6.1 认识二元一次方程组-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)

6.1 二元一次方程组和它的解 课题 6.1 二元一次方程组和它的解 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P29-P32 教学目标 1.通过概念的正反例辨析，能准确识别出二元一次方程（组），并会判断一组数是否是某二元一次方程（组）的解。 2.通过类比学习和合作交流，归纳总结出二元一次方程（组）及其解的概念，提高类比分析和归纳概括的能力。 3.通过经历由实际问题抽象为二元一次方程（组）的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，养成良好的应用数学的意识，感悟方程思想；在数学文化的学习中，感受数学的巨大魅力。 教学重难点 重点： 1.掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义； 2.判断一组数是否是二元一次方程（组）的解。 难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师展示课件。 勒内·笛卡尔 教师介绍：17世纪法国数学家、哲学家笛卡尔曾经说过，“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程。因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解”。 师生活动：教师提出问题，学生思考并积极回答问题。 问题1：我们已经知道了方程的定义，学习了最基本的一类方程，即一元一次方程，你能举出几个例子，并说说它的定义吗？ 问题2：哪位同学能举例说说你对一元一次方程概念中“元”和“次”含义的理解？ 待学生说完自己的理解之后，教师介绍：相传，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术；朱世杰在《四元玉鉴》中将天元术拓广为四元术。清末，李善兰用“天、地、人、物”分别代替英文字母x，y，z，w，于是，“天、地、人、物”成了表示未知数的符号，而“元”，即为未知数的统称。 （教师结合数学史料丰富学生对“元”的认知） 问题3：类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？ （学生自由回答，教师同时板书课题：第1节 认识二元一次方程组） 由数学背景文化介绍，让学生了解数学历史和数学任务，引起学生的兴趣，让学生感受学习方程的重要性！ 以问题链的形式导入新课，三个问题基于学生已有认知基础，在数学内部引发问题，由易到难，逐层深入，构成一个系统。特别是问题3，具有一定的开放性，可使学生的思维一下子被激活。他们可能会无所顾忌地说出很多方程，甚至n元n次方程……这组问题不仅可以提高学生对数学知识发生发展过程的逻辑必然性的认识，并且能给他们在思考问题时以类比的对象，有利于学生概括出二元一次方程的抽象定义，从而降低学习难度，加深他们对“元”和“次”的理解，为学生的后继学习奠定发展基础。 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮比赛中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？ 教师活动：问题中告诉了我们哪些等量关系？ 学生活动： ①胜的场数+平的场数+负的场数=比赛总场数； ②胜场得分+平场得分=比赛总得分. 教师活动：能否用我们学过的知识来求解呢？你能用几种方法进行求解？ 学生活动： 方法一：算术法求解 解：平了[3×(9−2)−17]÷(3−1)=2 (场) 胜了9−2−2=5 (场) 方法二：列一元一次方程求解 解：设这个队胜了x场，则平了(9−2−x)场. 根据题意，得3x+(9−2−x) = 17. 解这个方程，得 x=5，则 9−2−x = 2. 答：胜了 5 场，平了 2 场. 教师活动：问题中涉及到两个未知量，那么我们能不能同时设两个未知数呢？如果设勇士队胜了 x 场，平了 y 场，请你先在下表的空格中填入数字或式子，再按照刚刚提出的得分和场数这两个等量关系列出方程 胜 平 合计 场数 x y _____ 得分 _____ _____ _____ 学生活动： 胜 平 合计 场数 x y 7 得分 3x y 17 列方程： 教师提问：这两个方程有什么共同特点呢？对比一元一次方程的定义，看看两类方程有何联系与区别吗？你能类比一元一次方程的定义，给出这类方程的定义吗？ 学生活动：先独立思考，再举手作答。 1、共同特点：①每个方程都有两个未知数；②未知数项的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式。 2、区别：这两个方程都有两个未知数，而一元一次方程只有一个未知数； 联系：这两类方程未知数项的次数都是1，含有未知数的式子都是整式 教师总结： 1、有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 注意：二元一次方程必须满足：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程。 教师提问：在上面的方程中，x所代表的对象相同吗？y呢?试着通过尝试检验、列算式或者列一元一次方程，求出x和y。 学生活动：思考并回答问题。 教师总结：在刚才的问题中，两个未知量要满足两个等量关系，所以未知数x、y也必须同时满足这两个方程，因此我们把这两个方程合在一起，写成。 像这样，两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 教师活动：（1）x=4，y =3适合方程x+y=7吗？x=5，y=2呢？x=3，y=4呢？你还能找到其他x，y的值适合方程x+y=7？ （2）x =4，y=5适合方程3x+y=17吗？x=5，y=2呢？ （3）你能找到一组x，y的值同时适合方程x+y=7和3x+y=17吗？你还能找到其他x，y的值吗？ 师生活动：各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论。 由学生回答上面3个问题，教师作出结论： 教师总结：（1）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。