纬 4. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果，那么一定等于 6. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ） A. 极差是10 B. 众数是90分 C. 平均分一定大于90分 D. 中位数是90分 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 8. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 已知：如图，点，分别在和上，，是上一点，的延长线交的延长线于点．求证：． 老师在黑板上写下了以下证明过程： 证明：（已知） （两直线平行，○相等） （ & ） 下列判断正确的是（ ） A. *和△代表的内容不同 B. △代表 C ○代表内错角 D. &代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 10. 如图，面积为正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 老师在黑板上写下一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. 平均数为8 B. 添加一个数8后方差不变 C. 添加一个数8后标准差变小 D. 12. 如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，保持不变．大雄躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：该躺椅不合格． 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数也会减少． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 二、填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 已知，那么的值为______； 14. 若是方程的解，则______； 15. 已知点，关于轴对称，则______； 16. 在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点（为正整数），则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 ； （2）请给出正确的求解过程． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为． （1）请在网格图中建立并画出平面直角坐标系，并写出点坐标为______； （2）求的面积； （3）点在线段上（点不与，重合），横坐标为，为整数，，直接写出点的坐标． 19. 如图，，． （1）证明：； （2）在（1）的情况下，若是的平分线，，，求的度数． 20. 我们学习了勾股定理，知道：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是． （1）探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为），请将下面的证明过程补充完整： 证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表示） ______________________________ ______________________________ （2）应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好落于B处，已知长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即的长）． 21. 为监测学生体能状况，对八九年级男生进行“引体向上”体能测试后，学校任意抽取了20人成绩，分别绘制了如下统计表和统计图．（10分为满分） 八年级成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 下面是老师根据统计图表整理的数据： 平均分（分） 中位数（分） 方差 八年级 8.7 九年级 8 （1）求a与b的值； （2）请说明哪个年级的成绩比较整齐； （3）核查时老师发现八年级有一名同学的成绩少算了1分，更改成绩后，发现中位数变大，则这名同学的正确成绩应为______分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． （1）直接写出点的坐标； （2）设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点坐标； ②直接写出此时的值． 23. 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法．察觉到商机的某服装超市购进，两种款式的军大衣．据了解，8件款式军大衣和10件款式军大衣的进价共计2000元；10件款式军大衣和20件款式军大衣的进价共计3100元． （1）求，两种款式的军大衣每件进价分别是多少元； （2）该服装超市计划恰好用4500元购进，两种款式的军大衣（两种均购买），求该服装超市共有哪几种采购方案． 24. 为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） （1）点坐标为______； （2）直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； （3）求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ （4）直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1、本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中无理数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，故该选项符合题意； B. ，是有理数，故该选项不符合题意； C. 是有理数，故该选项不符合题意； D. 有理数，故该选项不符合题意； 故选：A ． 2. 用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 用等式表示“的平方根等于”为，即可得到答案． 【详解】解：A.被开方数不能为负数，故A选项错误，不符合题意； B. 能表示“的平方根等于”， 故B选项正确，符合题意； C. 错误，不能表示“的平方根等于”， 故C选项错误，不符合题意； D. 错误，不能表示“的平方根等于”，故D选项错误，不符合题意；  故选：B ． 3. 地在地球仪上的位置如图所示，则A地的位置用经纬度可表示为（ ） A. 东经，北纬 B. 东经，北纬 C. 东经，北纬 D. 东经，北纬 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在平面内用有序数对表示物体的位置，正确理解确定的条件是解题关键． 在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数据，确定点A在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出的位置． 【详解】解：由图可得：A的位置是东经，北纬． 故选：C． 4. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.， ，不是勾股数，故该选项不符合题意； B. 中不是正整数， 不是勾股数，故该选项不符合题意； C. 不是正整数， 不是勾股数，故该选项不符合题意； D.， 是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D ． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果，那么一定等于 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了命题的判断，正确掌握相关定义与性质是解题的关键． 根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题． 【详解】解：A．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题不是真命题； B．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原命题不是真命题； C．如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，故原命题是真命题； D．如果，那么等于或，故原命题不是真命题； 故选：C． 6. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ） A. 极差是10 B. 众数是90分 C. 平均分一定大于90分 D. 