3 第2课时 完全平方公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(北师大版2024)

3 乘法公式 课题 第2课时 完全平方公式 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P20-24 教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 教学重难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述。 难点：会用完全平方公式进行运算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？： （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 师生活动：对多项式乘多项式的运算法则进行回顾复习，请学生计算回答上述问题，观察两个算式的结果，为本节课对于完全平方公式的认识和应用奠定基础。（教师板书课题： 第2课时 完全平方公式） 学生观察发现：(a+b)2=a2+2ab+b2 与引入平方差公式的想法一样，让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 1.再举两例验证你的发现。 2.你能用自己的语言叙述这一公式吗? 学生活动：举例验证(a+b)2=a2+2ab+b2，用自己的语言描述这一公式。 猜想：(3x + 5)2=9x2+30x+25； (2m + 3n)2=4m2+12mn+9n2。 (3x + 5)2 = (3x + 5) (3x + 5) =(3x)2 + 5×3x + 5×3x + 25 = 9x2 + 2×5×3x + 25 = 9x2 + 30x + 25 与猜想结果一致。 (2m + 3n)2 = (2m + 3n) (2m + 3n) =(2m)2 + 2m×3n + 3n×2m + (3n)2 = 4m2 + 2×2m×3n + 9n2 = 4m2+12mn+9n2 与猜想结果一致。 【归纳总结】 (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 思考·交流 （1）你能用下图解释这一公式吗? 师生活动：图中最大正方形的面积可以用两种方法表示。 方法1：大正方形的边长为a+b，所以面积可以表示为（a+b）2； 方法2：图中大正方形面积等于图中4个部分面积的和，表示为a2+2ab+b2。 因为这两个代数式表示的是同一个正方形的面积，所以我们可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2。 教师引导学生归纳完全平方公式并用自己的语言描述这一公式。 （2）如何计算(a-b)2?你是怎样做的?与同伴进行交流。 师生活动：先让学生自己计算并比较结果与方法.学生在计算时主要有两种不同的方法： （1）按照多项式乘多项式的法则进行计算，（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-2ab+b2； （2）按照两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍进行计算，即（a-b）2=[a+（-b）]2 =a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2 教师引导学生观察算式（a-b）2=a2-2ab+b2，总结归纳，并用自己的语言描述这一公式.学生容易得到式子的左边是两个数的差，式子右边是两数的平方和减去这两数积的2倍。 【归纳总结】 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 尝试·思考 请你设计一个图形解释这一公式。 师生活动：如下图，用不同的方式表示阴影部分的面积。 方法1：阴影部分正方形的边长为a-b，所以面积可以表示为（a-b）2； 方法2：图中阴影部分面积等于图中大正方形面积减去空白部分面积，表示为a2-2ab+b2。 因为这两个代数式表示的是同一个正方形的面积，所以我们可以得到(a-b)2=a2-2ab+b2。 学生自主完成问题，然后组内交流，教师引导学生类比上面公式(a+b)2=a2+2ab+b2的几何证明过程对(a-b)2=a2-2ab+b2进行几何解释，最后利用多媒体出示结果。 【教材例题】 例5 利用完全平方公式计算： （1）(2x-3)2； （2）(4x+5y)2； （3）(mn-a)2。 师生活动：让学生先观察，自己完成题目，教师引导学生利用完全平方公式写出过程，完成后请一位同学口述，教师给出板书演示。 （1）(2x-3)2 =(2x)2-2•2x•3 + 32 =4x2-12x + 9。 （2）(4x+5y)2 =(4x)2 + 2•4x•5y + (5y)2 =16x2 + 40xy + 25y2。 （3）(mn-a)2 =(mn)2-2•mn•a + a2 =m2n2 - 2amn + a2。 【探究2】 怎样计算1022，1972更简便呢？102与197都接近整百数，写成整百数加（或减）一个数来计算能否简便呢？ 师生活动：让学生计算1022，1972，教师巡视，可能有学生会直接计算，然后提出后面的问题，请学生回答，利用多媒体展示过程，引导学生发现两种方法的异同。 1022可以写成（100+2）2，1972可以写成（200-3）2，得到： 1022=（100+2）2 =1002+2×100×2+22 =10 000+400 + 4 =10 404。 1972=（200-3）2 =2002-2×200×3+32 =40 000-1 200+9 =38 809。 学生发现：将原数转化成符合完全平方公式特点的形式，可以简化运算。 【归纳总结】 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 【教材例题】 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3)(a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 师生活动：让学生先观察、计算，然后组内交流，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9。 （2）(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19。 观察·思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 师生活动：教师先让学生自己思考，然后在小组内交流自己的想法和解题过程，交流结束后请几位同学回答自己的解题过程。 解：(m+n)×(m+n)=m2+2mn+n2， m×m+n×n=m2+n2， (m+n)×(m+n)≠m×m+n×n。 通过几何直观的方法对(a+b)2=a2+ 2ab+b2进行解释，不仅使学生更清晰地“看到”公式的结构，同时感受这样的抽象代数运算也有直观的背景。 呈现得到公式的两种方法：直接计算或利用上面总结的公式。让学生观察、思考、总结、归纳，掌握基本的数学活动经验，用文字语言表示公式，提高学生运用数学语言的能力。 让学生能够类比“两数和”的情况，利用几何直观对这一结果进行解释。 让学生进一步熟悉，巩固公式。建议先写出详细过程，再逐渐过渡到公式。 通过类比平方差公式进行简便计算，提出问题，体会符号运算对解决问题的作用。 使学生进一步熟悉乘法公式。 通过分析点阵，使学生进一步巩固（a+b）2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解（a+b）2与a2+b2的关系。 3.学以致用，应用新知 考点1 完全平方公式的认识 例 计算：（1）(x-2y)2； （2）(2xy+x)2； （3）(n+1)2-n2。 解：（1）(x-2y)2 =(x)2-2•x•2y + (2y)2 =x2-2xy + 4y2。 （2）(2xy+x)2 =(2xy)2 + 2•2xy•x+(x)2 =4x2y2+x2y +x2 =x2 - 4y2 + x2 - 1 =2x2-4y2-1。 （3）(n+1)2-n2 =n2+2n+1-n2 =2n+1。 变式训练 计算： （1）（a﹣b）2； （2）（﹣x2+3y2）2； （3）（﹣a2﹣2b）2； （4）（0.2x+0.5y）2。 解：（1）原式＝a2﹣ab+b2； （2）原式＝x4﹣6x2y2+9y4； （3）原式＝a4+4a2b+4b2； （4）原式＝0.04x2+0.2xy+0.25y2。 考点2 完全平方公式的逆用 例1 若是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或-1 D.-1 答案：C 考点3 利用完全平方公式进行计算 例2 利用整式乘法公式计算： （1）962； （2）(a–b–3)(a–b+3)。 解：（1）962 =（100–4）2 =1002–2×100×4+42 =10 000–800+16 =9 216。 （2）(a–b–3)(a–b+3) =[(a–b)–3][(a–b)+3] =(a–b)2–32 =a2–2ab+b2–9。 变式训练 计算： (1)472-94×27+272； (2)(a+b+c)2。 解：（1）原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400。 （2）原式=［(a+b)+c］2(a+b)2+2(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2。 考点4 完全平方公式的变形 例3 已知a+b=6，ab=-27，求下列各式的值。 （1）a2+b2；（2）a2+b2-ab。 解：（1）a2+b2 =a2+2ab+b2-2ab =（a+b）2-2ab =36-2×（-27） =36+54=90。 （2）a2+b2-ab =a2+2ab+b2-3ab =36-3×（-27） =36+81=117。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，提高学生应用完全平方公式的能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，体会完全平方公式在简便运算中的作用。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 答案：C 2.下列计算正确的是(　　) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2 答案：D 3.将(–a+b–1)(a+b+1)化为(m+n)(m–n)的形式为（ ） A．[b+(a+1)][b–(a–1)] B．[b+(a+1)][b–(a+1)] C．[b+(a+1)][b–(–a+1)] D．[b+(a+1)][b–(–a–1)] 答案：B 4. 已知x–y=7，xy=2，则x2+y2的值为(　　) A.53 B．45 C．47 D．51 答案：A 5.若代数式x2 + kx + 25是一个完全平方式，则k=______。 答案：10或-10 6.计算: (1)(4x+0.5)2； （2）(2x2-3y2)2。 解：（1）原式=(4x)2+2×4x×0.5+(0.5)2 =16x2+4x+0.25 （2）原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2 =4x4-12x2y2+9y4。 7. 利用完全平方公式计算: (1)482； (2)1032。 解：(1)482=(50-2)2=2 500-200+4=2 304。 (2)1032=(100+3)2=10 000+600+9=10 609。 8. 用乘法公式计算： （1）(x+2y–3)(x–2y+3)；（2）（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1）。 解：（1）(x+2y–3)(x–2y+3) =[x+(2y–3)][x–(2y–3)] =x2–(2y–3)2 =x2–(4y2–12y+9) =x2–4y2+12y–9。 （2）（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1） =［(2y-5z)+(3x+1）］［（2y-5z）-（3x+1）］ =（2y-5z）2-（3x+1）2 =4y2-9x2+25z2-20yz-6x-1。 9.（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和。 方法1：________；方法2：________。 （2）请你直接写出三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系。 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n=3，m2+n2=25，求mn和（m-n）2的值； ②已知（x-2022）2+（x-2024）2=124，求（x-2023）2的值。 解：（1）a2+b2，(a+b)2-2ab （2）a2+b2=(a+b)2-2ab （3）①因为m+n=3，所以（m+n）2=9=m2+2mn+n2， 因为m2+n2=25，所以2mn=-16，即mn=-8， （m-n）2=m2-2mn+n2=25-（-16）=41。 ②设a=x-2022，b=x-2024，则a-b=2， a2+b2=（x-2022）2-（x-2024）2=124， 所以ab===60， 即（x-2022）-（x-2024）=60， 所以[（x-2023）+1][（x-2023）-1]=（x-2023）2-1=60， 即（x-2023）2=61。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1. 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。 2.完全平方公式的应用： （1）计算数的平方：找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2的形式； （2）计算多项式之积：可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，再运用公式计算； （3）完全平方公式的变形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P24习题1.3中的T3、T4、T5、T7、T8、T9、T11、T12。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 完全平方公式的认识 例1 (a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。 投影区 例2 完全平方公式的应用 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 完全平方公式是多项式乘多项式运算的直接结果，是多项式乘多项式运算的一种特殊情况。教师引导学生归纳完全平方公式时，可以让学生多举几个例子来验证。 本课时通过几何直观的方法对完全平方公式进行解释，让学生建立数形结合的意识。在教学过程中，为了保证基本的运算技巧，要适当、分阶段地提供一些必要的训练，使学生能够准确地运用完全平方公式进行简单的运算。 授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和需要特别注意的细节。有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算，学生应掌握完全平方公式的常见变形。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$