7.1 不等式及其基本性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第7章 一元一次不等式与不等式组 单 元 备 课 第7章 本单元所需课时数 10课时 课标要求 1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型思想，建立符号意识. 2结合具体问题，了解不等式的意义. 3.探索并掌握不等式的基本性质. 4.理解不等式（组）的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集;会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集. 5.通过用数轴表示不等式(组）的解的过程，发展几何直观. 6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理，发展应用意识. 7.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别. 8.进一步感受数学和生活的联系，体会数学的价值. 教材分析 本章是在学生掌握了有理数的大小比较、等式及其性质、一元一次方程和方程组等知识的基础上进行的.不等式的概念和性质、一元一次不等式及不等式组是最基本的内容,对它的学习可为后续不等式知识的学习打下基础. 主要内容 本章的主要内容是不等式及其基本性质、一元一次不等式（组）、解一元一次不等式(组).7.1节“不等式及其基本性质”主要是通过解决实际问题，引入不等关系，然后探究不等式及其基本性质，7.2节“一元一次不等式”主要是学习一元一次不等式的概念及其解法，再根据实际问题中约束条件的增加，引出7.3节“一元一次不等式组”. 教学目标 1.了解不等式的意义;理解不等式的解和解集的意义. 2．探索不等式的基本性质;能运用不等式的基本性质探究一元一次不等式的解法. 3.掌握一元一次不等式的解法;会用数轴确定不等式的解集,并能体会解法中蕴含的化归思想. 4.了解一元一次不等式组及其解集;会解一元一次不等式组；会用数轴求出不等式组的解集;了解数形结合的方法. 5.经历“问题情景—数学建模—问题解决”的学习过程,感受数学的应用价值;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题. 课时分配 7.1 不等式及其基本性质 2课时 7.2 一元一次不等式 3课时 7.3 一元一次不等式组 2课时 7.4 综合与实践 排队问题 1课时 数学活动 小结 2课时 教与学建议 1.教学中始终关注学生活动的整个过程，关注学生参与教学活动的积极性、思维特质和动手能力. 2.教学中应通过平时练习、测验或口头提问等多侧面了解学生对基础知识的理解与掌握. 3.教学中引导学生有效地从实际问题中建立数学模型，求出符合实际的解. 7.1 不等式及其基本性质 课题 不等式及其基本性质 课型 新授课 教学内容 教材第27-31页的内容 教学目标 1.熟练掌握常见不等号的读法和意义. 2.理解并掌握不等式的概念，会用不等式表示数量之间的不等关系. 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质解不等式. 4.通过观察、思考、探究、交流的学习过程，体会数学发现的乐趣. 教学重难点 教学重点：理解并掌握不等式的概念及其基本性质. 教学难点：理解不等式的基本性质，正确分析实际问题中的不等关系，并能用不等式表示. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题1】用适当的式子表示下列关系： （1）a与b的差是负数； （2）x的5倍与1的差小于x的3倍； （3）2x与3的和不大于5. （师生活动）老师引导学生复习学习过的不等关系、实数的大小比较、代数式等知识，写出本题答案. 老师提问式分析，学生口答： （1）a与b的差表示为_____,它是负数，可以表示为_____.（2）x的5倍与1的差表示为_____,x的3倍表示为_____,它们之间的关系表示为_______； （3）2x与3的和表示为_______，它不大于5，表示为______. 答案：（1）a-b，a-b＜0；（2）5x-1，3x，5x-1＜3x； （3）2x+3，2x+3≤5. 【问题2】闪电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高. 设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是_______________. 老师提问：该问题中，闪电的温度与太阳表面温度之间是怎样的关系？ 老师追问：它们的关系用数学语言怎样表示呢？ 学生分组讨论，最后老师提问学生回答. 老师总结：闪电的温度比太阳表面温度的4.5倍还高. 也就是：闪电的温度＞太阳表面温度×4.5 用数学语言表示：28 000＞4.5t 【问题3】某种药品每片为0.25 g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25 g(包括0.75 g和2.25 g)，分3次服用”.设某人一次服用x 片，那么x应满足的关系式是________________. （师生活动）学生分组分析问题中存在的数量关系，探究x满足的条件. 老师提问：说明书上的用量0.75~2.25 g，转化为片数，应该是____~____片，从而得到x满足的关系式为___________. 【归纳总结】 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫作不等式. 【思考】 1.判断下列给出的数中哪些能使不等式200+1.8x＞245成立：30.5，24.5，25.5，22，10. 学生计算后回答：30.5,25.5可以使不等式成立. 