3 第1课时 平方差公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(北师大版2024)

3 乘法公式 课题 第1课时 平方差公式 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P18-20 教学目标 1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。 3.灵活地运用平方差公式进行简便计算。 4.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。 教学重难点 重点：1.弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点。 2. 平方差公式的应用。 难点：1. 准确理解和掌握公式的结构特征。 2. 平方差公式的应用。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。符号表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba； 2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明。 学生活动：学生分析思考，举例计算，计算后分小组交流讨论，讨论完成后，展示自己的想法和举出的例子。 教师活动：请几位同学交流演示，展示自己的想法和举出的例子，由此引出这节课的学习内容。 这节课我们就来学习平方差公式。（教师板书课题： 第1课时 平方差公式） 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它可可以直接利用多项式乘以多项式法则得出，设计这情境的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 1.计算下列各式： (1)(x+2)(x-2)； (2)(1+3a)(1-3a)； (3)(x+5y)(x-5y)； (4)(2y+z)(2y-z)。 师生活动：教师应先让学生利用多项式乘多项式的法则独立完成，待大部分同学完成后，请两位同学上台板书自己的解题过程，其余同学互相订正并讨论交流。 教师活动：学生讨论交流完成后，教师利用多媒体出示正确答案与解题过程。 2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 师生活动：先给学生几分钟时间观察计算得到的算式，然后让同学们分组讨论，讨论完成后，找几位同学分享自己的想法，引导学生用自己的语言总结平方差公式。 学生发现：左边的算式是两个二项式的积，两个二项式中一项相同，另一项互为相反数；右边的算式是一个二项式，且是乘氏中两项的平方差。 【归纳总结】 平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2。 两数和与两数差的积，等于它们的平方差。 【教材例题】 例1 利用平方差公式计算： （1） (5+6x)(5-6x)； （2） ( x-2y ) (x + 2y)； （3）(-m+n)(-m-n)。 教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生口述解题过程，说明计算的依据和方法，最后利用投影仪出示解题过程和答案。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1） ( 5 + 6x ) ( 5-6x ) = 52-（6x）2 =25-36x2 。 （2） ( x-2y ) (x + 2y) =x2-（2y）2 = 2x2-2xy + xy-y2 =x2-4y2. （3）(-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2 =m2-n2。 例2 利用平方差公式计算： （1）（-x-y）（-x+y）； （2）（ab+8）（ab-8）。 师生活动：学生自主完成该题，找两位同学上台板书自己的解题过程，其余同学在练习本上完成，最后教师用多媒体展示解题过程。 解：（1）（-x-y）（-x+y） =（-x）2-y2 =x2-y2。 （2）（ab+8）（ab-8） =（ab）2-82 =a2b2-64。 【探究2】 尝试·思考 （a-b）（-a-b）=？你是怎样做的？ 教师活动：让学生自主完成，完成后互相交流，教师巡视，利用多媒体展示过程。 同学之中主要有两种做法： 方法1：利用多项式乘多项式的法则进行计算， 即（a-b）（-a-b）=-a2-ab+ab+b2=-a2+b2。 方法2：利用平方差公式进行计算， 把（-b）看作平方差公式中的“a”；把a看作平方差公式中的“b”，即（a-b）（-a-b）=（-b）2-（-a）2. 【探究3】 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. （1）请表示图中阴影部分的面积. （2）小颖将阴影部分沿虚线裁剪后拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ （3）比较（1）和（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 师生活动： （1）图中阴影部分的面积为答正方形的面积减去小正方形的面积，所以得到阴影部分的面积为a2–b2. （2）将阴影部分沿虚线裁剪后拼成了一个长方形，如图所示： 这个长方形的长是a+b，宽是a-b，所以面积可以表示为（a+b）（a-b）. （3）由于阴影部分的面积不变，所以两个代数式相等，可以得到a2–b2=（a+b）（a-b）. 【归纳总结】 平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差. 【教材例题】 例3 利用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122. 师生活动：让学生先观察，提出自己的想法，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 （1）103×97 =（100+3）（100-3） =1002-32=9991. （2）118×122 =（120-2）（120+2） =1202-22=14396. 例4 计算： （1）a2(a+b)(a–b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3). 师生活动：让学生先观察，独立完成题目，然后交流讨论，教师请两位学生口述解题过程，在多媒体上展示正确结果及过程。 （1）a2(a+b)(a–b) + a2b2 =a2(a2–b2) + a2b2 =a4–a2b2 + a2b2 =a4. （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) =(2x)2–25–(4x2–6x) =4x2–25–4x2 + 6x =6x–25. 通过几个具体的题目，使学生在计算的过程中发现规律，并用自己的语言进行表达，培养了学生观察、归纳、概括等能力。 通过对例题的讲解，让学生明确每一步运算的道理，进一步理解公式，正确运用公式，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能。 学生将进一步体会平方差公司中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式。 