9.3 第2课时 分式方程的应用-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

9.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 课题 分式方程的应用 课型 新授课 教学内容 教材第118页的内容 教学目标 1.会列分式方程解决实际问题. 2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理． 3.通过分式方程的应用的学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问题与解决问题的能力. 教学重难点 教学重点：理解实际问题，设合适的未知数，列分式方程解决实际问题. 教学难点：正确找出实际问题中的等量关系，列分式方程解决实际问题． 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习 （老师提问，引导学生集体回答，复习旧知） 老师：解分式方程的基本思路是什么？ 学生：把分式方程去分母，转化为整式方程再求解. 老师：说一下解分式方程的步骤. 学生：①去分母化为整式方程，②解整式方程，③检验整式方程的根，④写出答案. 老师：你们是怎么验根的？ 学生：把整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，看公分母的值是否为零，若不为零，则是分式方程的根，若为零，则是增根，原分式方程无解. 老师提问：我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？ 学生1：行程问题：路程 = 速度×时间. 学生2：工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率. 学生3：销售利润问题：批发成本 = 批发数量×批发价； 销售利润=销售收入－成本；利润率 = 利润÷进价（或成本）. 学生4：数字问题：两位数ab可以表示为10a+b. 学生5：…… 老师：知道了这些实际问题相关的关系式，接下来我们学习分式方程的应用，就可以根据关系式列分式方程. 2.创设情景，归纳知识 老师：我们首先看一下教材中例2，虽然看上去是一道分式方程的应用问题，实质上是解分式方程. 【教材例题】 例2 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：=+.若已知R1，R2，求R. 解:方程两边同乘以R1R2R，得 R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R（R1+R2）. 因为，R2都是正数，所以R1+R2≠0. 两边同除以（R1+R2），得R=. 老师：通过上面这个题目，我们知道，像物理中的一些公式可以利用解分式方程的方法进行变形，这说明了分式方程的重要性. 接下来我们看一下分式方程的应用问题.同样借助例题讲解. 例3 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知甲班每天比乙班多种10棵树，如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 老师：仿照上节课初学分式方程时的分析，同学们自己分析一下题意. （交流讨论） 学生：设乙班每天植树x棵，那么甲班每天植树（x+10）棵，列表格分析： 班级 植树任务 每天植树量 植树天数 七（1） 150棵 （）棵 天 七（2） 120棵 棵 天 老师：同学列表格分析的很清楚，那么根据题目要求“两班同时完成任务”，可以列方程（学生集体回答，老师板书） 老师：找一位同学按照上节课解分式方程的步骤解这个方程. 学生：方程两边同时乘以，得， 解这个方程，得. 检验：是原方程的根. 此时. 因而，当七（2）每天植树40棵，七（1）每天植树50棵时，两个班能同时完成任务. 老师：很好，解决实际问题的题目，最后要记得加上“结论”. 老师：根据解决上面这个题，同学们能总结出列分式方程解应用题的一般过程吗？ 学生：首先设未知数，然后列方程，解方程，再检验，最后作答. 老师：很好，接下来我们一起梳理一下.（师生互动） 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意； 答：写出答案. 3.学以致用，应用新知 考点 分式方程的应用 【例1】行程问题 甲、乙两火车站相距1 200 km，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3倍，从甲站到乙站的时间缩短了10小时，求列车提速后的速度． 解：设列车提速前的速度为x km/h. 由题意，得10，解得x＝80. 检验：x＝80是原分式方程的解， 此时3=3×80＝240. 答：列车提速后的速度是240 km/h． 【例2】 工程问题 安徽省某市计划建一个绿色休息区，若甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3天才能完成．现甲、乙两队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，4天后完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少天？ 解：设甲队单独完成需要x天，则乙队需要(x＋3)天． 由题意，得＝1，解得x＝6. 检验：x＝6是方程的解． 此时x＋3＝9. 答：甲队单独完成全部工程需6天，乙队单独完成全部工程需9天． 【例3】销售购物问题 小明和同学去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比文学书少1本.这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 解:设文学书的价格是本x元/本，则科普书1.5x元/本. 根据题意，得1，解得x = 5. 检验：x = 5是所列方程的根. 此时1.5x=1.5×5=7.5. 答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元. 【例4】销售盈亏问题 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的数量比第一次多20 kg，以每千克9元售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意，得－＝20，解得x＝6. 检验：x＝6是原方程的解． 答：第一次水果的进价是每千克6元. （2）第一次购买水果1200÷6＝200（kg）． 第二次购买水果200＋20＝220（kg）． 第一次赚钱为200×（8－6）＝400（元）， 第二次赚钱为100×(9－6.6）＋120×(9×0.5－6.6）＝－12（元）． 所以两次共赚钱400－12＝388（元）． 答：该果品店在这两次销售中，总体上赚钱了,共赚了388元． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格. 解：设去年用水的价格为元/m3，则今年的水价为元/m3.由题意，得，解得=1.5. 检验：x=1.5是所列方程的根. 此时 答：该市今年居民用水的价格为2元/m3. （2）甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵所用的时间相等，问：甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵，根据题意，得.解这个方程，得x＝20. 检验：＝20是原方程的根． 此时+2＝20+2＝22． 所以甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树． （3）甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．求甲、乙每小时各做多少个零件． 解：设甲每小时做个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件． 根据题意，得，解得x＝15． 检验：x＝15是原方程的解． 此时35－=20. 答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件． 5.课堂小结，自我完善 列分式方程解应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意； 答：写出答案. 6.布置作业 课本P119练习第2-3题，P119习题9.3第5、6题. 带领学生回顾旧知，鼓励学生独立思考，积极回答，为下面分式方程的应用做计算基础. 以提问的形式，使学生回顾以前学过的应用类型. 这是一个应用解分式方程的方法进行物理学公式的变形问题，其主要目的是加强学科的融合与联系，为其他学科中公式的变形作准备. 以学生常见的植树问题为背景，方便学生理解. 鼓励学生交流合作，初学阶段列表格分析问题，可以降低学生思考难度，有利于学生正确找到问题中的等量关系. 引导学生根据解决问题的过程总结解决实际问题的一般步骤，培养学生归纳、总结能力. 通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性,以及回顾实际问题的几种模型. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结让学生进一步熟悉、巩固本节课所学的知识. 板书设计 教后反思 本节课分式方程的应用，教学中要充分调动学生学习的积极性，使学生自主学习、探索，采用提问引导、小组合作探究以及讲练相结合的教学方式．通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$