2.你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？能找到多少个？ 学生回答：当x取27时，代入原不等式左边，得200+1.8×27=248.6， 248.6＞245，原不等式成立； 当x取28时，代入原不等式左边，得200+1.8×28=250.4， 250.4＞245，原不等式成立； 可以找到无数个数使不等式成立. （老师总结）一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集. 所以说，当未知数在这个范围内取值时,不等式能成立;当未知数在这个范围之外取值时,不等式不能成立. 老师提问：有哪位同学能说一下不等式的解与不等式的解集的区别与联系. 学生1：不等式的解是满足不等式的一个解，不等式的解集是满足不等式的所有的解； 学生2：不等式的解集里包含不等式的解. 老师总结： 老师提问：那么我们应该怎么找到这个范围呢？ 学生回答：解这个不等式就行了. 2.探索新知，归纳知识 【回顾复习】等式的基本性质 （师生活动）老师引导学生回答，老师板书 等式的基本性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立. 如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的基本性质2：等式的两边都乘（或除以）一个不为 0 的数，等式仍然成立. 如果a=b，那么ac=bc,，c≠0. 【探索新知】不等式具有怎样的性质？ 老师展示教材P29观察中图7-2，并提出下列问题： 问题1：根据图中左侧天平，可以直观得到关系式________. （a＞b或b＜a） 问题2：如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平的倾斜方向会改变吗？（不改变） 这时可以得到的数量关系是__________. （a+c＞b+c或b+c＜a+c） 问题3：如果在两端托盘中同时减去质量为c的物体，天平的倾斜方向会改变吗？（不改变） 这时可以得到的数量关系是__________. （a-c＞b-c或b-c＜a-c） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果 a＞b，那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c. 【思考】对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？ 老师举例分析：在上面的天平中，左侧托盘中增加一个质量为a的物体，右侧托盘中增加一个质量为b的物体，此时左侧质量为2a，右侧质量为2b，显然天平的倾斜方向不改变，也就是2a＞2b. （学生举例分析，缩小为原来的时的情况） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 2 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc，. 【探究】不等式的基本性质3 问题1：如果a＞b，那么它们的相反数-a与-b哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？ 已知a,b在数轴上的位置如图所示，找出-a,-b的位置，并比较大小.（请学生上台找出来，并比较大小） -a______-b 【问题2】根据问题1，我们知道，如果a＞b，那么-a＜-b，这个式子可理解为a×（-1）＜b×（-1）. 这样，对于不等式a＞b，两边同时乘以-3，会得到什么结果呢？（学生小组交流，老师提醒，可以使用前面的性质1,2） （师生活动）老师引导学生回答， （完成以后，回答下列问题）用“＞”“＜”或“=”填空： 已知5＞4，那么： 5×2_____4×2； 5÷2_____4÷2； 5×（-2）______4×（-2）； 5÷（-2）______4÷（-2）. 根据上面例题，回答下面问题： 【问题3】如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？（显然ac＜bc） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 如果 a > b，c ＜0，那么 ac＜bc，. （思考）等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗?（学生复习回顾等式的对称性及传递性） 老师提问：已知 x > 5，那么 5 < x 吗?（5＜x） （引出性质4） 性质4 如果a＞b，那么b＜a. 【观察】如图，设数轴上的三个点A，B，C分别表示三个实数a，b，c.从中你能发现不等式的什么性质？ （师生活动）观察数轴，不难发现c＜b＜a，这就体现了不等式的另一个性质（引出不等式的基本性质5）. 性质5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°. 【交流】等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点. 板书呈现，学生分小组交流讨论. 3.学以致用，应用新知 考点1 不等式的概念 【例1】下列式子是不等式的有(　　) A．2个　　B．3个　　 C．4个　　　D．5个 解析：判断一个式子是否为不等式的关键在于式子中是否含有“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”，由此可知②③⑤⑥⑧是不等式． 答案：D 考点2 用不等式表示简单的数量关系 【例2】下列数量关系用不等式表示错误的是(　　) A．若a是负数，则a＜0 B．若m的值小于1，则m＜1 C．若x与－1的和大于0，则x－1＞0 D．