湖南省长沙市长沙县长沙市平高松雅湖高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

高二数学试卷参考答案 1.C依题意得A={xx2-4x-5≤0}={x|一1≤x≤5}，则A∩B={-1,1,3. 2.D由题意得am+2=5-a。+1,所以am+2=am,a1om=a2=5-a1=4. 3.Ab=0.011=0.122<0.12=c,且c>b>0,a=log.61.6<1og.61=0,故c>b>a. 4.C因为球O一截面的面积为2x,所以该截面圆的半径为√2.又因为球心O到该截面的距离 为2，所以球O的半径R=√2+(W2)2=√6，所以球O的表面积为4πR=4π×6=24π 5.D由题可知f(x)在(0，十∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在 (-∞，0)上单调递减，又∫（一2）=0，所以f(一2)=-f(2)=0,所以当x<-2或0<x<2 时，f(x)>0.当-2<x<0或x>2时，f(x)<0, 则不等式f>0等价于0，或0：n解得0<<2或-2<0. f(x)>0f(x)<0, 所以满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为（一2,0）U(0,2) 6.Af(x)=23cos(年-x）-c0s2x-3=3[2cos(T-x）-1]-cos2x=3c0s(5 2x)-cos2x=3sin2r-os2x=2sim(2x-晋).由x∈[0,2]，可得2x-g∈[-8 晋]所以f)e[-1,2. .B由题可知OP=V2币=.PA=V3-T下=，n∠OPA=后则eos∠APB=1 2r∠OPA=吉放成，i=(@yr×兮景 8.B因为b.一b.-1=2n(n≥2)，且b1=2,所以当n≥2时，bn=b1+(b2一b1)十(b3一b2) 十十6，一h.-)=2+4+6十+2m=（22n-+.因为6，=2也满足.=十， 2 所以b。=n2十n. 因为站D}所以T,=(1-)+(合-吉)++（日）-1 若7,1，工.成等差数列则T+T。=2T即1-+1--21-》，得m =11. 9.ABD因为AB=(0,-1,-1),CD=(-1,0,0),所以AB.CD=0,故A正确： 图为C1,-1.-2》.励=00.-D.所以oC.励=及后号放B正确： 1×6 因为AC.BD=2,|BD1=1,所以AC在BD上的投影向量为 AC.BD BD .B=2BD,故C 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 错误； 因为成=1,0，-1.所以武的一个单位方向向最为u-号1,0，-D.因为店=(0， -1,一D,所以点A到直线BC的距离为√应-(A范m)-√2-号-公，故D正确， 1V6 10.BCD设等比数列{am}的公比为q.由a3,a2,a,成等差数列，得ax十a,=2a2,整理得q2+ 9-2=0,则g=-2,则a,=-8a2a,=1×(-2)1=(-2)1,5.=1X[1-2)☐ 1+2 上号2少所以3.号一（号2，数到5吉是等比数列 3 2- 3一n为奇数 1 5m∠1. 21 故2≤ 2- 3一n为偶数， 11.ACD设A(x1,y1),B(x2yg).因为|AB≤|AF|+|BF1=x1十x2十14=2m十14=32， 所以当A,F,B三点共线时，|AB有最大值32，故A正确： 因为P在抛物线W内侧，所以CP十|CF的最小值为点P到直线！的距离，所以(CP +CF|)m=15,故B错误； 由得+)=28x1一，所以头=器放C 由 y号=28.x2, 正确； 当A.F,B三点共线时，点P到直线1的距离d-号1AB1,而AB1m-2p=28,所以d =14,故D正确 2,三0,1,2这三个数字组成一个三位数共有4种情况，其中偶数有3种情况，故所求概 解 13 10 设|AF2|=x,则AF,|=3x,|BF2|=3.x,|F1B|=2a+3.x.因为 |AF11-AF2|=2a,所以3x-x=2a,解得x=a,即|AF,|=3a, 1BFz|=3a,F,B=5a,AB|=4a,则|F,B12=|AB12+|AF,2,所以 ∠FAF,=.在Rt△AFF中，FF,=AF,P+AF,,即42= (3a)+a2,得e=5=0 。=,所以双曲线C的离心率为 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 14.一18设过点H且与直线DF垂直的平面为a.