5.3 第3课时 工程问题、行程问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)

5.3 实践与探索 第3课时 工程问题、行程问题 课题 第3课时 工程问题、行程问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P22-23 教学目标 1.通过分析具体问题中的工程关系，建立方程解决问题. 2.通过分析具体问题中的行程关系，建立方程解决问题. 3.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用，感受具体问题中数量之间的关系和变化规律 教学重难点 重点： 通过分析具体问题中的工程关系，建立方程解决问题. 通过分析具体问题中的行程关系，建立方程解决问题. 难点： 正确找出等量关系，解决实际问题，探究多种解题方法 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 1．做某件工作，甲单独做要 8 时才能完成，乙单独做要 12 时才能完成，问： ①甲做 1 时完成全部工作量的几分之几？_________. ②乙做 1 时完成全部工作量的几分之几？_________. ③甲、乙合做 1 时完成全部工作量的几分之几？_____. ④甲做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______. 这节课我们就来学习应用一元一次方程（教师板书课题： 第3课时 工程问题、行程问题） 层层递进式地回顾工程问题中工作量、工作效率、工作时间之间的关系，为新课学习作铺垫。 。 2.实践探究，学习新知 【探究1】工程问题 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天. 问题1 ：两人合作需要几天完成？ 问题2：现由徒弟先做 1 天，再两人合作，完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？ 教师活动：提出问题，设两人合作需 x 天完成，你能用含x的代数式表示其他的量吗？上述问题中包含哪些等量关系呢？以问题的形式引导学生解答问题。 学生活动：用含x的代数式表示其他量，并填在表格中。 观察和思考，找出问题中的等量关系，列式求解。 效率之和 合作时间 工作总量 _______ ________ _______ 问题1 解：由题意，得方程 解得 x = 2.4，即两人合作要 2.4 天. 问题2 解：设两人合作需x天完成. 由题意，得方程 ，解得 x=2 所以 所以师傅和徒弟各分得450元. 教师总结：1、工程问题常见基本关系：①工作量=工作效率×工作时间；②工作效率=；③工作时间= 2、基本等量关系：各部分工作量之和 = 工作总量 【探究2】行程问题 甲乙两地相距 240 km，汽车从甲地开往乙地，速度为 36 km/h，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的. 摩托车从乙地出发 2 小时 30 分钟后，汽车从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？ 教师提问：这是追其问题还是相遇问题？这类问题的常用等量关系是什么？应该设谁为未知数x？试着画一下线形示意图，列出方程解决这个问题 学生活动：相遇问题，A的行程+B的行程=A、B之间的路程，示意图如图： 解:设汽车开出x小时后遇到摩托车， 根据题意，得 36x+36×x+36××2.5=240， 解得 x = 3. 经检验，符合题意. 答：汽车开出 3 小时后遇到摩托车. 教师总结： 行程问题常见基本关系： 一、相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 1. 基本题型 (1) 同时出发（两段）；(2) 不同时出发 （三段 ） 2. 等量关系 ①；② 二、追及问题：快行距－慢行距＝原距 1. 基本题型： (1) 同时不同地出发； (2) 不同时但同地出发； (3) 不同时也不同地出发 2. 等量关系： (1) 快者的路程=慢者的路程+原来的距离； (2) 快者的路程=慢者先走的路程+慢着后走的路程； (3) 快者的路程=慢者先走的路程+慢着后走的路程+原 来的距离 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 教师活动：至此我们讲完了五类一元一次方程的实际应用题（几何图形问题、和差倍分问题、商品销售问题、工程问题、行程问题），说明了一元一次方程在解答实际问题中的应用。 引导学生从以上的例子中总结出用一元一次方程解答实际问题的一般步骤。 学生活动：回顾复习三种实际问题的解题过程，讨论总结出用一元一次方程解答实际问题的一般步骤。 （1）审：审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系； （2）设：设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接； （3）找：找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个等量关系； （4）列：列方程，根据所找出的等量关系列出方程； （5）解：解方程，解所列出的方程，求出未知数的值； （6）验：检验，检验所求的数值是否符合题意或实际； （7）答：写出答案。 逐步引导学生，帮助理清思路，引导独立完成。 层层递进逐步引导学生回忆行程问题的解题思路，让学生借助线形示意图帮助理解题意，解决问题。 总结方法,找出用一元一次方程解答实际问题的解题规律。 3.学以致用，应用新知 考点1 调配问题 例1 26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排 x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A. 2×1 000（26-x）=800x B. 1 000（13-x）=800x C. 1 000（26-x）=2×800x D. 1 000（26-x）=800x 答案：C 变式训练1 学校举办主题为“阅读新时代、奋进新征程”的活动，将一些图书分给了七年级的学生阅读，如果每人分2本，则剩余150本；如果每人分3本，则还缺200本。 