若a的大于b，则 a≠b 答案：D 考点3 根据实际问题列不等式 【例3】 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350 C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350 答案：B 考点4 不等式的性质 【例4】下列推理正确的是(　　) A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2 C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d 答案：C 【例5】（2021河北中考）已知a＞b，则一定﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 答案：B 考点5 把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式 【例6】把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3)x－2＞x－5. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1； (2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3； (3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 答案：B （2）根据下列数量关系，列出不等式： ①x与2的和是负数； ②m与1的相反数的和是非负数； ③a与－2的差不大于它的3倍； ④a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍． 解：①x＋2<0； ②m－1≥0； ③a＋2≤3a； ④a2＋b2≥2ab. （3）用“ > ”或“ < ”填空： ①如果1-x>3，那么-x ______3-1，得 x______-2； ②如果x+2<3x+8，那么x-3x____8-2，即-2x___6，得x___-3. 答案：①＞ ＜ ②＜ ＜ ＞ （4）已知m＜5，将不等式( m－5 ) x＞m－5变形为“x＜a”或“x＞a”的形式. 解：因为m＜5，所以m－5＜0(不等式的基本性质1). 由(m－5)x＞m－5，得x＜1(不等式的基本性质3). 5.课堂小结，自我完善 （1）不等式的概念：用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫作不等式. （2）不等式的基本性质： 性质1：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c； 性质2：如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc，； 性质3：如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc，； 性质4：如果 a＞b，那么 b＜a； 性质5：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c. 6.布置作业 课本P32练习第1-3题，P32习题7.1第1、4、5、6题. 本节通过问题1复习，接着由2个实际问题让学生体会实际生活中广泛存在的不等关系. 不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示. 也可以写成： 太阳表面温度×4.5 ＜闪电温度， 4.5t＜28 000. 答案： 1 3 1≤x≤3 “≥”可以表示“至少”“不少（小）于”等； “≤”可以表示“之多”“不超过”“不大于”等. 这里可以帮助学生理解不等式解的意义，即可以使不等式成立的数不是唯一的，同时也不是所有的数都能使不等式成立，从而引出不等式解集的定义. 一般地,不等式的解是某个特定范围内的所有数的全体,把这个范围称为不等式的解集. 通过对比，让学生理解某个使不等式成立的数只是不等式的一个解，是不等式成立的一个方位，是不等式的解集. 类比是重要的数学思想，探索不等式的基本性质时，注意与等式的基本性质进行比较. 结合生活实际，回答问题. 然后类比等式的基本性质，结合探究结果，总结不等式的基本性质. 不等式的基本性质1中，提醒学生不管c取任何实数，不等号的方向都不改变. 引导学生举例分析，通过不断探索得出结论，让学生体会数学中的乐趣. 不等式的基本性质2中，提醒学生特别注意c＞0，不等号的方向不变. 在数轴上表示a,b的相反数： 显然-a＜-b. 对于不等式a×（-3）＜b×（-3），两边同时除以-3，会得到什么结果呢？（引导学生倒推回去） a×（-3）÷（-3）＞b×（-3）÷（-3） 不等式的基本性质3 是本节的重难点，课堂中注意引导学生独立探究，在探究中理解记忆. 提醒学生注意不等式的基本性质3中，c＜0，不等号的方向改变. 注意引导学生结合等式的基本性质类比不等式的基本性质，让学生感受类比的数学思想. 老师需要提醒学生注意，在不等式的基本性质3中，不同于等式的基本性质，这里要求c≠0，这是方程变形与不等式变形的一个重要区别，教学中要引起高度重视. 关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义． 运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1. 此考点为下一节学习解一元一次不等式奠定了基础，强调务必打好基础. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 教后反思 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方. 学科网（北京）股份有限公司 $$