因为D京. MH=O,所以点M的轨迹是平面a截正八面体ABCDEF的 截面.如图，连接OC,以O为坐标原点，OD,OC,OA所在直线 分别为x,y,:轴，建立空间直角坐标系.设AD的中点为T, 则A(0,0,10),D(10,0,0),C(0,10,0),F(0,0,一10)，H(0, 0,2),T(5,0,5). 设M(x,y,z),则FD=(10,0,10),HM=(x,y,x-2),所以 FD.HM-10.x+10x-20=0,得x+=2.MA.M币=(M7+TA)·(Mi+TD) (Mi+Ti)·(M7-TA)=Mi-TA=Mi-50,因为Mi=(5-x,-y,5-),所以 M=(5-x)2+y2+(5-x)2=2(x-1)2+y2+32,当x=1,y=0时，MA·MD取得最 小值，且最小值为32-50=一18. 15.解：(1)因为W3 bcos A+√3 acos B+ctan A=0, 所以W3 sin Bcos A十√3 sin Acos B=-sin Ctan A,…2分 则3sin(A+B)=-sin Ctan A,即√3sinC=-sin Ctan A,所以tanA=-√3，…4分 故A-经 …6分 (2)由余弦定理可得a2=b2十c2一2bcc0sA=b2十c2十bc=16.…8分 因为公+≥2k,所以欢≤6，所以<号当且仅当6==时等号成立 …11分 故△ABC的面积的最大值为号×mA= 3 …13分 16.(1)证明：连接A1C,交AC1于点D,连接MD. 因为三棱柱ABC-A,B:C:为直三棱柱，所以四边形AA:C,C为矩形，所以D为A1C的中 点.…2分 又M是A,B1的中点，所以DM∥B,C,…3分 因为DMC平面AMC1,B1C吐平面AMC1,所以B1C平面AMC1.…5分 (2)解：如图，过点A,在平面ABC1内作A,P⊥A,C.因为三棱柱 ABC-A,B1C1为直三棱柱，所以A1P,A1A,A,C1两两互相垂直，建 立如图所示的空间直角坐标系.又AA,=A1C1=3,A,B1=4, ∠CA,B,=号则A(0.0.0,B,(25.2,0.C(0,3,0 M(5,1,0),A(0,0,3),B(25,2,3) 所以AC=(0,3,-3),MC=(-√3,2,0)，BC=(-23,1,0), B1B=(0,0,3).…8分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 设平面AMC1的法向量为m=(a,b,c), m·AC1=3b-3c=0, 则 令a=2,得b=√3，c=√3， m·MC=-3a+2b=0, 故m=(2,w3,W3)为平面AMC1的一个法向量. 4040000040000+。00000t00000t0000000000t000 10分 设平面BB,C1C的法向量为n=(x,y,x), n·BB1=3z=0, 则 解得x=0,令x=1,得y=2W3, n·BC=-23x+y=0, 故n=(1,23,0)为平面BCC1B1的一个法向量.…12分 设平面AMC,与平面BCC,B,的夹角为0，则0∈[0，] m·n 8 因为os0=cosm,nl=mn=√/0X√3 4√130 65 所以平面AMC,与平面BCC,B,夹角的余弦值为4130 65 15分 17.(1)证明：由4S。=a员十2an十m,可得4Sm+1=a员+1十2am+1十m, 相减可得a+1一a号十2an+1一2an=4Sn+1一4Sn=4a+1,…2分 因此a+1一a员=2(am+1十an）,则(am+1十an)(am+1一4m一2)=0.…3分 因为{an}为正项数列，所以a+1十an>0,则am+1一a。一2=0，…4分 所以am+1一an=2,故数列{an}为等差数列，且公差为2.…5分 (2)解：因为am+1一a.=2,ag=9,所以a1=5,…6分 当n=1时，4S1=a十2a1十m,解得m=一15，…8分 an=a3十2(n-3)=2n十3.…10分 (3)证明：因为6，=a,一3_2n。n 2 22· 0400440400440年00400400年00400404400400000年04年00404年004044 11分 所以.一+号+…叶 27'2T, 12 2122 12分 2 两式相减得工，=1+++…叶2 2n十2 20 14分 所以T.=4 1十2 20<4… 15分 b=√5， 18.解：(1)设C的半焦距为c(c>0),则 =2 …2分 a 3' 因为a2=b2十c2,所以 故C的方程为号+苦 a=3, c=2 =1. …4分 (2)设直线ST的方程为x=my十5，则直线GH的方程为x=my十1.