2 第3课时 多项式乘多项式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(北师大版2024)

2 整式的乘法 课题 第3课时 多项式乘多项式 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P14-15 教学目标 1.理解多项式乘多项式的算理和运算法则，体会乘法分配律在运算中的应用. 2.能正确进行多项式乘多项式的运算. 教学重难点 重点：会进行多项式与多项式的乘法运算。 难点：理解多项式与多项式相乘的算理。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形的面积可以怎样表示？ 师生活动：教师先让学生独立思考，然后在全班交流，教师在交流过程中引导学生说出自己的思考过程. 学生独立思考后，全班交流，主要产生了四种表示方法： 方法一：长方形的长为（m+a），宽为（n+b），所以面积可以表示为(m+a)(n+b)； 方法二：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，所以长方形的面积可以表示为mn+mb+an+ab； 方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，长方形的面积就可以表示为n（m+a）+b（m+a），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于nm+na+bm+ba； 方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，这样长方形的面积就可以表示为m（b+n）+a（b+n），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于mb+mn+ab+an. 教师活动：将四种不同求长方形面积的方法以板书形式呈现. 学生活动：由于求的是同一个长方形的面积，于是学生们容易得到：（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)= mn+mb+an+ab。 教师活动：由以上等式引出这节课的学习内容。这节课我们就来学习多项式乘多项式。（教师板书课题： 第3课时 多项式乘多项式） 在上一课时中，学生已经有了利用图形面积探究法则的经验，因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘多项式的法则并不困难，顺利引出新课。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 尝试·交流 (1)如何计算(2a+b)(a+2b)，(x+y)(x-1)，(a2-b2)(a-b)?你是怎么做的? (2)一般地，如何进行多项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 师生活动：教师应先让学生独立思考，并完成前2个问题，教师积极引导启发学生总结归纳，得到多项式乘多项式的运算法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【探究2】 计算中常犯的错误有哪些? 师生活动：教师组织学生以两人或四人为小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的见解，之后全班共同交流，引导学生剖析多项式乘多项式法则，总结注意事项（多媒体展示） （1） 两个多项式相乘时，要防止漏乘. （2） 多项式与多项式相乘，积仍是多项式. （3） 多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号. （4） 运算结果要最简，不含同类项. 【归纳总结】 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 观察·思考 (1)如图1-5，一幅边长为a m的正方形风景画，左右各留有宽为m的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米? (2)如图1-6，一幅长为a m、宽为b m的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为x m的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生口述解题过程，说明计算的依据和方法，最后利用投影仪出示解题过程和答案。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）a2-2·=。 （2）==。 引导学生进一步理解算理，感受法则的生成过程，总结多项式乘多项式的运算法则，并用语言进行描述。 总结多项式与多项式相乘计算过程中可能出现的问题，避免在解题过程中出现类似问题。 通过对例题的讲解，让学生明确每一步运算的道理，发展他们有条理的思考能力，进一步规范学生的解题方法和步骤。 3.学以致用，应用新知 考点1 多项式乘多项式 例1 计算：（1）(m+2n) (m－2n) ； （2）(2n+5)(n－3)； （3）(x+2y)2 ； （4）(ax+b)(cx+d) 。 解：（1）(m＋2n)(m－2n) ＝m·m－m·2n＋2n·m－2n·2n ＝m2－2mn＋2mn－4n2 ＝m2－4n2. （2）(2n＋5)(n－3) ＝2n·n－2n·3＋5·n＋5×(－3) ＝2n2－6n＋5n－15 ＝2n2－n－15. （3）(x＋2y)2＝(x＋2y)(x＋2y) ＝x·x＋x·2y＋2y·x＋2y·2y ＝x2＋2xy＋2xy＋4y2 ＝x2＋4xy＋4y2. （4）(ax＋b)(cx＋d) ＝ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d ＝acx2＋adx＋bcx＋bd. 变式训练 计算：（1）(x−3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x−2y). 解：（1）(1) (x−3y)(x+7y) =x•x+ x•7y −3y•x−3y•7y =x2 + 7xy−3xy −21y2 =x2+ 4xy−21y2。 （2） (2x +5y)(3x−2y) =2x•3x−2x•2y+5 y• 3x-5y•2y =6x2−4xy+ 15xy−10y2 =6x2 +11xy−10y2。 考点2 多项式乘多项式的应用 例2 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片_______张. 答案：3 通过例题讲解，使学生明确利用多项式乘多项式法则进行计算的方法，明确每一步运算的道理，规范解题步骤，体会由多项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用法则解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列计算中，正确的有(　　) ①(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3; ②(m+n)(n+m)=m2+mn+n2; ③(a-2)(a+3)=a2-6; ④(1-a)(1+a)=1-a2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 2. 已知(x+a)(x+b)=x2-13x+36，则a+b的值是(　　) A.13 B.-13 C.36 D.-36 答案：B 3.下列说法不正确的是（ ） A.两个单项式的积仍是单项式； B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和； C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同； D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和. 答案：D 4.如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为（2a+b）m，宽为（a+b）m，正方形的边长为a m． （1）求剩余铁皮的面积； （2）当a=3，b=2时，求剩余铁皮的面积． 解：（1）(a+b)(2a+b)-a·a=a2+3ab+b2， （2）将a=3，b=2代入，得 32+3×3×2+22=31， 所以，剩余铁皮的面积为31 m2． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.多项式与多项式相乘注意事项： ①每一项的运算符号； ②不要漏乘； ③结果中的同类项要合并. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P16习题1.2中的T7、T8。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时 多项式乘多项式 例3 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的运算法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化，为以后的学习奠定基础. 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$