8.3 第2课时 平方差公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.3 完全平方公式和平方差公式 第2课时 平方差公式 课题 平方差公式 课型 新授课 教学内容 教材第76-78页的内容 教学目标 1. 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力. 2. 能推导平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b². 3. 了解平方差公式的几何背景，能应用公式计算. 教学重难点 教学重点：体会平方差公式的发现和推导过程，能运用公式进行简单的计算. 教学难点：探索平方差公式，并能用几何图形解释公式. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，探索新知 老师：我们一起复习上节课学习的多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 计算：(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2.创设情境，引入课题 有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的正方形土地租给王大爷种植.有一年他对王大爷说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”王大爷一听觉得没有吃亏,就答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了,邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷非常吃惊,同学们,王大爷有没有吃亏？你能告诉王大爷这是为什么吗? 3.探索新知，归纳知识 老师：请同学们利用多项式乘法法则，计算一下现在这块地的面积与原来是否相等？ 学生：(x+5)(x-5)=x²-5x+5x-5²=x²-25， 显然现在这块地的面积比原来地的面积小了. 老师：利用多项式乘法计算下面两个题. (1)(3m+1)(3m-1);　　　 (2)(x+2y)(x-2y). 学生1：(1)(3m+1)(3m-1)=3m·3m-3m+3m-1=9m²-1 学生2：(2)(x+2y)(x-2y)=x·x-x·2y+2y·x-2y·2y=x2-4y2 老师：以上几位学生利用多项式乘法做的计算都很正确，我们观察一下上面几个式子，大家能发现什么规律吗？ （师生互动，教师引导，学生交流） 发现：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 用字母表示为：(a+b)(a-b)=a²-b² 这个公式称为平方差公式. 老师：上节课我们学习了完全平方公式的图形解释，那么平方差公式有图形解释吗？（同学们小组讨论，交流合作） 1组学生：我们在一个边长为a的大正方形纸上减去一个边长为b的小正方形，然后把剩余部分分割成两个小长方形，再由这两个小长方形拼成一个大长方形，得到公式： a²-b²=(a+b)(a-b) 2组学生：在1组同学基础上，我们把剩余部分分割成两个小梯形，再由这两个小梯形拼成一个大长方形，得到公式： a²-b²=(a+b)(a-b) 3组学生：我们也是把剩余部分分割成两个小梯形，再由这两个小梯形拼成一个大梯形，得到公式： a²-b²=(a+b)(a-b) 老师：以上几组同学设计的图形都很正确，还有其他组有不一样的方法吗？ …… 老师：同学们分析的很好，经过几何解释，相信同学们对完全平方公式也比较理解了，下面我们利用公式计算一下例题. 【教材例题】 例3 利用乘法公式计算: （1）(-x+3)(-x-3)； （2）1 999×2 001. 老师：我们发现，（1）中不是平方差公式的形式，应该怎么计算呢？（2）的式子很复杂，能应用平方差公式吗？ 解：(1)(-x+3)(-x-3)=(-x)2-3² =x2-9. (2)1 999×2 001 =(2 000-1)×(2 000+1) =2 0002-12=3 999 999. 例4 计算: （1）(a+b+c)²； （2）(a-b)³. 解：（1）(a+b+c)²= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a 2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. （2）(a-b)³= (a-b)(a-b)²= (a-b)( a2－2ab + b2) = a³－2a2b+ab2－a2b+2ab²－b3 =a³－3a2b+3ab²－b3. 例5 利用乘法公式计算:(x +y +z)(x-y +z). 解: (x +y +z)(x-y +z) =[(x +z) +y][(x+z) -y] =(x +z)2-y2 =x2 +2xz+z2 -y2. 4.学以致用，应用新知 考点1 直接应用平方差公式进行计算 【例1】计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52 ＝9x2－25； (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 考点2 应用平方差公式进行简便运算 【例2】(1)20×19； (2)13.2×12.8. 解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2) ＝169－0.04＝168.96. 5.随堂训练，巩固新知 （1）判断下列各题能否用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算？ ①(20-5)(20+5) 能 ②（2x-2y）(2x+2y) 能 ③（-m+n）(-m+n) 不能 ④（a+2b）(2a-b) 不能 ⑤[(x+z)+2y][(x+z-2y)] 能 （2）已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 答案：B （3）①a²(a+b)(a-b)+a²b²； ②(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3). 解：①原式=a²(a²-b²)+a²b²=a4-a²b²+a²b²=a4. ②原式=(2x)²-25-(4x²-6x)=4x²-25-4x²+6x=6x-25. （4）先化简，再求值： (2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 6.课堂小结，自我完善 平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 用字母表示为：(a+b)(a-b)=a²-b². 7.布置作业 课本P77练习第1、2题，P78练习第1、2题，P78习题8.3第2-4题. 复习多项式乘法，为接下里推导乘法公式提供工具. 通过小故事引入课题，激发学生探索新知识的兴趣. 利用多项式乘法推导平方差公式，并初步利用平方差公式解决问题. 公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式. 如果学生独立解答有困难，教师可在学生操作过程中给出帮助，可以引导学生逆向观察公式，考虑a²和b²如何给出图形解释. 引导学生独立设计图形，通过面积割补的方法验证平方差公式. 渗透数形结合思想，让学生形象直观地感受平方差公式，培养数形结合思想. 设计本题是让学生体会恒等变形应用乘法公式， 本例题的设计，是从不同角度应用乘法公式，目的是巩固一次式与二次式相乘知识，并把“应用公式解题”的范围推广. 这样的训练，在于增加难度坡度，培养学生的发散思维能力. 板书设计 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 2. 平方差公式的特点 (1)左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b和-b)互为相反数. (2)右边是乘式中两项(a和b)的平方差. (3)公式中的a和b可以是单项式也可以是多项式. 教后反思 本节课从直接应用多项式乘法法则得到平方差公式引入新课,到学生合作交流，有效地突破本节课的教学难点,培养学生归纳总结和数形结合等数学思想. 随着新课的进行，问题的提出,学生在教师的引导下充分经历计算、观察、归纳、合作、反思、发现问题并解答问题等过程,积极地参与到教学中,真正成为学习的主人;通过从一般到特殊、数形结合等思维活动,不断激起学生的“兴奋点”、不断掀起“小高潮”,较好地发挥了教师是学生学习“促进者”的作用.教案设计简约,给学生掌握和应用平方差公式提供了足够的时间和空间. 学科网（北京）股份有限公司 $$