8.2.3 多项式乘多项式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.2 整式乘法 8.2.3 多项式与多项式相乘 课题 多项式与多项式相乘 课型 新授课 教学内容 教材第69-71页的内容 教学目标 1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算. 2.会利用多项式与多项式相乘的法则进行乘法运算，并能解决实际问题. 教学重难点 教学重点：理解多项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算. 教学难点：能够熟练运用多项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题． 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知 老师提问：如何进行单项式与多项式乘法的运算？ 学生：将单项式分别乘多项式的各项，然后把所得的积相加. 老师：根据上面回顾的单项式与多项式相乘的法则，计算下面各题. （1）（a+b）P； （2）（x²-3x+1）x. 解：（1）（a+b）P=aP+bP； （2）（x²-3x+1）x=x³-3x²+x. 老师：如果上面的（1）题中P=m+n，那么（a+b）P怎么计算？ 学生：直接把P=m+n代入. 老师板书： （a+b）P = aP + bP (a+b)(m+n) = a（m+n） + b（m+n） =am+an+bm+bn (a+b)(m+n) 相当于是两个多项式相乘，接下来我们来探索一下这两个多项式相乘的运算法则. 2.创设情境，引入课题 问题3 一块长方形的菜地，长为a，宽为m.现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积. 老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题. 根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法： （学生分组交流，老师提问） 根据上面画出的图形，我们可以看出原来的菜地是①号地，把扩大后增加的分为三小块，分别是②③④号地. 学生1：根据图形，知扩大后菜地的长为（a+b） ，宽为 m+n ， 所以它的面积为 (a+b)(m+n) . 学生2：根据图形，我们可以分别求出四小块地的面积： ①号地： am ；②号地： bm ；③号地： an ；④号地： bn. 所以扩大后菜地的面积为 am+bm+an+bn . 老师总结：以上两位同学所列式子都是表示扩大后菜地的面积，所以我们可以得到: (a+b)(m+n) =am+bm+an+bn . 老师提问：对于上面的运算，如果我们不借助图形，可以怎么计算？ 学生：我们可以把（a+b）或者（m+n）看作一个整体，运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则进行计算. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) =am+bm+an+bn =am+bm+an+bn 3.探索新知，归纳知识 老师：根据上面同学们的计算过程，我们可以归纳出多项式与多项式的乘法法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 提醒学生：这两个多项式叫作所得积的因式. （为后面学习因式分解打下基础） 【教材例题】 例4 计算： (1)(-2x-1)(3x-2);　　　　 (2)(x+a)(x+b). 解：方法一（利用法则计算） （1）(-2x-1)(3x-2) =(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2) =-6x2+4x-3x+2=-6x2+x+2. （2）(x+a)(x+b) =x·x+x·b+a·x+a·b =x2+bx+ax+ab =x2+(b+a)x+ab. 方法二（利用整体思想计算） (1)(-2x-1)(3x-2) (2)(x+a)(x+b) =(-2x-1)·3x+(-2x-1)·(-2) =(x+a)·x+(x+a)·b =-6x2-3x+4x+2 =x2+ax+bx+ab =-6x2+x+2. =x2+(a+b)x+ab 例5 计算: (1)(a+b)(a2-ab+b2);　　　　 (2)(y2+y+1)(y+2). 解：(1)(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2=a3+b3. (2)(y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2=y3+3y2+3y+2. 4.学以致用，应用新知 考点1 直接利用多项式与多项式相乘的法则进行计算 【例1】计算：（1）(3x＋2)(x＋2)； （2）(4y－1)(5－y)． 解：（1）原式＝3x2＋6x＋2x＋4 ＝3x2＋8x＋4； （2）原式＝20y－4y2－5＋y ＝－4y2＋21y－5. 考点2 多项式与多项式相乘的化简求值 【例2】 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1. 解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b) ＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. 考点3 多项式与多项式相乘的实际应用 【例3】 小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形. （1）若设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积; （2）当x=5时，求这个盒子的体积. 解：（1）S阴影=(60-2x)(40-2x)=(4x2-200x+2 400)cm2. 所以阴影部分的面积为(4x2-200x+2 400)cm2. （2）这个盒子的体积为 V=S阴影x=(4x2-200x+2 400)x=(4x3-200x2+2 400x)cm3, 当x=5时，V=4×53-200×52+2 400×5=7 500(cm3). 所以这个盒子的体积为7 500 cm3. 考点4 多项式乘以多项式与方程的综合 【例4】 解方程:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)=3(x+4). 解：利用多项式乘法法则，得 (6x²-10x)-(6x²+8x-9x-12)=3x+12, 去括号，得6x²-10x-6x²-8x+9x+12=3x+12, 移项、合并同类项，得-12x=0, 系数化为1，得x=0. 5.随堂训练，巩固新知 （1）下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是(　　) A．(a-2)(a＋9) B．(a＋2)(a-9) C．(a＋3)(a-6)　　 D．(a-3)(a＋6) 答案：C （2）若P=（x-2)(x-3），Q=（x-1)(x-4），则P与Q的大小关系是（ ） A. P>Q B. P<Q C. P=Q D. 由x的取值而定 答案：A （3）小轩计算一道整式乘法的题：(2x＋m)(5x－4)，由于小轩将第一个多项式中的“＋m”抄成“－m”，得到的结果为10x2－33x＋20. ①求m的值； ②请计算出这道题的正确结果． 解：①由题知(2x－m)(5x－4) ＝10x2－8x－5mx＋4m ＝10x2－(8＋5m)x＋4m ＝10x2－33x＋20， 所以8＋5m＝33，4m＝20，解得m＝5.故m的值为5. ②(2x＋5)(5x－4)＝10x2-8x＋25x－20＝10x2＋17x－20. (4)千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？ 解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2 ＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2 ＝5a2＋3ab. 6.课堂小结，自我完善 多项式乘多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 7.布置作业 课本P71练习第1-3题，P71习题8.2第4、6-8题. 复习单项式与多项式的乘法法则，并做练习巩固，在此基础上探索多项式乘多项式的运算法则. 这里渗透了整体代入思想，两次使用多项式与单项式的乘法法则. 以计算长方形菜地的面积为背景引入多项式乘多项式，教学中鼓励学生遇到关于图形的问题画图分析. 教学中让学生独立探索，在思考交流的过程中体会方法的多样性. 这里应用了整体思想，它是换元方法的核心，是数学中常用的思维方法. 教学中重要的是让学生理解运算法则及其探索过程，体会利用整体思想和转化思想，结合乘法分配律，把多项式乘多项式转化为单项式乘多项式. 给学生留充足探索的空间，不管学生用何种方法解决此题，只要有道理都应给予肯定，鼓励学生算法多样化，另外提醒学生注意一下几点： ①不要漏乘； ②在结果没有合并同类项之前，积的项数应是两个多项式项数之积； ③计算时注意多项式中每一项的符号； ④最终写最简结果. 板书设计 整式乘法的有关运算全部放在一起，学生对比理解. 教后反思 本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础. 学完本节课，关于整式的乘法就全部学完，教学中引导学生理解运算法则，切勿死记硬背. 学科网（北京）股份有限公司 $$