8.4.2 第1课时 因式分解—公式法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.4 因式分解 8.4.2 第1课时 公式法 课题 因式分解——公式法 课型 新授课 教学内容 教材第82-84页的内容 教学目标 1.会用公式法（直接用公式不超过两次）因式分解（指数是正整数）； 2.经历通过乘法的平方差公式和完全平方公式，逆向得出用公式法因式分解的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 教学重难点 教学重点：利用平方差公式和完全平方公式分解因式.. 教学难点：准确灵活的运用公式分解因式. 教 学 过 程 备 注 1.回顾交流，引入课题 （用投影仪或黑板板书）出示： （1）什么叫因式分解？它与整式乘法有什么关系？ 学生1：把一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式，叫作因式分解. 学生2：因式分解与整式乘法是互逆运算. （2）运用乘法公式计算： ①（x-3y）²； ②（-x+3）²； ③（x-4）（x+4）； ④（2x+y）（2x-y）. 学生3：①（x-3y）²=x²-6xy+9y²； ②（-x+3）²=x²-6x+9； 学生4：③（x-4）（x+4）=x²-16； ④（2x+y）（2x-y）=4x²-y². 老师：利用乘法公式可快速计算特殊多项式的乘法，利用因式分解与多项式乘法运算的互逆关系，我们能不能用乘法公式来快速因式分解呢？ 2.探索新知，归纳知识 观察下面两个公式，你能发现什么？ 完全平方公式： 平方差公式： （观察公式，学生讨论） 学生：发现乘法公式反过来使用就是因式分解. 老师：运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫作公式法. 老师:同学们想一想，符合什么结构特征的多项式可以用公式法因式分解呢？ （学生分组交流讨论） 1组学生代表：如果这个式子是两项，且这两项的符号相反，两项都能写成平方数的形式，那么这样的式子就能分解成两数和与两数差的积的形式.应用平方差公式. 2组学生代表：如果一个式子是二次三项式，三项中有两项可以分别写成数的平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两数积的2倍，那么这样的式子就能分解成这两数和（或差）的平方的形式.应用完全平方公式. 老师：同学们的回答的很正确，应用公式法因式分解，一定要先判断所给式子能不能利用公式法.下面我们通过例题来练习一下. 【教材例题】 例3 把下列各式分解因式： （1）; （2）； 解： （3）; （4）. 解： 例4 把下列多项式分解因式： （1）; (2). 解： 例5 把下列多项式分解因式: (1) 16x4-81； (2)x4 -2x2 +1. 解：(1) 16r4-81 x4-2x2 +1=(x2 -1) =(4x2 +9)(4x2 -9) =[(x+1)(x-1)]2 =(4x2 +9)(2x +3)(2x-3). =(x+ 1)2(x-1)2. 3.学以致用，应用新知 考点1 直接用公式法分解因式 【例1】 分解因式： （1）； （2）. 解：(1) ； (2). 考点2 利用公式法因式分解简化计算 【例2】 利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解：(1)342＋34×32＋162=342＋2×34×16＋162 ＝(34＋16)2＝2 500； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 考点3 利用因式分解整体代换求值 【例3】已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x－y，x，y的值． 解：因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1， 所以x－y=-2. 考点4 综合运用提公因式法和公式法分解因式 【例4】因式分解： (1)x5－x3； (2)2x2－8y2； (3)x2(x－y)＋(y－x)． 解：(1)x5－x3＝x3(x2－1) ＝x3(x＋1)(x－1)； (2)2x2－8y2＝2(x2－4y2) ＝2(x＋2y)(x－2y)； (3)x2(x－y)＋(y－x)＝x2(x－y)－(x－y) ＝(x－y)(x2－1) ＝(x－y)(x－1)(x＋1)． 4.随堂训练，巩固新知 （1）把下列多项式分解因式. ①； ②. 解：①原式=x－2·x·6+6=（x－6）. ②原式=（2a）²－2·2a·1+1²=（2a－1）. （2）分解因式： ①； ②. 解：①原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b) ②原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) （3）计算下列各题： ①1012 - 992； ②53.52×4 - 46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2) 原式＝4(53.52－46.52) ＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7＝2800. (4)已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时，原式=-40×5=-200. （5）把下列各式分解因式： ①3ax2+6axy+3ay2； ②5m2a4－5m2b4；③16x4﹣8x2y2+y4. 解：①原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； ②原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). ③原式 ＝（4x2﹣y2）2 ＝（2x+y）2（2x﹣y）2． 5.课堂小结，自我完善 （1）用平方差公式进行因式分解 （2）用完全平方公式进行因式分解 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法. 6.布置作业 课本P83练习第1、2题，P84练习第1题，P86习题8.4第2、3题. 引导学生回顾因式分解与整式乘法的关系，通过运用乘法公式的计算，为引入公式法因式分解打下基础，使学生在充分的交流、探索过程中获得新知识体系，实现从旧知识到新知识的自然过渡. 鼓励学生交流合作，引导学生根据乘法公式的形式，思考满足公式法的结构特征.在学生交流、思考的过程中，加深了对公式的理解，以便更好的运用公式解题. 公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. （1）（2）均可化为a²±2ab+b²的形式，应用完全平方公式. （3）（4）均可化为a²-b²的形式，应用平方差公式. （1）（2）两题都是先提取公因式，然后再用平方差（或完全平方）公式分解因式.也就是提公因式法与公式法可以同时使用. （1）用了两次平方差公式；（2）先用完全平方公式再用平方差公式分解因式. 通过练习让学生进一步理解用公式法分解因式. 在与x2－y2，x±y有关的求值问题中，通常先因式分解，再整体代入或联立方程组求值. 把（x-y）看作整体，提取公因式，注意符号. 板书设计 教后反思 本节课学习了利用公式法进行因式分解，通过独立思考，小组合作交流等方法，归纳出适用公式法进行因式分解的多项式特点以及运用公式法进行因式分解的一般步骤，通过例题与练习，巩固相关知识，同时充分发挥学生的主体作用，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的数学学习兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$