6.2 第2课时 实数的运算与大小比较-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第6章 实 数 6.2 无理数和实数 第2课时 实数的运算与大小比较 课题 实数的运算与大小比较 课型 新授课 教学内容 教材第13-15页的内容 教学目标 1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义. 2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较. 教学重难点 教学重点：理解实数与数轴一一对应的关系，能进行实数的大小比较. 教学难点：理解实数与数轴一一对应的关系. 教 学 过 程 备 注 1.回顾与思考 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ，0，1.41，， （学生回答） 老师追问：之前学习过有理数可以用数轴上的点来表示，那么无理数能用数轴上的点表示吗？ 2.探索新知，归纳知识 【探究1】能用数轴上的点表示吗？ 如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线长（）为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作A，那么，点A表示什么数？ （老师引导学生，回顾有关圆中半径的特点） 图中0A的长度等于所画圆弧的半径，即，因此点A表示的数是. 老师追问：图中点A’是画圆弧时与数轴的另一个交点，它表示什么数呢？ 显然，图中0A’的长度等于所画圆弧的半径，即，因为点A’在原点左侧，因此点A’表示的数是. （根据学生的回答，老归纳总结） 一般地，每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个实数. （请学生在数轴上找出表示无理数） 【探究2】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样吗？ （类比有理数，回答下面问题） （1）的相反数是______，的相反数是______， 的相反数是______. （2）2的倒数是_______，的倒数是______， 的倒数是______. （3）2的绝对值是_______，-2的绝对值是______. 的绝对值是______，的绝对值是______. （师生活动）根据学生的回答，老师引导学生归纳总结： 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样. 并且任一个实数a的绝对值仍然用|a|表示. 【探究3】有理数可以做加、减、乘、除、乘方、开立方运算，正有理数可以开平方运算，这些在实数范围可以进行吗？ （老师直接总结）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用. （老师提问）两个无理数的和、差、积、商是否仍然是无理数？ （教师引导，学生举例说明） 两个无理数的和、差、积、商可能是有理数. 【探究4】实数的大小比较 两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点表示的数. 在实数范围内也有： 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 两个正数，绝对值大的数较大. 两个负数，绝对值大的数反而小. 【教材例题】 例1 分别写出: （1） -，的相反数; （2）-，的倒数; （3）, 3. 14-π的绝对值; （4）绝对值为的实数. 解：（1）-的相反数是，的相反数是-. （2） -的倒数是-，的倒数是. （3） 的绝对值是3，3. 14-π的绝对值是π-3. 14. （4） 绝对值为的实数是±. 例2 近似计算： （1）+π（精确到0.01）； （2）×（精确到0.1）. 解：（1）+π≈1.732+3.142=4.874≈4.87. （2）×≈2.23×2.64=5.887 2≈5.9 . 例3 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们. -1，，-2，-，|-2|，5. 解： 由数轴上各点的位置，得 -2＜-＜-1＜＜＜|-2|＜5. 【交流思考】比较和的大小 （学生分组讨论探究）学生给出答案 （教师确认答案及比较方法）＜ 方法一：可以用计算器直接计算出近似值，然后比较. 方法二：根据分数的大小比较方法，分母相同，比较分子即可. 用作差法比较分子的大小：. =3，所以＜0，＜1，＜. 3.学以致用，应用新知 考点1 求数轴上的点对应的实数 【例1】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是(　　) A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1 解析：圆的周长为πR=π. 圆的滚动方向分情况讨论： 向左滚动一周后，点A’表示－π－1； 向右滚动一周后，点A’表示π－1. 答案：D 考点2 实数的性质 【例2】求下列各数的相反数和绝对值： (1)；　(2)－；　(3)－1＋. 解：(1)的相反数是－，绝对值是； (2)－的相反数是－－，绝对值是－－； (3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋. 考点3 实数的简单运算 【例3】计算－的结果是(　　) A．3 B．7 C．－3 D．－7 答案：A 考点4 实数的大小比较 【例4】比较大小：与. 解：因为＝<0，所以＜. 或＝－1＜1，所以＜. 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 答案：C 2.如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是(　　) A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处 C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上 答案：B 3.估计与 6 的大小. 答案：因为37＞36，所以＞6. 5.课堂小结，自我完善 1．实数与数轴的关系 实数与数轴上的点一一对应． 2．实数的性质 有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义． 3．实数的运算 4．实数的大小比较 正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小． 6.布置作业 课本P15练习第3题，P15习题6.2第3、4题. 回顾旧知，为新课奠定基础. 表示有理数的点在数轴上都能找到. 由于学生还没有学习勾股定理，因此可以引导学生是根据上一节求正方形边长所得出（参考教材P10图6-6）. 类比有理数在数轴上表示的方法： 在数轴上，表示正数的点在原点右侧，表示负数的点在原点左侧. 有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点是一一对应的，通过在数轴上表示实数，让学生进一步体会数形结合的思想. 答案： （1）+()=0， +=0. -2 - （2）×()=1, ×()=1. （3）2 2 加：+()=0 减：=0 乘：×()=1 除：÷=1 这两个例题，说明有理数的运算性质和运算律在实数范围仍然成立. 注意：此处不涉及二次根式的性质. 实数的大小比较与有理数的相似，利用数轴直接比较即可. 作差法涉及二次根式的简单运算，以及对二次根式的估算. 也可用来比较两个带根号的负实数的大小. 此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，充分体现了数形结合的思想. 注意在没有说明滚动方向时，要分情况讨论.此题 求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可． 求一个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 作差法比较实数大小：设a，b为任意两个实数，当a－b<0时，a<b；当a－b＝0时，a＝b；当a－b>0时，a>b． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识. 板书设计 教后反思 通过复习有理数的性质、运算及大小比较，并强调这些在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度. 学科网（北京）股份有限公司 $$