5.3 第1课时 几何图形问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)

5.3 实践与探索 第1课时 几何图形问题 课题 第1课时 几何图形问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P19-P20 教学目标 1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题. 2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用. 3.感受具体问题中数量之间的关系和变化规律. 教学重难点 重点： 分析图形问题中的基本等量关系，建立方程 难点： 感受具体问题中数量之间的关系和变化规律 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：演示将水杯中的水倒入另一个水杯中，来回两次，并提出问题。 问题：在这个过程中什么没有发生变化？ 学生活动：观看演示，思考问题，与同桌交流讨论。 这节课我们就来学习应用一元一次方程。（教师板书课题： 第1课时 几何图形问题） 通过演示引起学生对本节课的兴趣，由学生熟悉的水量不变引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动。 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题1 用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形． ( 1 ) 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽； （2）使长方形的宽比长少 4 cm，求这个长方形的面积； （3）比较小题（1）（2）所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？ 教师提问：请你用适当的方法分析题中的数量关系。每小问中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？若不能，该怎么办？ 学生活动：学生先自己独立试做，再进行小组交流、讨论，最后进行成果汇报. （1）等量关系： 1. 宽 = 长； 2. 长方形周长 = 2(长+宽) 解：设长为 x cm，则宽为 cm 根据题意，得2(x+ x)= 60，解得 x = 18 . 经检验，符合题意. 长方形的宽为18× = 12(cm) 答：这个长方形的长为18 cm，宽为12 cm. （2）等量关系： 1. 长=宽+4； 2. 长方形周长 = 2(长+宽)，长方形面积=长×宽 （2）不能直接设长方形的面积为x cm2，因为没有合适的用来列方程求解的等量关系 解：设宽为x cm，则长为(x+4)cm. 根据题意，得 2(x+4+x)= 60，解得x=13, 经检验，符合题意. 长方形的长为x+4=17，面积为13×17=221（cm2）. 答：这个长方形的面积为221 cm2. （3）（1）中的长方形的面积为12×18=216（cm2）；（2）中的长方形的面积为221 cm2。因为216＜221，所以（2）中长方形的面积较大。 如果设长为m cm，则宽为(30-m)cm，面积S=m(30-m)，无法求解. 教师追问：将小题（2）中的宽比长少4 cm改为3 cm、2 cm、1 cm、0 cm（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？试着列表观察，看看有什么发现？ 变化情况 长 宽 周长 面积 宽比长少3 cm 16.5 13.5 60 222.75 宽比长少2 cm 16 14 60 224 宽比长少1 cm 15.5 14.5 60 224.75 宽比长少0 cm 15 15 60 225 学生活动：列表观察，组内讨论分析得出：在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大，当长和宽相等时，面积最大。 教师总结：在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大。 实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，而且若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形，面积最大的是圆。通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。 【归纳总结】 几何图形问题——等积（等长）变形问题 1、形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，相等关系是变化前后的体积（周长）相等. 2、列方程解应用题注意事项： （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量。 （2）列方程解实际问题的关键是找相等关系。 （3）列方程时要注意所有单位要统一。 （4）解出方程的解还要检验其是否符合实际意义。 通过探究同一问题的不同变形,让学生发现缺少未知量，所以需要设出未知量在进行求解，经历探究过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“寻找等量关系”靠近。 通过对问题的进一步探索，让学生了解到解决这类问题需要更深层次的知识，激发学生学习数学的兴趣。 3.学以致用，应用新知 考点1 等积变形问题 例1 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A.π×()2x=π×()2×（x-5） B.π×()2x=π×()2×（x+5） C. π×82x=π×62×（x+5） D. π×82x=π×62×5 答案：B 变式训练1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？ 