设置“尝试·思考”的目的是提醒学生，在计算时应仔细识别公式运用的条件及a，b是什么，一边正确运用公式。 通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，使学生对此公式有一个直观认识，发展几何直观． 让学生运用平方差公式进行一些有关数的简便运算，进一步巩固平方差公式，体会符号运算对解决问题的作用. 具有一定的综合性，使学生能灵活运用公式. 3.学以致用，应用新知 考点1 平方差公式的认识 例1 计算：（1）(a+2)(a-2)； （2）(3a+2b) (3a-2b)； （3）(-x-1) (1-x)； （4）(-4k+3)(-4k-3)。 解：（1）(a+2)(a-2) =a2-22 =a2-4。 （2）(3a+2b) (3a-2b) =（3a）2-（2b）2 =9a2-4b2。 （3）(-x-1) (1-x) ＝（-x）2-12 =x2-1。 （4）(-4k+3)(-4k-3) =（-4k）2-32 =16k2-9。 变式训练 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出。 （1）(-3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y)； （3）(-3a+4b)(-4b-3a)； （4）(-a+b)(a-b)。 解：（1）不能。 （2）能，原式=（-x）2-（2y）2=x2-4y2。 （3）能，原式=（-3a）2-（4b）2=9a2-16b2。 （4）不能. 考点2 利用平方差公式进行简便计算 例2 计算：（1）704×696； （2）(x + 2y)(x−2y) + (x + 1)(x−1)； （3）x(x−1)−(x−)(x+). 解：（1）704×696 =（700+4）（700–4） =7002–42 =489984 . （2）(x + 2y)(x−2y) + (x + 1)(x−1) =x2 – (2y)2 + x2 – 1 =x2 – 4y2 + x2 – 1 =2x2–4y2–1. （3）(–x–1) (1–x) =x2 – x – (x2 –) =x2–x–x2 + == – x + . 变式训练 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出. （1）9.9×10.1； (2)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)； （3）(3x+4)(3x–4)–(2x + 3)(3x–2). 解：（1）9.9×10.1=（10-0.1）（10+0.1）=102-0.12=99.99.（2）(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)=（4a2-b2）(4a2+b2)=16a4-b4. （3）(3x+4)(3x–4)–(2x + 3)(3x–2) =9x2–16–(6x2 + 5x–6) =9x2–16–6x2–5x + 6 =3x2–5x–10. 考点3 平方差公式的逆用 例3 若m2-n2=8，且m-n=2，则m+n=______. 答案：4 变式训练 计算：=______. 答案： 考点4 平方差公式的几何应用 例4 如图，大正方形ABCM的边长为a，小正方形EBDN的边长为b，点E在AB上，大正方形与小正方形的面积差为80，则阴影部分的面积为________. 答案：40 通过例题讲解，进一步理解公式，体会公式中a，b的含义。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 通过例题讲解，进一步理解平方差公式，体会平方差公式在简便运算中的作用. 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列运用平方差公式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 2.下列说法不正确的是（ ） A.两个单项式的积仍是单项式 B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和 C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同 D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和。 答案：D 3.下列选项中，不能利用图形的面积关系解释平方差公式的是（ ） 答案：B 4. 将一个长为x(x>1),宽为y(y>1且x>y)的长方形的长增加1,宽减少1,得到的新长方形的面积增加了(　　) A.不变 B.x-y+1 C.-x+y-1 D.x+y 答案：C 5.已知a+b＝8，a-b＝2，则a2-b2的值为________． 答案：16 6. 用简便方法计算： 20152–2014×2016. 解：20152–2014×2016 =20152–(2015–1)(2015 + 1) =20152 – (20152 – 1) =1. 7. 计算: (1)4x2-(2x+3)(-2x-3). (2)(3ab+)(3ab-)-a2b2. 解：(1)4x2-(2x+3)(-2x-3) =4x2+4x2+12x+9 =8x2+12x+9. (2)(3ab+)(3ab-)-a2b2 =(3ab)2-()2-a2b2 =9a2b2--a2b2 =8a2b2-. 8.先化简,再求值：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1)，其中x=2。 解：(3-x)(3 + x) + 2(x + 1)(x-1) =9-x2 + 2(x2-1) =9-x2 + 2x2-2 =x2 + 7， 当x=2时，x2 + 7=22 + 7=11。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差。 2.应用平方差公式的注意事项： （1）注意平方差公式的适用范围； （2）字母a、b可以是数，也可以是整式； （3）注意计算过程中的符号和括号。 3.平方差公式的验证：(a+b)(a-b)＝a2-b2 利用等面积法.用不同的方式表示同一图形的面积. 4.平方差公式的应用： 利用平方差公式简化一些数字计算. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P24习题1.3 T1、T2、T6、T10 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 平方差公式 例1 例2 例3 例4 1.平方差公式： (a+b)(a-b)＝a2-b2 2. 平方差公式的应用 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 创设情境导入，新授知识层层递进、联系密切，过渡自然，调动学生的学习热情，注意力集中不分散。 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，在教学过程中，学生发现规律后，还应该通过符号运算对规律进行证明。教师要适当、分阶段地提供一些必要的训练，使学生能够准确地运用平方差公式进行简单的运算，并能明白每一步的算理，同时避免过多、烦琐的运算。 授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和需要特别注意的细节。有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$