中位数是90分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的，统计图，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由统计图中提供的数据，根据极差、众数、平均数、中位数的定义计算即可． 【详解】解：极差为， 故A选项说法错误，符合题意； 分出现了次，出现的次数最多，众数是90分， 故B选项说法正确，不符合题意； 平均分为， ， 故C选项说法正确，不符合题意； 第名同学的成绩的平均值为中位数，中位数是分 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：A ． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：A． ∵当时，，∴图象过点，故原说法错误，不符合题意； B． 图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意； C． ∵，∴ y随着x的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； D． 其图象可由的图像向上平移2个单位长度得到，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 8. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了； ∴得分应是分， 故选：． 9. 已知：如图，点，分别在和上，，是上一点，的延长线交的延长线于点．求证：． 老师在黑板上写下了以下证明过程： 证明：（已知） （两直线平行，○相等） （ & ） 下列判断正确的是（ ） A. *和△代表的内容不同 B. △代表 C. ○代表内错角 D. &代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由证明过程可知 ：代表， 代表， ○代表同位角， &代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角， 故A，B，C选项错误； D选项正确； 故选：D ． 10. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数是，且点在点右侧， ∴点表示的数为：， 故选：． 11. 老师在黑板上写下一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. 平均数为8 B. 添加一个数8后方差不变 C. 添加一个数8后标准差变小 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．根据题意得到这组数据为，即，平均数是，逐项判断即可． 【详解】解：， 这组数据为， 平均数为，标准差为， 故A，D选项正确，不符合题意； 添加一个数后方差 ， 方差变小； 故B选项错误，符合题意； 添加一个数后标准差为， ， 标准差变小； 故C选项正确，不符合题意； 故选：B ． 12. 如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，保持不变．大雄躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：该躺椅不合格． 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数也会减少． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， 按规定，，， ， 该躺椅不合格， 故结论Ⅰ正确； ， ， 若的度数减少，的度数也会减少， 故结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ、Ⅱ都正确 故选：D ． 二、填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 已知，那么的值为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负性，乘方运算，代数式求值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 若是方程的解，则______； 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 把代入得到，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的解， ， ， 故答案为： ． 15. 已知点，关于轴对称，则______； 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点的坐标特征，即横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式求出，即可求解． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 16. 在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点（为正整数），则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标规律探索，等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键 过点作轴于B，利用等边三角形的特点求出，由点P的运动速度及运动路径可得点的横坐标及纵坐标的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点作轴于B， ∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形， ， ， ，， 同理，，，，， ∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0， ∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，1秒钟走一段， ∴运动每6秒循环一次， ∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，， 点P的横坐标规律：，，，，，，， ∵， ∴点P的纵坐标为，点P的横坐标为， ∴点P的坐标， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 ； （2）请给出正确的求解过程． 【答案】（1）甲、乙、丁； （2）． 【解析】 【分析】（）根据去括号法则、二次根式性质及二次根式的加减运算法则运算即可判断求解； （）根据去括号法则、二次根式的性质及二次根式的加减运算法则进行计算即可得到结果； 本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：，故甲错误； ，故乙错误； ，故丙正确； ，故丁错误； ∴自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁， 故答案为：甲、乙、丁； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为． （1）请在网格图中建立并画出平面直角坐标系，并写出点坐标为______； （2）求的面积； （3）点在线段上（点不与，重合），横坐标为，为整数，，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 图见解析，的坐标为 （2）10 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形，三角形面积，解题的关键在于能够准确建立合适的平面直角坐标系． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据点坐标为，点的坐标为，的坐标为，即可得到结论； （3）先根据题意求出的值，可得到横坐标，根据点在线段上，可得到纵坐标． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴平面直角坐标系如图所示： 由图可知：点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为，的坐标为， ∴，边上的高为， ∴． 【小问3详解】 解：∵点坐标为，点的坐标为，点在线段上， ∴点的纵坐标为， ∵点横坐标为，为整数，， ∴的值为1或2，即点横坐标为1或2， ∴点横坐标为或． 19. 如图，，． （1）证明：； （2）在（1）的情况下，若是的平分线，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质证明，角平分线的有关计算，三角形内角和定理等知识． （1）由平行线的性质得出，再由已知条件得出，进而可判定． （2）由平线的性质得出，由角平分线的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 是的平分线， ， ， ． 20. 