6.1.2 立方根-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第6章 实 数 6.1 平方根、立方根 6.1.2 立方根 课题 立方根 课型 新授课 教学内容 教材第6-8页的内容 教学目标 1.了解立方根的概念，会求一个数的立方根，并会用根号表示一个数的立方根. 2.会用计算器求一个数的立方根或其近似值. 3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点：理解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根. 教学难点：能用开立方运算求某些数的立方根，理解开立方与立方互为逆运算. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入（学生活动） 已知一个正方体的棱长是4， 则这个正方体的体积是______. 【探究2】探究教材P6问题2 要做一个容积是64 dm3的正方体木箱，问它的棱长是多少？ 【师生活动】学生尝试解答，列方程. 设正方体木箱的棱长为x dm，根据题意，有 x³=. 教师提问：怎么解这个方程呢？ （学生讨论，教师引导）想哪个数的立方是64? 1³=1,2³=8,3³=27,4³=64，x=4. 2.探索新知，归纳知识 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根，也叫作三次方根，记作，读作“三次根号”，其中叫作被开方数，3叫作根指数. 例如，上面问题2中，因为4³=64，所以4是64的立方根，即=4. 【探究1】（学生口答） 类比开平方与平方的关系，探究开立方与立方的关系？ （教师解答）开立方与立方互为逆运算. 根据这种关系，可以求一些数的立方根. 【教材例题】 例4 求下列各数的立方根： （1）27；（2）-64；（3）0. 解:（1）因为33=27，所以27的立方根是3，即=3. （2）因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4，即=-4. （3）因为03=0，所以0的立方根是0，即=0. 教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的立方根，应该怎样求其立方根呢？（学生讨论） 利用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 【教材例题】 例5 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）2；（2）7.797；（3）-17.456；（4）. 解:（1）在计算器上依次按键：2ndf 2 =， 显示结果是1.259 921 05，精确到0.01，得≈1.26. （2）≈1.98. （3）≈02.59. （4）在计算器上依次按键：2ndf （ 137 ÷ 398 ） =， 即可得≈0.70. 【探究2】（教师提问） 根据上面的例题，探究立方根有什么特征？ （学生口答下面问题） （1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根？ （3）负数有几个立方根？ （学生先答，老师归纳总结） 正数、0和负数都是只有一个立方根. 正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0. 【探究3】探究平方根与立方根的区别？ 请一名学生上台完成下表： 平方根 立方根 表示方法 ______ ______ 被开方数 ______ ______ 特征 一个正数有___个平方根；0只有____个平方根,它是0本身；负数_____平方根 正数的立方根是____； 0的立方根是______； 负数的立方根是_____ 【探究4】猜想一下和（）³分别等于什么？ 计算：=_____;=_____;=_____. （）³=______;（）³=______;（）³=______. （引导学生归纳总结） =a，（）³=a. （教师引导，师生共同验证）根据立方根的定义，如果x³=a，那么x就是a的立方根，即x=，所以x³=（）³=a； （参考上面验证方法，学生自行验证=a） 【探究5】一般地，对吗？ 计算：=_______;=_______. =_______;=_______. （引导学生参考探究4证明） 验证：如果x³=a，那么； . 所以. 教师总结：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的立方根 【例1】求下列各数的立方根： (1)1 000； (2)； (3)0.125； (4)(-2.1)3. 解：(1)由于10³＝1 000，因此1 000的立方根10，即=10； (2)由于()³＝，因此的立方根是，即； (3)由于0.5³＝0.125，因此0.125的立方根0.5，即=0.5； (4)=-2.1. 考点2 立方根与平方根的综合问题 【例2】如果为的算术平方根，为的立方根，求2a－3b的立方根． 解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8. 所以＝＝2. 【例3】如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是(　　) A．1 B．0或1 C．0或±1 D．任意非负数 答案：B 4.随堂训练，巩固新知 （1）有下列四个说法，其中正确的是(　　) A.1的算术平方根是1； B.的立方根是±； C.－27没有立方根； D.若一个数的立方根是这个数本身，则这个数一定是零． 答案：A （2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根． 解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4，所以x＝6. 因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入，解得y＝8. 因为x2＋y2＝62＋82＝100，所以x2＋y2的算术平方根为10. （3）若与互为相反数，求的值. 解：因为与互为相反数， 所以1-2x与3y-2互为相反数， 所以1-2x+3y-2=0，即2x+1=3y， 所以==3. （4）将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解：因为600+129=729（cm³），， 所以这个正方体的棱长为9 cm. （5） 已知一个正方体的体积是8m³，如果把它的体积扩大27倍，那么它的棱长扩大多少倍？ 解：设这个正方体的棱长为a m， 根据立方根的概念，可知a==2. 如果体积扩大27，即变为8×27=216（m³）， 设此时棱长为b m，根据立方根的概念，可知b==6. 所以它的棱长扩大为b÷a=6÷2=3倍. 5.课堂小结，自我完善 （1）立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作 a 的立方根，也叫作三次方根. （2）任何一个数都只有一个立方根.其中正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. （3）用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 6.布置作业 课本P7练习第1-3题，P8习题6.1第5-8题. 复习：已知正方体棱长求体积. 思考：已知正方体体积如何求棱长？ 正方体的体积=棱长³ 通过解决实际问题，引导学生理解求立方根的必要性. 所列方程是已知一个数的立方，求这个数. 根据上面解决的实际问题，引出立方根，并抽象出立方根的概念. 注意：根指数3不能省略. 举例说明： 例4求立方根的过程是严格按照定义书写的，这样有利于学生体会开立方与立方的互逆关系.后面做练习时，学生的表述可以适当简化. 借助计算器求一个数的立方根，求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）. 按键时注意区分与. 这样提问，是为了突出平方根与立方根的对比，便于弄清两者的区别与联系. 任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同． 探究3答案： ±，； 非负数，任意数； 2，1，没有，正数，0，负数. 探究4答案： 2 0 -3 8 27 -64 根据立方的定义，可知a³是a的三次方，所以a³的立方根是a，即=a. 探究5答案： -3 -4 -3 -4 -a与a互为相反数，也互为相反数， 所以. 任何一个数的立方根的符号与原数的符号相同． （4）根据公式=a可直接写出答案. 本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a－3b的立方根，体现了方程思想的应用． 只有0和1的算术平方根等于本身； 只有-1,0和1的立方根等于本身. 任何一个数都有立方根，且有唯一一个立方根. 本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求解． 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 根据正方体体积求棱长，实质上就是求一个数的立方根. 如果已知正方体的体积扩大a倍，那么这个正方体的棱长扩大倍. 板书设计 教后反思 本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识．在教学时可引导学生对比平方根进行学习，理解立方根与平方根的区别. 学科网（北京）股份有限公司 $$