…5分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 5x2+9y2=45, 联立 得(5m2+9)y2+50my+80=0, x=my+5, 16 由△=(50m)2-4(5m2+9)×80>0,得m2> 5 …7分 -50m y1十yg= 5m2+9' 设S(x1y1),T(x2y2),则 …9分 80 yiy:= 5m2+9 5x2+9y2=45, 联立 得(5m2+9)y2+10my-40=0. x=my+1, y十y4= 一10m m2+9' 设G(xy3),H(x4y),则 …11分 一40 y:y= 5m2+9 ESIETI V1+m lyl v1+m ly2l lyiy2l_ ①证明：因为ST∥GH,所以FCFH=+m1y+m1 80 5m2+9 -40 =2,是定值。…13分 5m2+9 ②因为△EGH的面积S=S△十S△H= 号EF1·y-y=21y一y· 且|ya-y4=√(ya十y4)-4yay4= 10m -406√5×√5m+8 5m2+9 -4× 5m2+9 5m2+9 所以S=21y-y,=12,5×V5m2+8 5m2十9 m16 …15分 设1=V5m+8>2v6,则s=12y51_125 2+1t 1 因为函数)=1+片在26.+上单调遥增，所以f∈（气+），放S∈(0， 24√30 ..ono..o 25 …17分 19.(1)解：{an}是“3和数列”，不是“4和数列”.…2分 理由如下：因为am=2n一1，所以a1十a2十a3=1十3十5=9.…3分 又a5=9,所以{an}是“3和数列”.…4分 由题可知{a.}中的每一项均是奇数，则{a,}中的任意4项之和肯定为偶数，与{a}中的任 何一项均不相等，…5分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 故{am}不是“4和数列”. 6分 (2)证明：①由b1=1,b2n=2b2,得b2=2b号=2. …7分 若6，是等比数列，则b,的公比q一名2，则b,=b192。” 8分 则b2n=221,2b2=2×(2-1)2=22m-1, 9分 符合b2n=2b员，故{bn}可能是以2为公比的等比数列.…10分 ②由①可得b.=2”-1,假设{b.}是“k和数列”， 则存在1，n2,…,nk,n,∈N”,使得bm十bm十…十bm=bm,,不妨令1<n2<<nk: ………11分 若n1=1,则bm=b1=1,且2≤n2<13<…<ne 则bm,十b十bn十…+bn=1十2"+2十…十2-1=1+2-1(1+2”+…+ 2”), 因为2≤n2<n3<…<n,所以2"2为正偶数，…12分 则b。,十b,十b十…十b,=1十2”(1+2”十…十2")为大于1的正奇数. 因为b。=2”不可能是大于1的正奇数，所以bm,十b,十…十b。≠b。, 这与b.,十b,十…十bw=bm,矛盾，从而假设不成立，则{b.}不是“k和数列”.…13分 若n1≥2，则2≤11<12<n3<<nk 则b,十b,十b十…十b。=21-+2"1+21+…+2- …14分 由b,十bm,十…十b=bw,得2"1-十21+2+…+21=2”1 显然有2≤n1<n2<ng<<nk<n,: 则2”4(1+24+2"4十…+2)=2”1 则1十21+2”41十…+2”=2°， 即1十21(1十20十…十2%)=2.…15分 由2≤1<2<n<…<n4<n,可得2-为正偶数，则1+2“4(1十2"+…十 2”)为正奇数，2””为正偶数，则1十2”(1十2”十…十2”")=2”不可能成 立，从而假设不成立，则{b}不是“k和数列”.…16分 综上所述，{b}不是“k和数列”.… …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册，选择性必 修第二册第四章。 最 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 柏 题目要求的， 1.若集合A={xx2-4x-5≤0)，B={-5,-3,-1,1,3},则A∩B= 政 A{-3,-1} B.{1,3 C.{-1,1,3} D.{-5,-3,-1,1} 2.在数列{an}中，若a1=1,am+1=5一am,则a1m= A.-6 B.1 C.3 D.4 3.已知a=1oga.61.6,b=0.011,c=0.12,则 A.c>b>a B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c 4.