8.1.3 第1课时 同底数幂的除法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

8.1 幂的运算 8.1.3 同底数幂的除法 第1课时 同底数幂的除法 课题 同底数幂的除法 课型 新授课 教学内容 教材第56-57页的内容 教学目标 1.理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法），能直接运用其进行计算. 2.掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题． 教学重难点 教学重点：理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法）. 教学难点：运用同底数幂的除法法则进行相关运算. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴? 老师：读完题目，我们可以列出怎样的算式呢？（提问学生） 学生：可以列式为1012÷109. 老师：这个式子应该怎么计算呢？ 请同学们讨论一下，类比同底数幂的乘法观察一下这个式子有什么特点，并计算一下？ （学生活动）这个式子和同底数幂的乘法类似，形式上只是把乘号换成了除号，两个底数都是10的幂相除. 所以1012÷109=（103×109）÷109=103. 老师：听到同学们的分析都很全面，我们给这个式子起个名字，把1012÷109这种运算称为同底数幂的除法. 带着这个问题，我们来探究：同底数幂的除法法则.并验证同学们的计算是否正确. 2.探索新知，归纳知识 老师：首先找两位同学，仿照前一节学习的同底数乘法法则及表格第一行，完成下面表格. （红色笔处是学生所填写，老师点评） 老师：大家填的都是正确的，下面请其中一位同学说明一下填写的依据. 学生：a4÷a2的运算过程，是依据幂的意义，例如，分子上把幂a4展开，写成4个a相乘的形式，分母上把幂a²展开，写成2个a相乘的形式，然后根据除法的意义，得到结果. 老师：观察上表，发现同底数幂相除有什么规律？ 学生：发现最终的结果还是幂的形式，底数和被除式（除式）的底数相同，指数等于前面两个幂的指数的差. 老师：这位同学总结的规律正确吗？接下来我们根据幂的意义及除法的意义来验证. 计算am÷an（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）. （师生互动）根据上面的运算，我们把指数换成字母，注意m＞n，我们一起写一下计算过程： =am-n. 老师：这时候我们发现，上一位同学总结的规律是正确的. 这样我们就得到了米的运算性质4： am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）. 用语言文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 老师：学习了同底数幂的除法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则. 【教材例题】 例6 计算： （1）a5÷a; （2）（-x）5÷（-x）2;（3）（ab）3÷ab； 老师：下面我们请三位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这三道题，其他同学在作业本上做. 学生1： （1）底数都是a，指数分别是5, 1，是同底数幂相除， a5÷a=a5-1=a4. 学生2： （2）底数都是（-x），指数分别是5, 2，是同底数幂相除， （-x）5÷（-x）2=（-x）5-2=（-x）3. 学生3： （3）底数都是ab，指数分别是3, 1，是同底数幂相除， （ab）3÷ab=（ab）3-1=（ab）2. 老师：三位同学做的很对，接下来我们来看一下第（4）小题. （4）（x-y）9÷（y-x）6. 老师：提醒一下，这种我们可以把（x-y）看作一个整体，然后进行计算.下面我们一起看一下这个题. （师生互动）不妨设t=x-y，则y-x=-t， 此时，原式=t9÷（-t）6=t9÷t6=t3， 所以（x-y）9÷（y-x）6=（x-y）3. 3.学以致用，应用新知 考点1 直接运用幂的运算性质4进行计算 【例1】 计算： (1)(－xy)13÷(－xy)8； (2)(x－2y)3÷(2y－x)2； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)． 解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中 (1)应把(－xy)看作一个整体； (2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)； (3)把(a2＋1)看作一个整体． 解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5； (2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)＝(a2＋1)6－4－1＝a2＋1. 考点2 逆用幂的运算性质4进行计算 【例2】已知am=8,an=5.求： （1）am－n的值； (2)a3m－3n的值. 解：(1)am－n=am÷an=8÷5 =1.6. (2)a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若a-4b-2=0,则3a÷81b等于( ) A. 9 B. C. 6 D. 答案:A （2）已知32·92x+1÷27x+1=81,求x的值. 解：因为32·92x+1÷27x+1=32·(3²)2x+1÷(3³)x+1 =32·34x+2÷33x+3 =32+4x+2-(3x+3) =3x+1=81=34, 所以x+1=4,解得x=3,所以x的值为3. （3）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？ 解：由题意，得106÷104=10²=100. 所以加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的100倍. 5.课堂小结，自我完善 幂的运算性质4： am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）. 6.布置作业 课本P58练习第1-3题，P62习题8.1第4、8题. 通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情. 教师鼓励学生根据幂的意义和除法的意义，独立探索计算. 鼓励学生自主探索，通过对具体数的计算，引导学生类比同底数幂的乘法，总结归纳出同底数幂的除法的运算性质，并运用幂的意义与除法的意义加以说明. 在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，提升归纳、符号演算等推理能力. 这里应让学生格外注意性质成立的条件：a≠0，m＞n，体会它的必要性. 这里把（x-y）看作一个整体，实际上渗透着“换元”的思想，对于这种不同底数的，要想办法换为相同底数，然后再进行计算. 计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算． 同底数幂的除法法则的逆用： am－n=am÷an 板书设计 教后反思 本节课引导学生观察、探究、类比、归纳幂的运算性质4（同底数幂的除法法则），过程中培养学生自主探索、合作交流的学习习惯.并且在初步学完练习时，要鼓励学生说明每一步的计算理由，而不是直接套用公式，进一步体会乘方和幂的意义. 学科网（北京）股份有限公司 $$