精品解析：宁夏回族自治区固原市西吉中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

西吉中学2024~2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若是第三象限角，则是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列关系式中正确的是（ ）． A. B. C D. 6. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩下部分的面积为，当与的比值为时，扇形看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的单调递减区间为（） D. 图象的对称轴方程为（） 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 13. 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为______. 14. 函数的值域是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 15 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 将的图象横坐标缩小到原来的一半，再向左平移个单位得到的图象. （1）写出的解析式； （2）求时的值域. 17. 在平面直角坐标系中，锐角、顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）设 ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 19. 为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西吉中学2024~2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将化成，即可得到答案. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查转化与化归思想的运用，求解时注意符号的正负. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】由于函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，函数的零点至多一个. 因为，，则， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：B. 3. 若是第三象限角，则是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由可直接构造方程求解. 【详解】， . 故选：C. 5. 下列关系式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式知，，结合正弦函数的单调性即可比较大小. 详解】，， ∴，即. 故选：C 6. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由是第二象限角，得；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， 又，所以，因此， 即，所以. 故选：B. 7. 已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是R上偶函数，所以， 由得， 可得的周期为6， 若，则， 解得. 故选：B. 8. 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩下部分的面积为，当与的比值为时，扇形看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，求解出扇形的圆心角. 【详解】设扇形半径为r，圆心角的弧度数为，则， 所以，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A B. C. 的单调递减区间为（） D. 图象的对称轴方程为（） 【答案】AD 【解析】 【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求递减区间、对称轴方程，即可判断各选项的正误. 【详解】由图可得：且， ∴，则，A正确. 由，则（），得（），即，B错误. 综上，有， 由，（），得（），C错误. 由（），得（），D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发. 【详解】对于A，由题意知对恒成立， 由于当时，不等式不恒成立，所以． 当时，由解得，所以A正确； 对于B，若函数的值域为，则，显然不为0， 则函数的最小值为4，则当时， ，解得，所以B错误； 对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确； 对于D，若，则不等式等价于， 则，解得，所以D不正确． 故选：AC． 【点睛】方法点睛： 判断复合函数的单调性要注意把握两点： 一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性， 正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式即可化简求解. 详解】, 故答案为： 13. 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，即可解得的最小值. 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 14. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于的二次函数，再求值域. 【详解】设，因为，所以， 则， ， 当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以函数的值域是 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在所求分式的分子、分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值； （2）利用诱导公式化简所求代数式，结合弦化切可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 解：原式. 【小问2详解】 解：原式. 16. 将的图象横坐标缩小到原来的一半，再向左平移个单位得到的图象. （1）写出的解析式； （2）求时的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据伸缩和平移变换规律求函数的解析式； （2）利用代入法，以及余弦函数的性质求函数的值域. 【小问1详解】 将横坐标缩小到原来的一半，得到. 再向左平移个单位，得到， 【小问2详解】 当时，， 所以 因此的值域为. 17. 在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的取值范围，即可求得结果. 【小问1详解】 解：利用三角函数的定义可得，， 又、是锐角，所以，， 所以，. 【小问2详解】 解：因为，， 又是锐角，则，所以， 又因为，则， 而，所以． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）首先化解三角函数解析式，再求函数的最小正周期； （2）首先求函数的解析式，再根据三角函数的性质，利用代入法求函数的单调递增区间和解不等式. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为； 当，即，，取得最大值2； 【小问2详解】 ①， 令，，，， 所以函数的单调递增区间是，； ②，， ，所以或， 得或 所以不等式的解集是. 19. 为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【小问1详解】 ∵函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. 【小问2详解】 若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得， 综上：. 【小问3详解】 ， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$