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心0到该截面的距离为2，则球0的表 面积是 A.8π B.12m C.24π D.32x 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，十∞)上单调递减，且f(-2)=0,则不等 式xf(x)>0的解集为 A.(-∞，-2)U(2,十∞) B.(-2,0)U(2,+∞) C.(-∞，-2)U(0,2) D.(-2,0)U(0,2) 6.函数fx)=23cos(-x)-c0s2x一3在[0，]上的值域为 A.[-1,2] B.[-1,1] C.[1,2] D.[-2,2] 7.过点P(W2,1)作⊙0：z2+y2=1的切线PA,PB,切点分别为A,B,则PA·P- A号 B号 c D.2 【高二数学第1页（共4页）】 &已知数列6，}满足b=2,b.-b-1=2m(n≥2)，设行}的前n项和为T,若TT,T成 等差数列，则m= A.10 B.11 C.12 D.13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3),B(1,1,2),C(2,1,1),D(1,1,1),则 A.AB⊥CD B花与励夹角的余弦值为写 C,AC在BD上的投影向量为3B方 D,点A到直线BC的距离为S 10.已知等比数列{an}的公比不为1，设{am}的前n项和为Sn,若a1=1,且a3,a2,a成等差数 列，则下列说法正确的是 A.a5=8a2 B.数列S。-}为等比数列 C5.<1 an 11.已知A,B,C是抛物线W:y2=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线L为抛物线 W的准线，AB的中点为P(m,n),则 A.当m=9时，AB|的最大值为32 B.当m=8时，|CP|+|CF1的最小值为22 C当1=5时，直线AB的斜率为号 D.当A,F,B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.用0,1,2这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率 为▲ 1这已知FB:分别是双周线C号-芹=10>0,6>0)的左，右焦 点，直线l经过F2,且与C的右支交于A,B两点，若|AF1|= |BF2|=3引AF2|,则C的离心率为▲ D 14.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10√2，AF与BD交于 点O,OA=5Oi,M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动 点若D京.M应=0，则MA.M心的最小值为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知W3 bcos A十3 acos B+ctan A=0. (1)求A: (2)若a=4,求△ABC的面积的最大值 16.(15分) 在直三棱柱ABC-A1B,C1中，M是A1B1的中点，AA1=A1C1=3,A1B1=4,∠C1A1B1 =5 (1)证明：B1C/平面AMC1. (2)求平面AMC1与平面BB,C,C夹角的余弦值. A M B 17.(15分) 已知正项数列{am}的前n项和为Sn,且满足a3=9,4Sn=a十2a.十m. (1)证明：{am}为等差数列. (2)求m的值和{an}的通项公式. ③若数列6，满足么，=82，其前项和为T,证正明：工.<4 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知满额C后+芳-1a>>0的短轴长为2，且离心率秀号 (1)求C的方程 (2)过点E(5,0)作斜率不为0的直线与椭圆C交于S,T不同的两点，再过点F(1,0)作直 线ST的平行线与椭圆C交于G,H不同的两点。 ①证男引为定值 ②求△EGH面积的取值范围. 努 牌 19.(17分) 在数列{am}中，若存在(k≥2，克∈N)项之和等于{am}中的某一项，则称{a.}是“k和 蕊 数列”。 (1)若a。=2n一1，判断{aa}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由. & (2)在正项数列{b.}中，b1=1,且Vn∈N”,b2m=2b2 证明：①bn}可能是等比数列； ②若{bn}为等比数列，则{6.}不是“3和数列” 阔 够 霄 【高二数学第4页（共4页川