8.4.2 第2课时 因式分解—分组分解法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.4 因式分解 8.4.2 第2课时 分组分解法 课题 因式分解——分组分解法 课型 新授课 教学内容 教材第85-86页的内容 教学目标 1.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤． 2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题． 教学重难点 教学重点：综合利用公式法和提公因式法分解因式.. 教学难点：能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题． 教 学 过 程 备 注 1.回顾交流，引入课题 （用投影仪或黑板板书）出示： 前面已经学习了分解因式的两种基本方法——提公因式法和公式法， 把下列各式分解因式：（说明用的是什么方法） （1）； （2）. 学生1：.提公因式法 学生2：.平方差公式法 老师：利用这两种方法可以快速的分解因式，但是对于不符合公式法结构的或多项式的各项没有公因式的，怎么办呢？例如，四项式又如何分解？ 2.探索新知，归纳知识 （学生分组交流讨论） 师生互动：我们发现，这个多项式一共有4项，前两项有公因式m，后两项有公因式2，我们试着分开提取公因式： （板书） 做到这一步，通过我们之前一直提到的整体思想，我们可以把看做一个整体，再提一次公因式，得到： . 老师：观察上面的式子，我们首先分为两组，即()和(),然后分别提取公因式m,2，最后得到的两项又含有公因式(a+b)，再继续提取公因式，直到每一个多项式因式都不能再分解为止.同学们还有其他解法吗？ 学生： 加法交换律与结合律 提公因式法 提公因式法 老师：回答正确.这两种方法说明，分组没有固定格式. 下面我们一起看一下教材例题. 【教材例题】 例6 把下列各式分解因式： （1）; (2). 老师分析：在(1)式中，显然前两项可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是(x+y)；后两项有公因式a，提公因式后，另一个因式也是(x+y). 学生解答： 老师：很好，下面早找一位同学做一下（2）题. 学生解答： 老师点评：我们可以看出，这位同学是把前三项作为一组，它是一个完全平方式²；把第四项-²作为另一组，则²-²是平方差形式的多项式,再利用公式分解因式. 从本例可以看出，因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解. 3.学以致用，应用新知 考点1 运用分组法分解因式 【例1】分解因式. 解：原式＝ 考点2 运用分组法分解因式判定三角形的形状 【例2】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0， 得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形． 考点3 利用因式分解整体代换求值 【例3】已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值. 解：x2－y2－2y＋2x ＝(x＋y)(x－y)－2(y－x) ＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)， 将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得 原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45. 4.随堂训练，巩固新知 （1）因式分解： ①a2＋4ab＋4b2－2a－4b； ②x3＋6x2＋11x＋6. 解：①原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b) ＝(a＋2b)(a＋2b－2)； ②原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋6 ＝x(x＋3)2＋2(x＋3) ＝(x＋3)[x(x＋3)＋2] ＝(x＋3)(x2＋3x＋2) ＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)． （2）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0， 得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形． （3）①已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； ②已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3的值. 解：①原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 由 a－b＝3，得原式＝32＝9. ②原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 由 ab＝2，a＋b＝5，得原式＝2×52＝50. 5.课堂小结，自我完善 （1）用平方差公式进行因式分解 （2）用完全平方公式进行因式分解 因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式法或运用公式法进行分解. 6.布置作业 课本P77练习1-2题，P78习题8.4第4题. 教学中带领学生回顾因式分解的两种基本方法，引导学生思考本节需要解决的问题，让学生理解学习分组分解法的必要性. 教学中引导学生共同分析，让每个学生参与思考的过程. 教师总结分析分组分解的过程，鼓励学生积极探索，理解分组的多样化. 对于同一个多项式，有时分组方法并不唯一，但最终结果是唯一确定的. 教师引导学生分析多项式，鼓励学生独立解决问题，让学生充分理解分组法分解因式，对于处理因式分解问题提供了一种新的思维方向. 板书设计 分组法因式分解的步骤 二提：提公因式 一分：先分组 三套：套乘法公式 四查：是否分解到不能再分解 教后反思 本节课学习了利用分组法进行因式分解，教学中引导学生分析多项式，鼓励学生独立解决问题，通过例题与练习，巩固相关知识，同时充分发挥学生的主体作用，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的数学学习兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$