精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年第一学期高三年级学业质量调研（期末监测）数学试题

闵行中学2025学年第一学期高三年级学业质量调研 数学学科（期末监测） 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 2. 已知，则 ______. 3. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 4. 若复数满足（为虚数单位），则__________． 5. 若等差数列的首项，前5项和，则______. 6. 已知幂函数的图象经过点，则________． 7. 某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于____________时，平均成本最少. 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 9. 已知多项式对一切实数恒成立，则____________ 10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________． 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 12. 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 14. 某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）． A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 16. 已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 19. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； （3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 20. 已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点. （1）当与轴垂直时，求的面积； （2）过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：； （3）过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值. 21. 若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行中学2025学年第一学期高三年级学业质量调研 数学学科（期末监测） 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 2. 已知，则 ______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式将所求式展开，将代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 4. 若复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由复数的除法运算可得解. 详解：由，得. 故答案为. 点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题. 5. 若等差数列的首项，前5项和，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】代入等差数列求和公式，即可求解. 【详解】，得. 6. 已知幂函数的图象经过点，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】设，代入点坐标确定，即可求得. 【详解】依题意，设，将代入解得：，故，则. 故答案为：9. 7. 某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于____________时，平均成本最少. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为. 9. 已知多项式对一切实数恒成立，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可. 【详解】令可得， 又展开式的通项为， 令可得；令，可得， 所以， 所以， 故答案为：1. 10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆O半径为r，利用半径表示出a和圆上第一象限的八等分点的坐标，代入双曲线方程可得b，然后可得离心率. 【详解】设圆O半径为r，双曲线方程为 因为，所以 由题意可知，，代入方程，得 解得，所以 故答案为： 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、、，首先证明，即可、、、四点共面，连接，，求出，将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 12. 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， ①当对任意均成立时，可得对任意均成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以， 又由对任意均成立， 可得对任意均成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以. ②当且对于任意均成立时， 结合①可知且，此时无解. 综上可得，实数实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断. 【详解】对于A：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故A正确； 对于B：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故C错误； 对于D：因为函数在上单调递减， 所以当时，，故D错误； 故选：A 14. 某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布条形图可读出， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 15. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）． A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可. 【详解】由题意得，甲，乙，丙， 丁. 对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确； 对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确； 对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确. 故选：A. 16. 已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可. 【详解】，故在上递增， 对于①，设，， 设， ，， 单调递减，单调递增， ，即， ，即， 故，故①是真命题. 对于②，由①知，， 即， ，故. 且在上递增，故， ， 故的值域为 所以， 即，故， ②是真命题. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】（1） （2）4，为等边三角形 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； 【小问2详解】 由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明：易知， 又由平面，平面，得， 而平面， 则平面，而平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即可求解； （2）延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交圆于点，连接、、， 易知或其补角即为所求的角， 由题知，解得， 中， 由余弦定理得， 所以，所以异面直线与所成角的大小为. 19. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； （3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 【答案】（1）有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的列联表中的数据，求得的值，结合附表，即可得到结论； （2）根据表格中的数据，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样，得到不吸烟者3人，吸烟者4人， 结合题意的可能值为0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式求得数学期望. 【小问1详解】 假设：患慢性气管炎与吸烟无关， 根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设， 所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. 【小问2详解】 根据表格中的数据，可得： . 【小问3详解】 根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人， 这7人里再随机选取3人，可得随机变量的可能值为0，1，2，3， 则， ， 则随机变量的分布列为： 所以，随机变量的数学期望为. 20. 已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点. （1）当与轴垂直时，求的面积； （2）过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：； （3）过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值. 【答案】（1） （2） 设， 当时， ，不妨取，，， 则，，所以，即成立； 当时，设，的斜率分别为，设过点的切线方程：， 由， 因为直线与椭圆相切，所以， 即， 化简可得， 化为关于的一元二次方程为， 所以. 因为在圆上，所以， 代入上式可得， 综上可得. （3） 设、、、， 直线、的斜率分别为、， 设直线，与椭圆联立得， 则，，， 由得， 即， 计算分子部分： ，所以， 设直线，与双曲线联立得， 则，，，， 所以， 计算分子部分 ， 所以， 综上可得、均为定值. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程，求出，再计算三角形面积； （2）设，当时求出，从而确定、、（一组）的坐标，说明，当时，设，的斜率分别为，直线，得到联立直线与椭圆的方程，由得到化为关于的一元二次方程为，利用韦达定理得到，即可得证； （3）设、、、，直线、的斜率分别为、，设直线，联立直线与曲线的方程，消元、列出韦达定理，由得，即可求出，设直线，与双曲线联立，消元、列出韦达定理，由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 由题可知，直线为， 代入椭圆方程，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 【答案】（1） 不具有性质，理由如下： 取，有. 具有性质，理由如下： 对任意，， 有. （2） （3） 因函数的定义域为， 要证明是奇函数， 只要证明对任意实数，即可. 对任意实数，设，则由具有性质知： 当时， ①， 设，当，即时，由①得， 即当时②， 当，即时，由①得， 即当时③， 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点， 即 ④ ， 由函数在上严格增，知：函数在上严格增； 所以由②知，由③知，故； 故由④得， 即对任意实数，均有， 因此，函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论. （3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①，设，分、两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数定义域为， 又， 所以是奇函数， 函数具有性质，故对，， 都有， 又为奇函数， 故，即是严格增函数，恒成立. 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得； 综合上述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $