单元检测卷(二) 复数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

单元检测卷(二)　复数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知i为虚数单位，复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则复数z对应的点位于复平面内的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：由(1＋2i)z＝4＋3i， 得z＝＝＝＝2－i，则复数z对应的点的坐标为(2，－1)，位于复平面内的第四象限．故选D． 2．已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　) A．－i B．＋i C．－i D．＋i 答案：D 解析：因为z＝＝＝－i， 所以＝＋i.故选D． 3．已知复数z＝，则的虚部为(　　) A．－ B． C．－i D．i 答案：B 解析：由题得z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i.所以的虚部为.故选B． 4．已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则复数z＝＝(　　) A．－2＋i B．－i C．i D．1 答案：C 解析：因为a＋i＝－2＋bi且a，b∈R，则a＝－2，b＝，所以z＝＝＝＝i.故选C． 5．已知复数z＝＋i对应的向量为，将绕原点沿逆时针方向旋转90°，得到向量，则对应的复数是(　　) A．－＋i B．－i C．－＋i D．－i 答案：C 解析：因为z＝＋i，＝(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到，所以＝(cos 150°，sin 150°)，即＝，所以对应的复数是－＋i.故选C． 6．已知复数z满足|z－2i|＝，则|z|的最大值是(　　) A． B．2－ C．2＋ D．2 答案：C 解析：设复数z对应的点为Z，复数z1＝2i对应的点为Z1(0，2)，则|ZZ1|＝，即点Z组成的集合是圆心在点Z1(0，2)，半径为的圆，所以|z|的最大值为2＋.故选C． 7．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　) A．2 B． C． D．1 答案：B 解析：＝＝1－ai，则＝|1－ai|＝＝2，又a为正实数，所以a＝.故选B． 8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　) A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i 答案：A 解析：＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，所以z＝＝＝＝3－i.故选A． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．设z＝(－t2＋4t－5)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　) A．z对应的点在第二象限 B．z一定不为纯虚数 C．对应的点在实轴的下方 D．z可以为实数 答案：ABC 解析：因为－t2＋4t－5＝－(t－2)2－1＜0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，所以z对应的点在第二象限，故A正确；因为－t2＋4t－5＝0无解，所以z一定不为纯虚数，故B正确；因为z与对应的点关于实轴对称，所以对应的点在第三象限，满足在实轴的下方，故C正确；因为t2＋2t＋2＝0无解，所以z一定不是实数，故D错误． 10．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列命题为真命题的是(　　) A．(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3) B．z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3) C．(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3) D．z1*z2＝z2*z1 答案：AB 解析：对于A，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3)，故A为真命题；对于B，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故B为真命题；对于C，(z1*z2)*z3＝(z1)＝z1，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2)＝z1z3，故C为假命题；对于D，z1*z2＝z1，而z2*z1＝z2，故D为假命题．故选AB． 11．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．则下列说法正确的是(　　) A．1i0 B．若z1z2，z2z3，则z1z3 C．若z1z2，则对于任意z∈C，z1＋zz2＋z D．若z1z2，则对于复数z0，z·z1z·z2 答案：ABC 解析：对于A，1的实部是1，i的实部是0，0的实部和虚部都是0，故A正确；对于B，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R)，由已知得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，“a2＞a3”或“a2＝a3且b2＞b3”，显然有a1≥a3，若a1＞a3，则z1z3，若a1＝a3，则a1＝a2＝a3，b1＞b2＞b3，也有z1z3，故B正确；对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，由z1z2得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，从而“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，所以z1＋zz2＋z，故C正确；对于D，令z1＝1＋i，z2＝－2i，z＝2i，则有z0，但z·z1＝－2＋2i，z·z2＝4，显然有z·z2z·z1，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．在复平面内，复数2－i与3＋2i对应的向量分别是与，其中O是原点，向量所对应的复数是________． 答案：1＋3i 解析：＝－，而与对应的复数分别为2－i与3＋2i，所以向量所对应的复数是(3＋2i)－(2－i)＝1＋3i. 13．设复数z＝＋，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________．(本题第一空2分，第二空3分．) 答案：1　 解析：因为＝＝－i，＝＝i，所以z＝(－i)2 024＋i2 025＝1＋i，所以＝1－i，则的虚部为1，|z|＝. 14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1，w2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点，如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________． 答案： 解析：设w1＝a1＋b1i，w2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，则＝(a1，b1)，＝(a2，b2).因为w1⊙w2＝0，所以a1a2＋b1b2＝0，所以⊥，所以∠P1OP2＝. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数． (1)求复数z；(5分) (2)若w＝，求复数w以及模|w|.(8分) 解：(1)(1＋3i)·(3＋bi) ＝(3－3b)＋(9＋b)i， 因为(1＋3i)·z是纯虚数， 所以3－3b＝0，且9＋b≠0， 所以b＝1，所以z＝3＋i. (2)w＝＝ ＝＝－i. 所以|w|＝ ＝. 16．(15分)已知复数z1满足(2＋i)z1＝3＋4i，z2＝m－i，其中m∈R，i为虚数单位． (1)求z；(6分) (2)若|＋z2|<2|z1|，求实数m的取值范围．(9分) 解：(1)由(2＋i)z1＝3＋4i， 得z1＝＝＝2＋i， 所以z＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)因为＋z2＝2－i＋m－i＝(2＋m)－2i， 由|＋z2|<2|z1|， 得<2， 解得－6<m<2． 所以实数m的取值范围为(－6，2). 17．(15分)已知复数z的实部为正数，|z|＝，z2的虚部为2． (1)求复数z；(6分) (2)若－z2在复平面内对应的向量为，求向量的模．(9分) 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由条件|z|＝， 可得a2＋b2＝2　①. 因为z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2　②. 联立①②，解得a＝b＝1或a＝b＝－1． 又复数z的实部为正数，所以a＞0，所以a＝b＝1，于是z＝1＋i. (2)由(1)知z＝1＋i，则－z2＝－(1＋i)2＝1－3i， 则＝(1，－3)， 所以向量的模为＝. 18．(17分)已知复数z1＝2＋i，2z2＝. (1)求z2；(7分) (2)在△ABC中，B＝，且u＝cos A＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．(10分) 解：(1)因为z1＝2＋i，2z2＝， 所以z2＝＝＝－i. (2)因为u＋z2＝cos A＋2icos2－i＝cosA＋icos C， 所以|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos 2A＋cos 2C)＝1＋cos (A＋C)cos (A－C)＝1＋cos ·cos (A－C)＝1－cos (A－C). 因为B＝，所以A＋C＝， 所以A－C＝－2C， 所以A－C∈， 所以cos (A－C)∈， 所以|u＋z2|的取值范围为. 19．(17分)已知－2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根． (1)求p，q的值及方程的另一个根；(4分) (2)若实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的两根为x1，x2，请猜想两根x1，x2与实系数a0，a1，a2有怎样的结论？并用方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根进行验证；(6分) (3)若z＝x＋yi(x，y∈R)，则复平面内满足|z－(p＋qi)|＝3的动点Z(x，y)的集合是什么图形？(7分) 解：(1)因为－2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以有(－2＋i)2＋p(－2＋i)＋q＝0，整理得(3－2p＋q)＋(p－4)i＝0， 故有解得 可得方程x2＋4x＋5＝0的根为x＝＝＝－2±i， 所以另一 个根为－2－i. (2)猜想： 实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则 验证：方程x2＋4x＋5＝0的根为x1＝－2＋i，x2＝－2－i， x1＋x2＝－4，x1·x2＝(－2＋i)(－2－i)＝5． (3)由(1)可知|z－(p＋qi)|＝3可化为|(x＋yi)－(4＋5i)|＝|(x－4)＋(y－5)i|＝3， 所以＝3，表示点(x，y)与点(4，5)的距离为定长3， 故复平面内满足|z－(p＋qi)|＝3的动点Z的集合是以(4，5)为圆心，3为半径的圆． 学生用书第37页 学科网（北京）股份有限公司 $$