8.2.2 单项式与多项式相乘-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.2 整式乘法 8.2.2 单项式与多项式相乘 课题 单项式与多项式相乘 课型 新授课 教学内容 教材第67-68页的内容 教学目标 1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则. 2.掌握单项式与多项式相乘的法则，并会利用法则进行乘法运算. 教学重难点 教学重点：理解单项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算. 教学难点：能够熟练运用单项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题． 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知 同底数幂的乘法——am·an = am+n（m,n为正整数) 幂的乘方——(am)n = amn（m,n为正整数) 积的乘方——(ab)n = anbn（n为正整数) 单项式乘单项式——把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 乘法分配律——a(b+c)=ab+ac 2.创设情境，引入课题 问题2 一个施工队修筑一条路面宽为n m的公路，第一天修筑a m长，第二天修筑b m长，第三天修筑c m长，3天共修筑路面的面积是多少？ 老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题. 根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法： （单位：m） （师生互动，老师引导，学生回答） 方法一：我们把三天修筑的面积看成三个小长方形，这三个小长方形的面积可以分别表示为：第一天 an m²；第二天： bn m²；第三天 cn m². 所以这三个小长方形的面积和为 （an+bn+cn） m². 方法二：如果我们把三天修筑的面积看成一个大长方形，那么这个大长方形的长为 （a+b+c） m，宽为 n m， 所以这个大长方形的面积为 （a+b+c）n m². 老师提问：因为这两种方法表示的图形一样，所以我们可以得到：（a+b+c）n =（an+bn+cn）. 事实上，因为上面代数式中的字母都表示数，因此，根据乘法分配律，可得到（a+b+c）n =（an+bn+cn）. 3.探索新知，归纳知识 老师：如果上面代数式中的每个字母都表示一个单项式，那么（a+b+c）就表示多项式，因此根据乘法分配律，可以把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘. 因此，可以得到单项式与多项式的乘法法则: 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 【特别注意】 单项式乘多项式的每一项时，要注意各项符号的确定. 【教材例题】 例3 计算： （1）(-2x)(x2-x+1); （2）a(a2+a)-a2(a-2). 解：（1）(-2x)(x2-x+1) =(-2x)·x2+(-2x)·(-x)+(-2x)·1 =-2x³+2x²-2x. （2）a(a2+a)-a2(a-2) =a·a²+a·a-a²·a+2a² =a³+a²-a³+2a² =3a². 3.学以致用，应用新知 考点1 直接利用单项式与多项式相乘的法则进行计算 【例1】（1）2ab(5ab2+3a2b)； (2)-5m2n(2n+3m-n2). 解：(1)原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b =10a²b³+6a³b². (2)原式=-5m2n·2n-5m2n·3m-5m2n·(-n2) =-10m2n²-15m³n+5m²n³. 考点2 利用单项式乘以多项式化简求值 【例2】 先化简，再求值： 5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当 a＝2 时，原式＝－82. 考点3 单项式与多项式相乘的实际应用 【例3】镇纸是中国古代传统工艺品，是指写字作画时用以压纸的东西，也称作镇尺、压尺. 某长方体形状的镇纸长为3a-4，宽为2a，高为2a，求它的体积. 解：它的体积为 (3a－4)·2a·2a=3a·2a·2a－4×2a·2a=12a³-16a². 4.随堂训练，巩固新知 （1）(2020兰州中考)化简：a(a-2)＋4a＝(　　) A．a2＋2a　 B．a2＋6a　 C．a2-6a　 D．a2＋4a-2 答案：A （2）（济宁金乡期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：-3x(-2x2+3x-1）=6x3-9x2+□.“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写( ) A. 1 B. -1 C. 3x D. -3x 答案：C （3）计算： ①(ab2－2ab)·ab； ②－2x·(x2y＋3y－1)． 解：①(ab2－2ab)·ab＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2. ②－2x·(x2y＋3y－1)＝－2x·x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1 ＝－x3y＋(－6xy)－(－2x) ＝－x3y－6xy＋2x. (4)一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米． ①求防洪堤坝的横断面积； ②如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解：①防洪堤坝的横断面积 S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab(平方米)． 故防洪堤坝的横断面积为(a2＋ab)平方米； ②防洪堤坝的体积 V＝Sh＝(a2＋ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)． 故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米． 5.课堂小结，自我完善 单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 6.布置作业 课本P69练习第1-3题，P71习题8.2第5题. 回顾幂的运算性质、单项式乘单项式，及乘法分配律，为学习单项式乘多项式奠定基础. 教材中以生活中常见的现象---施工队修筑路面为背景，通过求三天修筑的面积，引入单项式乘多项式. 老师引导学生运用不同的方式表示图形的面积（也可先让学生自主探索，表示出面积）. 通过对比两种不同方式得出的结果，引导学生结合乘法分配律说明等式成立的原因，体会乘法分配律的重要作用. 授课过程中，强调对乘法法则的理解，不要求学生背诵法则. 此处课堂练习，要求学生明确每一步运算的道理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化.渗透了转化思想. 本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简,然后再代值计算．整式的化简实际上就是去括号与合并同类项． 板书设计 教后反思 本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高自主学习能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$