10.1 第2课时 垂线-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

10.1 相交线 第2课时 垂 线 课题 垂线 课型 新授课 教学内容 教材第130-133页的内容 教学目标 1.理解垂线、垂线段的概念. 2.能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，掌握垂线的性质. 3.知道点到直线的距离的意义，能求解相关问题. 教学重难点 教学重点：理解并掌握垂线的性质以及垂线的画法. 教学难点：理解垂线段最短，及其简单应用. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 教师展示两幅图片： 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的线条.（学生回答，老师点评） 【思考】将十字街口的两条道路看作两条直线，如图（2）中的AB和CD，它们相交于点O，形成4个角.如果∠AOC=90°，那么其他三个角的度数各是多少？为什么？ （师生活动）教师引导学生回答：根据对顶角相等以及补角的概念，可以知道∠BOD=∠AOC=90°，∠BOC=180°－∠AOC=90°，∠AOD=∠BOC=90°. 所以得到了，其他三个角的度数都是90°. 2.探索新知，归纳知识 （教师活动）老师归纳总结概念： 在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点O叫作垂足. 老师提问：知道了垂直的概念，两条直线垂直的例子很多，你能再举出一些两条直线互相垂直的例子吗？ （学生回答，老师点评） 【合作探究】老师提问，学生回答. （1）互相垂直的两条直线其夹角是多少度？ （2）怎样判定两条直线是否垂直？ 老师：同学们了解了垂直的性质和判定，下面请举出几个生活中常见的垂直的实例. （学生举例，老师点评） 老师：接下来拿出你们的尺子，我们来画一下垂线. （1）借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线. （2）只用直尺，在方格纸上画出两条互相垂直的直线. （提示学生：沿着格线画或仿照学习无理数找正方形的方法） （3）用折纸的方式找互相垂直的直线. （老师可先演示再让学生操作） （4）还有其他画互相垂直的直线的方法吗？ （学生操作，老师点评） 老师：知道了怎么画两条互相处置的直线，下面同学们分组画一下已知直线的垂线. （1）画已知直线l的垂线； （2）过已知直线上的一点画直线，使它与直线垂直. （3）过已知直线外的一点画直线，使它与直线垂直. （提示：仿照教材上给出的方法动手画一下，也可以用纸折一下，老师巡视指导，并给出点评，然后提问） （1）画已知直线的垂线，画出了几条？ （2）过已知直线上的一点能画出几条直线与直线垂直？ （3）过已知直线外的一点能画出几条直线与直线垂直. （学生回答，老师出示板书或幻灯片） （画已知直线的垂线，可以画无数条） 过已知直线上（或外）的一点画与直线垂直的直线，都只能画出一条. 老师：同学们回忆一下画的过程，归纳出画过一点画已知直线的步骤. (学生讨论后回答，教师总结) 垂线的画法（过一点画已知直线的垂线的步骤）： 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上； 二过：移动三角尺，使它的另一条直角边上过已知点； 三画：沿着过已知点的这条直角边画线. 老师：经过前面同学们画垂线的探究，我们可以得到一个关于直线的垂线的基本事实：（师生互动，共同回答） 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 提醒学生注意： 我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段所在直线、射线所在直线与该直线垂直. 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 老师：我们学习了画垂线，这有什么用途呢？ （1）请同学们观察下面这个图： 点在直线外,在直线上任意取一些点把这些点分别与点P连接,得到线段其中⊥. 观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？ 学生用直尺测量，回答：PO最短. 老师：从直线1外一点P向直线1作垂线,垂足记为点O,则线段OP叫作点P到直线1的垂线段. 老师点评，继续引导学生探究. （2）请同学们把准备的线拿出来,按照教材操作一下. 点P在直线l外，把一根细绳的一端用一只手固定在点P处，拉紧细绳，按如图所示步骤进行操作. 观察细绳上的标记点O位置的变化，你有什么发现？ （引导学生自己探索，鼓励学生回答） 发现：在旋转过程中，除了开始标记时点O在直线上，其他阶段点O的位置一直在直线上方. 老师总结：通过上面这个观察结果，我们可以得到： 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离． 老师：根据总结的知识，我们看一下相关的实际应用. 【交流】跳远比赛中，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同学的跳远成绩？为什么这么量？ （同学们分组交流一下） 跳远成绩应是沙坑中脚印上点P到起跳线的垂线段PA的长. 3.学以致用，应用新知 考点1 根据垂直求角度 【例1】 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD=125°，求∠COE的度数. 解：因为∠AOD=125°， ∠COB=∠AOD， 所以∠COB=125°. 因为OE⊥AB， 所以∠EOB=90°， 所以∠COE=∠COB－∠EOB=125°－90°=35° 考点2 垂线的画法 【例2】如图，平面上有三点A、B、C. (1)画直线AB，画射线BC (不写作法，下同)； (2)过点A画直线BC的垂线,垂足为点G；过点A画直线AB的垂线,交射线BC于点H. 解：如图所示． 　　 考点3 垂线段最短 【例3】如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，线段AC、BC、CD中最短的是( ) A. AC B. BC C. CD D. 无法确定 答案：C 【例4】 如图，平原上有 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据. 解：（1）如左图，连接AD，BC交于H，因为两点之间线段最短，所以 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小. （2）如右图，过H作HG⊥EF，垂足为G .“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，直线⊥CD于点O ，直线EF经过点O ，若∠1=26°，则∠2的度数是（ ） A. 26° B. 64° C. 54° D. 以上答案都不对 答案：B （2）过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） 答案：C （3）如图，点在直线 上，，= 6 cm，= 5 cm，=7 cm，则点到直线的距离是________cm. 答案：5 （4） 如图，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由． 解：如图，连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短． 5.课堂小结，自我完善 （1）垂线的概念 两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足． （2）垂线的作法 （3）垂线的性质 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． （4）点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离． 6.布置作业 课本P133练习第1-2题；课本P121习题10.1第2-4题. 通过图片上实物的位置关系感知两条直线的位置关系． 以十字路口路线为背景，让学生思考两直线相交时有一个角为90°的情况，引入垂直的概念. 学生经历观察、思考，总结出垂线的性质. 让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度，锻炼学生自主探究学习的能力，激发学生的学习兴趣. 引导学生独立总结出垂直的性质和判定，提问学生举生活中的实例，加深对垂直的理解. 引导学生小组合作，动手操作，自主实践，教师巡回指导，随时观察学生完成情况，并进行相应指导. 让学生仿照教材自己动手画一画，画的过程中探究出下面问题的答案，此过程能让学生更好的理解下面的基本事实，并总结出画已知直线的垂线的步骤. 教学中引导学生独立得出结论，并理解结论. 强调基本事实中 ①“过一点”，点可以在直线上也可以在直线外； ②“有且只有”表示存在且唯一. 引导学生思考探究，小组合作，动手操作，交流讨论，归纳总结出垂线的相关概念与性质. 注意提醒学生，点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量. 引导学生体会垂线段最短在实际生活中的应用. 通过例题加深对垂直的理解，进一步巩固本节课的内容. 板书设计 教后反思 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，教学中要充分利用教科书中交流资源，培养学生用语言与他人交流数学问题的习惯与能力，培养合作精神，激发学习的兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$