分析：如果设水箱的高变为 x m，填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径/m 2 1.6 高/m 4 x 体积/m π×22×4 π×1.62×x 解：设水箱的高变为 x m， 由题意，得 π×22×4=π×1.62×x 解得 x = 6.25 因此，水箱的高度变成了 6.25 m. 考点2 面积问题 例2 把一个用铁丝围成的长为8、宽为6的长方形改成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形相比（ ） A. 面积与周长都不变 B. 面积相等但周长发生变化 C. 周长相等但面积发生变化 D. 面积与周长都发生变化 答案：C 变式训练2 一个长方形的长比宽多2，若把它的长、宽分别增加2后，面积增加了24，求原来长方形的长与宽 . 若设原长方形的宽为x，可列方程为（ ） A. x（x+2）=24 B.（x+4）（x+2）=24 C.（x+4）（x+2）-x（x+2）=24 D. x（x+4）=24 答案：C 考点3 等长变形问题 例3 1. 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大． 解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)] m. 根据题意，得 2πr ＝ 4(r＋2π－4)，解得 r ＝ 4， 所以铁丝的长为 2πr ＝ 8π (m)， 所以圆的面积是 π×42 ＝ 16π (m2)， 正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2 ＝ 4π2 (m2)． 因为 4π×4 > 4π×π，所以 16π > 4π2，所以圆的面积大． 答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大． 变式训练3 乐乐家的墙上钉着一个用彩绳围成的三角形（如图中实线所示），乐乐通过移动钉子，把它变形为一个等边三角形（如图中的虚线所示），则等边三角形的边长为 . 答案：7 4.随堂训练，巩固新知 1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为（ ） A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm 答案：B 2.欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是（ ） A．1 200 mm B. mm C．120π mm D．120 mm 答案：B 3.现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20 cm，高为20 cm，装有蓝色溶液若干。若如图 2放置时，测得液面高为10 cm；若如图3放置时，测得液面高为 16 cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留π）为（ ） A. 1 250π cm3 B. 1 300π cm3 C. 1 350π cm3 D. 1 400π cm3 答案：D 4.如图是由六个正方形拼成的一个长方形，已知最小的正方形的面积为1，则此长方形的面积是 . 答案：143 5.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成。现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米。你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？ 解：根据小王的设计，可以设宽为x米，长为（x+5）米. 根据题意，得2x+（x+5）=35，解得x=10. 因此小王设计的养鸡场的长为x+5=10+5=15（米）， 而墙的长度只有14米， 所以小王的设计不符合实际. 根据小赵的设计，可以设宽为y米，长为（y+2）米. 根据题意，得2y+（y+2）=35，解得y=11. 因此小赵设计的养鸡场的长为y+2=11+2=13（米）， 而墙的长度有14米， 显然小赵的设计符合要求， 此时养鸡场的面积为11×13=143（平方米）. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1、形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，相等关系是变化前后的体积（周长）相等. 2、用一元一次方程解决几何图形问题，有三个要点： (1) 对现实情境的理解，能画出示意图的尽量画出来； (2) 基本量，基本数量关系，常见几何图形的周长，面积体积公式； (3) 寻找相等量关系的方法： ①平面图形注意图形各元素之间的关系，如形变边长不变或面积不变的相等量关系； ②立体图形：抓住形变体积不变或形体都变但质量不变的等量关系. 3、列方程解应用题注意事项： （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量。 （2）列方程解实际问题的关键是找相等关系。 （3）列方程时要注意所有单位要统一。 （4）解出方程的解还要检验其是否符合实际意义。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P19练习，P20习题5.3.1 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 几何图形问题 应用一元一次方程——水箱变高了 等积变化 投影区 等长变化 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课是一元一次方程的应用题中有关几何图形这一类问题的求解，其中如何把实际问题转化为方程这一环节的处理尤为重要，即如何仔细阅读题目，找出题目中的等量关系。此处因为与几何相关，对学生的几何直观有一定要求，要特别强调能画出示意图的尽量画出来，有了直观的认识就好理解本节内容，从而引导学生顺理成章地用方程解答问题了。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$