8.1.1 同底数幂的乘法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第8章 整式乘法与因式分解 单 元 备 课 第8章 本单元所需课时数 20课时 课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数. 2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）. 3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算. 4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）. 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系. 教材分析 本章是在学生掌握了有理数、整式的加减等知识之后进行安排的，其中最基本的内容是幂的运算性质，本章进行了集中安排，使学生进一步体会幂的意义，然后在此基础上，通过对乘法分配律的应用，探索出整式的乘除法及三个重要的乘法公式，最后介绍了最简单的因式分解的方法.这样的设计符合学生的认知规律，同时也加强了有关知识之间的内在联系. 主要内容 本章的主要内容是幂的运算、整式乘法、乘法公式与因式分解.8.1节“幂的运算”是本章最基本的内容，在此基础上进行下一节8.2节“整式乘法”的学习，之后利用整式乘法的法则推导出8.3节的“完全平方公式和平方差公式”，接下里学生继续探索8.3节的两个公式的逆用，引出8.4节“因式分解”. 教学目标 1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数. 2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）. 3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算. 4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）. 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系. 课时分配 8.1 幂的运算 6课时 8.2 整式乘法 5课时 8.3 完全平方公式与平方差公式 2课时 8.4 因式分解 3课时 8.5 综合与实践 纳米材料的奇异特性 2课时 数学活动 小结 2课时 教与学建议 1.教学中注重对幂的运算性质和整式乘除法则等探索过程进行评价. 2.教学过程中，积极引导学生对整式乘法与因式分解的互逆关系进行分析. 3.教学中必须要适当地提供一些必要的训练，使学生能准确地进行计算. 8.1 幂的运算 8.1.1 同底数幂的乘法 课题 同底数幂的乘法 课型 新授课 教学内容 教材第51-52页的内容 教学目标 1.理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法). 2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算. 3.经历探索同底数幂的乘法法则的过程,进一步体会幂的意义,提高推理能力和有条理的表达能力. 教学重难点 教学重点：理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法). 教学难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关运算. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，巩固旧知 老师：同学们，还记得什么叫幂吗？举例说明一下. 学生1：35就是幂. 学生2：8也是幂. 老师：是的，我们知道求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 老师：接下来我们一起探索一下有关幂的运算. 2.创设情境，引入课题 问题 中国设计并制造的“神威·太湖之光”是世界上首台峰值性能超过每秒10亿亿次的超级计算机.峰值运算性能高达1.25×1017次/s，它工作1 h(3.6×10³s)可进行多少次运算？ 老师：根据以前学过的知识，我们可以列出算式 （1.25×1017）×（3.6×10³）. 老师提问：如何简洁地把结果表示出来呢？ 学生甲：首先还原用科学记数法表示的数，然后相乘，最后把结果写成科学记数法的形式. 老师：这样确实可以得到结果，但是过程比较繁琐，且容易出错. 老师：我们观察这个算式，可以发现，两个括号中的幂的底数都是10，也就是同底数幂，所以本节课我们就来研究同底数幂的乘法. 3.探索新知，归纳知识 老师提问：哪位同学能用式子说明一下乘方的意义? 学生乙： 老师继续提问：（2×2）×（2×2×2）可以记作什么？ 学生丙：可以记作25. 老师：大家现在把教材P51思考里表格第2行填一下. 学生1板书：（10×10×10）×（10×10×10×10） 107 老师：书写正确，那如果把数字换为字母a是否也可以这样做呢？同学们可以回顾一下乘方的意义. （请2位同学板书填一下表格第3、4行） 学生2：（a·a）·（a·a·a） a5 学生3：（a·a·a·a）·（a·a·a·a·a） a9 老师：几位同学填的都很正确，我们来观察一下这个表格，同学们能发现什么规律？ 同学们先分组讨论，然后找两个小组代表说一下. 