我们学习了勾股定理，知道：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是． （1）探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为），请将下面的证明过程补充完整： 证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形的面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表示） ______________________________ ______________________________ （2）应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好落于B处，已知长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即的长）． 【答案】（1）；； （2）竹子折断处离地面8尺 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图中的应用以及勾股定理的应用等知识． （1）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小三角形的面积得出，然后根据证明过程求解即可． （2）根据题意，(尺)，（尺），设的长为x尺，则尺，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形的面积还可以表示为；（用含a，b，c的代数式表示） ， ∴， ． 【小问2详解】 解：根据题意，(尺)， 设的长为x尺，则尺 则， 即 解得：， 即竹子折断处离地面8尺． 21. 为监测学生体能状况，对八九年级男生进行“引体向上”体能测试后，学校任意抽取了20人成绩，分别绘制了如下统计表和统计图．（10分为满分） 八年级成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 下面是老师根据统计图表整理的数据： 平均分（分） 中位数（分） 方差 八年级 8.7 九年级 8 （1）求a与b值； （2）请说明哪个年级的成绩比较整齐； （3）核查时老师发现八年级有一名同学的成绩少算了1分，更改成绩后，发现中位数变大，则这名同学的正确成绩应为______分． 【答案】（1）； （2）九年级的成绩比较整齐 （3）9 【解析】 【分析】此题考查了方差、平均数、中位数，熟练掌握平均数的求法和方差的意义是解题的关键． （1）利用平均数的计算方法和中位数的定义计算即可求解； （2）根据方差的意义进行解答即可． （3）根据中位数的定义求出原来成绩的中位数，进而可得合并成绩后第21名的成绩大于8.5分，从而可得答案． 【小问1详解】 解：将八年级的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10名和第11名的成绩为8分和9分， ∴中位数为， 九年级平均分； 【小问2详解】 解：八年级成绩的方差为，九年级成绩的方差为， ∵， ∴成绩比较整齐的是九年级； 【小问3详解】 解：由于原来成绩的中位数为（分）． 该名同学补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第11名的成绩为中位数， ∵有一名同学的成绩少算了1分，成绩的中位数变大了， ∴第11名的成绩大于分， ∴这名同学的成绩为9分． 故答案为：9． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． （1）直接写出点的坐标； （2）设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点的坐标； ②直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）①点坐标为；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角坐标系内两点之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得出，求出的值，即可得到点的坐标； ②将代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：点为直线与轴交点 令， ， ， 【小问2详解】 解：①点横坐标为，点在直线上， ， 直线与轴，轴分别交于点，， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②把代入得， 解得：. 23. 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法．察觉到商机的某服装超市购进，两种款式的军大衣．据了解，8件款式军大衣和10件款式军大衣的进价共计2000元；10件款式军大衣和20件款式军大衣的进价共计3100元． （1）求，两种款式的军大衣每件进价分别是多少元； （2）该服装超市计划恰好用4500元购进，两种款式的军大衣（两种均购买），求该服装超市共有哪几种采购方案． 【答案】（1）款式军大衣每件进价为150元，款式军大衣每件进价为80元 （2）该服装超市共有3种采购方案，分别为购进款式军大衣22件，购进款式军大衣15件；购进款式军大衣14件，购进款式军大衣30件；购进款式军大衣6件，购进款式军大衣45件． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设款式军大衣每件进价为元，款式军大衣每件进价为元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进款式军大衣件，购进款式军大衣件，根据题意得出，根据、为正整数求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设款式军大衣每件进价为元，款式军大衣每件进价为元， 由题意得：，解得， 答：款式军大衣每件进价为150元，款式军大衣每件进价为80元； 【小问2详解】 解：设购进款式军大衣件，购进款式军大衣件 由题意得：， 整理得：， 、为正整数， 或或， 该服装超市共有3种采购方案，分别为购进款式军大衣22件，购进款式军大衣15件；购进款式军大衣14件，购进款式军大衣30件；购进款式军大衣6件，购进款式军大衣45件． 24. 为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） （1）点坐标为______； （2）直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； （3）求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ （4）直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 【答案】（1） （2） （3）函数表达式为，一次项系数的实际意义是：1号气球每秒下降6米 （4）45秒 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，并用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意求出1号气球到达的高度，再求出2号气球达到同样高度时的所用的时间，即可求出点坐标； （2）根据路程速度时间，即可得； （3）根据题意求出点的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可； （4）根据题意分时段讨论，求出两球高度之差小于或等于60米时的取值，即可求出总时长． 【小问1详解】 解：1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为：（米）， ∵气球是从海拔10米的处出发， ∴点的纵坐标为（米），横坐标为30秒，即点坐标为， ∵2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达点250米高度所需时间为：（秒）， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：∵2号气球从海拔10米处出发，速度为6米/秒， ∴根据路程速度时间，可得． 【小问3详解】 解：∵1号气球从40秒时开始匀速下降，又过了40秒降落到出发点， ∴点的横坐标为（秒），纵坐标为10，即，， 设，把，，代入得： ， 解得，， ∴线段对应的函数表达式为， 由题意可知，一次项系数的实际意义是1号气球在40秒到80秒之间匀速下降的速度为6米/秒． 【小问4详解】 解：∵1号气球从海拔10米处出发，其中以8米／秒的速度匀速上升， ∴根据路程速度时间，可得， 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， ∴在这个时间段内两球高度之差都小于或等于60米，时长为30秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 综上，两球高度之差小于或等于60米的总时长为秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$