则该校七年级有学生 人。 答案：350 考点2 积分问题 例2 学校举行了消防安全知识竞赛，共有15道题，每答对一题得2分，答错一题得1分，某同学在本次竞赛中总共得分23分，则该同学总共答对了 道题. 答案：8 变式训练2 为有效落实“双减”工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并定期举行体育比赛。已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数。 解：设该队获胜x场，则平（11-x）场. 依题意，得3x+（11-x）=25， 解得x=7. 所以该队获胜7场. 考点3 工程问题 例3 某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，甲一共做了x天，则所列方程为（ ） A.+=1 B.+=1 C. +=1 D.++=1 答案：C 变式训练3 某土建工程共需动用15台挖、运机械，1台机械每分钟能挖土3 m3或者运土2 m3。为了使挖土和运土工作同时结束，则安排了 台机械运土。 答案：9 考点4 行程问题 例4 若明明以每小时 4 千米的速度步行上学，哥哥半小时后发现明明忘了带作业，就骑车以每小时 8 千米追赶，问哥哥需要多长时间才可以送到作业？ 解：设哥哥要x小时才可以送到作业， 8x = 4x + 4×0.5. 解得 x = 0.5， 经检验符合题意. 答：哥哥要 0.5 小时才可以把作业送到. 变式训练4 甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时 48 千米，乙车的速度是每小时 72 千米，甲车开出 25 分钟后乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？ 解：设乙车开出 x 小时后追上甲车，根据题意，得 ×48+ 48x = 72x， 解这个方程，得 x=， 经检验，符合题意. 答：乙开出 小时后追上甲车. 4.随堂训练，巩固新知 1.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，则乘车人数为（ ） A. 15 B. 35 C. 39 D. 41 答案：C 2.某次篮球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分。某中学篮球队的胜场数是负场数的3倍，这个篮球队在这次积分赛中积分可能为（ ） A. 12 B. 17 C. 20 D. 22 答案：C 3.某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工程，若设甲一共做了x天，则所列方程为（ ） A. + =1 B.+=1 C.+=1 D.++=1 答案：B 4.用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有100张铁皮，用 张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套。 答案：60 5. 有一架飞机，最多能在空中飞行 4 小时，飞出时的速度是 600 km/h，返回时的速度是 550 km/h，这架飞机最多飞出多少千米就应返回？（精确到1 km）飞机本身的速度是多少？ 解：设飞机最多飞出 x km. 依题意，得 解得 x = 1 147. 经检验，符合题意. 答：飞机最多飞出 1 147 km. 6. 某工厂要加工一批零件，计划每天加工240个，正好能如期完工．现通过技术革新，每天可以多加工40个零件，结果提前2天完成任务．这批零件共有多少个? 解：设这批零件有x个，根据题意，得 -=2 解得 x=3 360 因此，这批零件有3 360个。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 一、工程问题常见基本关系： ①工作量=工作效率×工作时间； ②工作效率=； ③工作时间=； ④基本等量关系：各部分工作量之和 = 工作总量 二、行程问题常见基本关系： （一）、相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 1. 基本题型 (1) 同时出发（两段）；(2) 不同时出发 （三段 ） 2. 等量关系 ①；② （二）、追及问题：快行距－慢行距＝原距 1. 基本题型： (1) 同时不同地出发； (2) 不同时但同地出发； (3) 不同时也不同地出发 2. 等量关系： (1) 快者的路程=慢者的路程+原来的距离； (2) 快者的路程=慢者先走的路程+慢着后走的路程； (3) 快者的路程=慢者先走的路程+慢着后走的路程+原 来的距离 三、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系； （2）设：设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接； （3）找：找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个等量关系； （4）列：列方程，根据所找出的等量关系列出方程； （5）解：解方程，解所列出的方程，求出未知数的值； （6）验：检验，检验所求的数值是否符合题意或实际； （7）答：写出答案。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P22练习T4，P23习题5.3.3的TT4、T5 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时 工程问题、行程问题 第3课时 工程问题、行程问题 工程问题 投影区 行程问题 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课的内容较多，应让学生熟记各类问题最基本的等量关系，会列表或画示意图来直观表示问题，帮助理解题意。行程问题对学生来说比较熟悉，就是在涉及两个人的时间、速度问题上往往就不能马上找出题目中的等量关系，这个时候教师不要急于求成，要结合图形，甚至可以让学生演示追赶问题和相遇问题，让学生慢慢理解，只有学生理解了，才能解决这一类问题达到以点带面的目的。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$