如x=5，y=2是方程x+y=7的一个解，记作 同时，也是3x+y=17方程的一个解，所以就是二元一次方程组的解，也记作。 （2）一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。例如，就是二元一次方程组的解。 【归纳总结】 1、适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。二元一次方程有无数组解。 2、两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 注意：二元一次方程组必须满足：①方程组有两个一次方程；②方程组中共有2个不同的未知数；（方程组各方程中同一字母必须代表同一个量）；③用大括号把两个方程括起来。 2、使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组只有一组解。 注意：1、二元一次方程组的解是一对数，而不是两个数，必须用“ ”的形式； 2、必须同时满足两个方程。 【教材例题】 问题2 某校现有校舍20 000 m2 ，计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加30%.若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍,则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍? (单位: m2 ) 若设应拆除x m2 旧校舍，建造y m2 新校舍，请你根据题意列出方程组. 解： 学习任何方程，首先要强调的都应是“解决实际问题”.所以，在“数学内部”提出问题后，教师通过设置问题情境，引导学生利用一元一次方程和二元一次方程（组）的知识将实际问题转化为数学问题，这样就把“理解数学（教材）”与“理解学生”对接起来，实际上也把“数学有用”真正体现在学习过程中；学生通过解决具体问题，发现自己的想法“果然有用”，其学习兴趣也就“自然而然”被激发了。 通过比较类比一元一次方程，归纳出二元一次方程的概念，无形中也增强学生对数学知识之间内在联系的感性认识。 对于问题（1），（2），经过尝试，每名学生都能找到一组使方程成立的未知数的值，而且不同的学生所找未知数的值不尽相同，学生初步感受到二元一次方程有无数组解；至于问题（3），学生经过尝试，找不到第二组适合两个方程的公共解，初步感受到二元一次方程组只有一组解。 随后教师进一步通过问题驱动，引导学生归纳二元一次方程和二元一次方程组的解。 3.学以致用，应用新知 考点1 二元一次方程（组）的概念 例 （1）下列方程有哪些是二元一次方程： ①，②，③， ④， ⑤， ⑥. （2）判断下列方程组是否是二元一次方程组： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答案：（1）①③⑥；（2）①④ 变式训练 计算：如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ . 答案：2；-4 考点2 二元一次方程（组）的解 例 下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？（ ） A. B. C. D. 答案：BCD 变式训练 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 答案：C 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列各式是二元一次方程的是( ) A.x=3y B.2x+y=3z C.x²+x-y=0 D.3x+2=5 答案：A 2．有下列方程组：①② ③④⑤其中二元一次方程组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 3. 方程2xa−2+3yb+1+4=0是二元一次方程，则a= ，b= . 答案：3 0 4. 在下面的5组数值中 ①；②；③；④；⑤。 二元一次方程的解有 ； 二元一次方程组的解是 。 答案：（1）④⑤；（2）③ 5.如果是的解，那么m= n= . 答案：5，1 6.写出一个以为解的二元一次方程组为 （答案不唯一）。 答案： 7.根据题意，列方程组（不解方程） 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 解：设树上有x只鸽子，数下有y只鸽子，由题意，得 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。 5.课堂小结，自我完善 1.有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。二元一次方程有无数组解。 3.两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4.一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。方程组的解满足方程组的每个方程，二元一次方程组只有一组解。 引导学生反思所经历的数学活动，让学生从知识、方法两个角度进行回顾，进一步获得对研究方法、研究方向更明确的感悟，感受模型思想。 6.布置作业 课本P31习题6.1 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1节 二元一次方程组和它的解 二元一次方程组和它的解 提纲掣领，重点突出。 教后反思 1.本节课充分体现了从问题情境中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的这一变化学习过程。在教学中力求体现“问题情景—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较全面的体验和理解。 2.通过情境引入，让同学们体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生们的情感与态度.充分利用小组合作交流，让同学们自己找出方程中的等量关系，启发同学们自己说出各个定义的理解。在同学们合作做题的时候，教师进一步强调小组需要合作交流、合理分配时间.教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$