8.3 第1课时 完全平方公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.3 完全平方公式和平方差公式 第1课时 完全平方公式 课题 完全平方公式 课型 新授课 教学内容 教材第74-76页的内容 教学目标 1.经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力. 2.能推导完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b². 3.了解完全平方公式的几何背景，能应用公式计算. 教学重难点 教学重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，能运用公式进行简单的计算. 教学难点：从广泛意义上理解公式中字母的含义，判断要计算的代数式是哪项的和（或差）的平方. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，探索新知 老师：我们一起复习上节课学习的多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 计算：(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2.创设情境，引入课题 将一块边长为 a 的正方形菜地的边长增加 b ，求扩大后的菜地的面积. （师生互动）根据前面的学习，遇到图形面积的问题，我们可以先画图分析，如下： （学生分组交流，老师提问） 老师提问：观察图②，扩大后的菜地的边长为多少？面积怎么表示？ 学生：边长为（a+b），面积可以表示为（a+b）². 老师继续提问：显然上图中图③是由图②分割所得，观察图③是由哪些图形组成的呢？面积分别是多少？大正方形的面怎样表示？ 学生：图③中有一大一小两个正方形，边长分别为a,b，面积分别为a²，b²；还有两个完全一样的长方形，它们的长是a，宽是b，面积都是ab. 所以大正方形的面积可以表示为a²+b²+2ab. 老师：结合图③大正方形面积的两种表示，判断(a+b)²与a²+b²+2ab是否相等. 接下来让我们一起探究一下. 3.探索新知，归纳知识 老师：首先利用多项式乘法法则，计算一下(a+b)²和(a-b)². 学生1：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b² 学生2：(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b² 老师：把(a-b)2=a2-2ab+b2改写成[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2，观察上面两个式子，你能发现什么规律？ 学生：两个数和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍. （老师总结） (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 上面两个式子今后可以直接用于计算，称为完全平方公式. 用语言叙述是：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍． 注意：公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式. 下面我们一起探究一下完全平方公式的几何表示. 老师：从本节课引入的情景，可以知道 (a+b)²=a²+2ab+b² 请同学们，仿照上面的图示，用几何图形解释(a-b)². 学生：同样用正方形的面积. 把一个边长为a 的正方形，边长减少b，求得到的新正方形的面积.如下图： (a-b)²=a²-2ab+b² 老师：同学们分析的很好，经过几何解释，相信同学们对完全平方公式也比较理解了，下面我们利用公式计算一下例题. 【教材例题】 例1 利用乘法公式计算: （1）（2x+y）²； （2）（3a-2b）². 老师：运用公式计算，要先识别a,b在具体式子中分别表示什么. 解： (1)（2x+y）²=(2x)²+2·(2x)y+y² (a + b)² = a² + 2 a b + b² =4x²+4xy+y². 请同学们用同样的方法，计算（2）. (2)（3a-2b)²=(3a)²-2·(3a)(2b)+(2b)² (a - b)² = a² - 2 a b + b² =9a²-12ab+4b². 例2 利用乘法公式计算:（-m-2n）2. 解：（-m-2n）2 =[-（m+2n）]2 =（m+2n）2 =m2+4mn+4n2. 4.学以致用，应用新知 考点1 直接运用完全平方公式进行计算 【例1】计算： (1)(5+a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解：(1)(5+a)2＝25+10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝(3m+4n)2=9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝(3a－b)2=9a2－6ab＋b2. 考点2 构造完全平方式 【例2】 若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为(　　) A.11或-7 B.13或-7 C.11或-5 D.13或-5 解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的形式. 若x2+(m-3)x+4²是完全平方式， 则(m-3)x=2×x×4=8x,所以m=11; 若x2+(m-3)x+(-4)²是完全平方式， 则(m-3)x=2×x×(-4)=-8x,所以m=-5. 因此，m的值可能为11或-5. 考点3 运用完全平方公式进行简便计算 【例3】 (1)1022;　　　 　(2)1972. 解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22 =10 000+400+4=10 404. (2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32 =40 000-1 200+9=38 809. 5.随堂训练，巩固新知 （1）下列变形中，错误的是(　　) ①(b－4c)2＝b2－16c2； ②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2； ③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2； ④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案：A （2）已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　　) A．24　 B．48　 C．12　 D．5 答案：C （3）（河北中考）现有甲、乙、丙三种不同的正方形和长方形纸片(边长如图)． ①取甲、乙纸片各1块，其面积和为________； ②嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片________块． 答案：①a²+b² ②4 (4)用完全平方公式计算: ①205²； ②46². 解：①原式=(200+5)² =200²+2×200×5+25 =40 000+2 000+25 =42 250. ②原式=(50-4)²=50²-2×50×4+16 =2 500-400+16=2 416. 6.课堂小结，自我完善 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于这个两个数的平方和加(或减)这两个数的乘积的2倍. 用字母表示为：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b². 7.布置作业 课本P76练习第1-2题，P71习题8.3第1、7、8题. 复习多项式乘法，为接下里推导乘法公式提供工具. 联系实际生活，渗透数形结合思想，让学生形象直观的感受两数和的完全平方公式的构成，加深对乘法公式的理解. 教学中以提问的方式，循序渐进引导学生利用图形探究完全平方公式. 利用多项式乘法推导公式，使学生了解“两数和”与“两数差”的完全平方公式从本质上看是统一的，经历从一般到特殊的认识过程. 在以后遇到相同形式的多项式相乘时，可以套用公式直接写出结果. 引导学生独立设计图形，通过面积割补的方法验证完全平方公式. 渗透数形结合思想，让学生形象直观的感受两数差的完全平方公式. 本题采用对比的方式，分步演示计算过程，比较直观的指出公式中字母a,b分别表示什么，明确字母意义的广泛性，有利于学生掌握和应用. 设计（2）（3），目的是引导学生探索问题的恒等变形. 这样的训练，在于增加难度坡度，培养学生的发散思维能力. 利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算． 巧记： 首平方， 尾平方， 积的2倍在中央. 板书设计 教后反思 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误： (a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2. 为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆. 学科网（北京）股份有限公司 $$