1组学生代表：我们发现这几个算式都是同底数幂的数相乘，并且它们的结果的幂的底数也和前面乘数的幂的底数相同. 4组学生代表：我们发现最终的结果，幂的指数是前面相乘的两个幂的指数和. 老师：同学们能自主发现规律，值得表扬.那么1组和4组同学发现的规律是否正确呢？是不是巧合，我们来验证一下. 老师：请同学再以小组为单位，计算一下am·an的值.（讨论过后请3、6组学生代表上讲台在黑板上计算） 3组学生代表：…… 6组学生代表：…… 老师：上面两位同学给出的答案都正确.我们来看一下每一步计算的意义. 一般地，如果字母m,n都是正整数，那么 老师：只有理解了计算的依据，才算是真正学会了计算. （师生互动）由此得幂的运算性质1： am·an=am+n（m、n都是正整数）. 老师：请同学们用语言表示这条性质. 学生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 老师：学习了同底数幂的乘法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则. 【教材例题】 例1 计算： 老师：下面我们请两位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这两道题，其他同学在作业本上做. 学生1： 学生2： 老师：两位同学做的很对，接下来我们来看一下第（3）小题.（3）a²·a³·a6； （4）(-y)3·y4. 老师：对于这种含有三个式子的，该怎样计算呢？同学们可类比乘法结合律，分步计算，然后总结规律. 学生3：a²·a³·a6=（a²·a³）·a6=a2+3·a6=a2+3+6=a11. 老师：根据这位同学的解答，我们可以总结：am·an·ap=am+n+p. 接了下来我们一起看一下第（4）题. （师生互动）(-y)3·y4=-y3·y4=-y3+4=-y7. 4.学以致用，应用新知 考点1 底数为单项式的同底数幂的乘法 【例1】计算：(1)23×24×2； (2)－a3·(－a)2·(－a)3； (3)mn＋1·mn·m2·m. 解：(1)原式＝23＋4＋1＝28； (2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8； (3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4. 考点2 底数为多项式的同底数幂的乘法 【例2】计算：(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3· 解：原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n. 考点3 同底数幂的乘法法则的逆用 【例3】 已知am＝3，an＝21，求am＋n的值． 解析：把am＋n变成am·an，代入求值即可． 解：因为am＝3，an＝21，所以am＋n＝am·an＝3×21＝63. 5.随堂训练，巩固新知 （1）计算（a-2b）2n·（b-a）·（a-b）m-1的结果是（ ） 答案:B （2）已知 an－3 ·a2n+1 = a10（a≠0，且 a≠±1），求 n 的值. 解：由题意，知n-3+2n+1=10，解得n=4. （3）已知 xa= ，xb=3，求xa+b的值. 解：xa+b=xa·xb=2×3=6. （4）已知我国平均每平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国山东省约15.58万平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的能量？ 6.课堂小结，自我完善 幂的运算性质1： am·an=am+n（m、n都是正整数）. 7.布置作业 课本P52练习第1-2题，P62习题8.1第1题. 在复习的基础上，引导学生通过具体数字的同底数幂的乘法的运算，经过观察、概括、归纳推理，培养学生养成合作交流与自主探索的学习习惯. 通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情. 通过提问的形式，让学生自主观察、思考，引导学生积极交流、归纳总结， 从观察、思考到探究的过程，要给学生留一定的时间和空间，让他们自主探索交流. 让学生动手做一做，主动探究，在自己实践中获得对同底数幂的乘法的感性认识，进而在教师的引导下，通过合作交流，思维碰撞，实线“再创造”的过程，形成新的知识结构，发展了思维能力. 幂的基本性质1是最基本的性质，课堂中要提醒学生对比记忆，幂的加法要求底数相同，指数也要相同. 以提问的形式讲解例题，让学生先明确底数和指数分别是什么，再观察是不是同底数幂相乘，然后套用性质进行计算. 对三个或三个以上因式的同底数幂相乘，可引导学生逐层或类比进行计算. 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1. 逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am×an. 板书设计 教后反思 本节课引导学生观察、探究、归纳幂的运算性质1（同底数幂的乘法法则），在观察时能体现出学生观察的角度的差异，这时老师需要多鼓励学生，对学生的各种观察结果尽心指导，培养学生自主探索、合作交流的学习习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $$