11.2 平面的基本事实与推论-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

　 第十一章　11.2　平面的基本事实与推论 知识层面 1．掌握平面的画法及表示方法．　 2．掌握平面的基本事实及推论．　 3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题． 素养层面 通过平面画法的学习，培养直观想象核心素养；借助平面的基本事实及推论，培养逻辑推理核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 提示：不共线的三点． 问题2．如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？ 提示：不在平面α内；在平面α内． 问题3．把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只交于一点？ 提示：不是，相交于一条直线． 新知构建 知识点一　平面的基本事实 1．基本事实1 自然语言 图形语言 符号语言 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面．可简单地说成“不共线的3点确定一个平面” 三点A，B，C，A∉直线BC⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 微提醒 (1)“有且只有一个”有两层含义，“有”表示存在，“只有一个”表示唯一，所以“有且只有一个”表示存在并且唯一，这就表明这个图形是确定的，所以也可以说成“确定一个”． (2)值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面． (3)基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面． 2．基本事实2 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α 微提醒 (1)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线(点集)上有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内． (2)基本事实2的作用是判断直线是否在平面内，点是否在平面内，也可以用来检验面是否为平面．根据性质，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内． 3．基本事实3 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α，且A∈B⇒α∩β＝a，且A∈a 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线． 微提醒 (1)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一点”就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的． (2)基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交．只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交．②解决点在线上或点共线问题．若点是某两个平面的公共点，则该点在这两个平面的交线上． 知识点二　平面基本事实的推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 自主检测 1．若空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中 A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 √ 空间四点A，B、C、D共面而不共线，则至少有一点不在其余点中的两点确定的直线上，如C∉AB，无论C点在何位置，C，A，B三点都不共线． 根据点、直线、平面间的关系，点与平面间的关系应该是属于的关系，所以C选项中α∩β＝A应该是A∈(α∩β)，故C选项是错误的．故选C． 2．下列结论不正确的是 √ 因为直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，所以M∈平面α，N∈平面α.又因为M∈l，N∈l，所以l⊂α.故选A． 3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N √ 因为平面α∩β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C∉l，所以C∈β，且C∉α，又AB∩l＝D， 所以D∈α，D∈CD，过A、B、C三点确定的平面记作γ，所以β∩γ为直线CD．故选D． 4．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过 A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D √ 如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条. 5．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________． 5 返回 合作探究 返回 例1 题型一　证明点共线问题 (一题多解)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线． 点拨：思路一　分别证明P，Q，R三点均在平面ABC和平面α内，利用基本事实3即可得出结论； 思路二　利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证点Q在直线PR上即可． 证明：方法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，由基本事实3可知，P点在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R两点也在平面ABC与平面α的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 方法二　因为AP∩AR＝A， 所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC⊂平面APR. 又Q∈BC，所以Q∈平面APR. 又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线． 规律方法 证明点共线问题的常用方法 证明点共线问题常用的方法有两种：(1)先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在交线上，从而共线；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上. 对点练1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、A1D1的中点．求证： (1)四边形B1EDF是菱形． 证明：取AD的中点G，连接FG，BG，如图所示， 因为B1B∥FG，B1B＝FG， 所以四边形B1BGF为平行四边形，所以BG∥B1F. 由ABCD -A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为线段BC， AD的中点， 可得四边形BEDG为平行四边形，所以BG∥DE，BG＝ DE， 则B1F∥DE，且B1F＝DE，即四边形B1EDF为平行四边形， 由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，所以四边形B1EDF是菱形． (2)直线A1C与平面B1FDE的交点与E、F三点共线． 证明：因为A1B1∥CD，所以A1，B1，C，D四点共面， 连接B1D，设直线A1C与B1D的交点为O， 因为O∈B1D，B1D⊂平面B1FDE， 所以O∈平面B1FDE，同理O∈平面A1BCD1， 因为平面B1FDE∩平面A1CBD1＝EF. 所以O在EF上，即O、E、F三点共线． 例2 题型二　证明线共点问题 三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点． 点拨：当试题是文字证明问题时，先要根据题意将其转化为符号语言，即写出它的已知和求证，然后应用相关的方法进行证明． 证明：已知：点A，直线a，b，c，平面α，β，γ，满足α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A． 求证：A∈c. 证明：因为a∩b＝A，所以A∈a，A∈b， 又α∩β＝a，β∩γ＝b， 所以a⊂α，b⊂γ，所以A∈α，A∈γ. 而α∩γ＝c，所以A∈c. 规律方法 证明三线共点的思路是，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，常结合平面的基本事实与推论，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的“交界”(第三条直线)上，从而证明三线共点． 对点练2．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，P，Q，R分别在棱AB，BB′，CC′上，且DP，RQ相交于点O. 求证：DP，RQ，BC三线共点． 证明：因为DP∩RQ＝O， 所以O∈RQ且O∈DP， 又DP⊂平面ABCD，RQ⊂平面BB′C′C， 所以O∈平面ABCD且O∈平面BCC′B′， 又平面ABCD∩平面BCC′B＝BC， 所以O∈BC，所以DP，RQ，BC三线共点． 例3 题型三　证明共面问题 已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 点拨：四条直线两两相交且不过同一点，可分成两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点．因而本题需分类后再进行各自的证明．需要注意的是，要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明．先证其中两条直线确定一个平面，再证其他直线也在这个平面内． 证明：(1)有三线共点的情况，如图． 设b，c，d三线相交于点K， 与直线a分别交于点N，P，M，且K∉a. 因为K∉a，所以点K和直线a确定一个平面，设该平面为α. 因为N∈a，a⊂α，所以N∈α. 所以NK⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，d⊂α. 所以a，b，c，d共面． (2)无三线共点情况，如图． 设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S. 因为a∩d＝M，所以直线a，d可确定一个平面α. 因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α. 所以NQ⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，所以a，b，c，d共面． 由(1)(2)知，a，b，c，d共面． 规律方法 证明共面问题的常用方法 1．纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. 2．辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合． 对点练3．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．证明： (1)E，F，G，H四点共面； 证明：如图，连接EF，GH. 因为GH是△A1B1C1的中位线， 所以GH∥B1C1． 因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F， 所以四边形B1EFC1是平行四边形， 所以EF∥B1C1， 所以EF∥GH， 所以E，F，G，H四点共面． (2)EG，FH，AA1三线共点． 证明：如图，延长EG，FH相交于点P. 因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1， 所以P∈平面ABB1A1． 所以P∈FH，FH⊂平面ACC1A1． 所以P∈平面ACC1A1． 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1， 所以P∈AA1， 所以EG，FH，AA1三线共点. 例4 题型四　确定两个平面的交线 如图所示，E，F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 点拨： 找出两个平面的公共点 → 两公共点的连线所在直线就是两个平面的交线 解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M. 因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD． 又B∈平面BED1F∩平面ABCD， 连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD． 即直线MB为所求两平面的交线． 规律方法 基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点． 对点练4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD的交线． 解：平面α与长方体表面的交线(A1P，C1P，A1C1)如图①所示． 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定：延长C1P，则它与CB的延长线一定相交，设交点为M，则M是平面α与平面ABCD的一个公共点；同理，延长A1P交AB的延长线于点N，则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点，连接MN，则直线MN就是平面α与平面ABCD的交线，如图②所示． 易错精析 易错点　忽略基本事实及推论应用的条件致误 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是 A．共面 B．不共面 C．共线 D．不确定 典例 正解：(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α， 因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内， 因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面． √ 返回 (2)如果B，C，D三点共线于l， 若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面． 若A，E中有且只有一个点在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面． 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面． 综上所述，A，B，C，D，E五点可能共线，也可能不共线；可能共面，也可能不共面． 易错探因：本题在求解时，要用到平面的基本事实1，但同学们容易忽略基本事实1中“不在一条直线上的3个点”这个重要条件，从而得出A，B，C，D，E五点共面的错误结论． 误区警示：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地考虑问题．对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件． 随堂演练 返回 当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，所以空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．故选D． 1．空间中四点可确定的平面个数有 A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 √ 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．故选D． 2．能确定一个平面的条件是 A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 √ 选项C中，共面不具有传递性，故C错误；A，B，D均正确． 3．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a，b，c为直线，下列推理正确的是 A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，且α，β不重合⇒α∩β＝MN C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 √ √ √ 4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空： (1)平面AB1∩平面A1C1＝________； (2)平面A1C1CA∩平面AC＝________； (3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________； (4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________． A1B1 AC OO1 B1 返回 课时测评 返回 由题意，分析可知，工人师傅运用的数学原理是：两条相交直线确定一个平面. 故选A． 1．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是 A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，而两平面相交为一条直线，故A，M，O三点共线；M，O，A1，A四点共面；A，O，C，M四点共面；故A、B、D都正确； 由长方体的结构特征知BB1OM是空间四边形，故B，B1，O，M不共面，故C错误.故选C. 2．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是 A．A，M，O三点共线 B． M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据概念可知经过共线3个点的平面有无数个．故C正确． 3．经过同一条直线上的3个点的平面 A．有且只有一个 B．有且只有3个 C．有无数个 D．不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，两条相互平行的直线可以确定一个平面，故A正确； 对于B，如果有三点共线，因为直线及直线外一点确定一个平面，所以这四个点必共面，与四点不共面矛盾，故B正确； 对于C，两条平行直线可以确定一个平面，也没有公共点，故C错误； 对于D，垂直于同一个平面的两条直线一定平行，所以两条异面直线不可能垂直同一平面，故D正确．故选ABD． 4．(多选)下列四个命题中正确的是 A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D． 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．(多选)下列四个命题中真命题的是 A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以AB⊂α，即l3⊂α，故两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，正确，故A是真命题； 对于B，若空间三点共线，则过这三点有无数个平面，故B是假命题； 对于C，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故C是假命题； 对于D，因为直线m⊥平面α，则m与平面α内的任意直线都垂直，又直线l⊂平面α，则m⊥l，故D是真命题，故选AD． 对于A、可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α； 若l3与l1相交，则交点B在平面α内，同理，l3与l2的交点A也在平面α内， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，又因为m⊂α，n⊂β，所以P∈α，P∈β，所以P∈α∩β，又因为α∩β＝l，所以P∈l. 6．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________． P∈l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为平面α∩平面β＝直线l，点A∈l，点B∉l，B∈α，点C∉l，C∈β，所以A，B∈α，A，C∈β，A，B，C∈平面ABC，C∉α，B∉β，所以平面ABC∩α＝AB，平面ABC∩β＝AC，因为点A∈l，点B∉l，点C∉l，所以平面ABC∩l＝A． 7．已知平面α∩平面β＝直线l，点A∈l，点B∉l，B∈α，点C∉l，C∈β，则平面ABC∩α＝________，平面ABC∩β＝________．平面ABC∩l＝________． AB AC A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三条直线两两平行，但不共面，可以确定3个平面； 共点的三条直线有两种情况：若共面只能确定1个平面，若不共面可以确定3个平面． 8．三条直线两两平行，但不共面，可以确定________个平面；共点的三条直线可以确定________个平面． 3 1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两条腰， 所以AB，CD必定相交于一点， 设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，且M∈β， 所以M∈(α∩β). 又因为α∩β＝l，所以M∈l， 即AB，CD，l共点． 9．(10分)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出平面PQR与平面BCD的交线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图所示．因为M∈CD，M∈RP，直线PR⊂平面PQR，直线CD⊂平面BCD， 所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 即M在平面PQR与平面BCD的交线上(设交线为l). 同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上，连接MN，则直线MN即为平面PQR与平面BCD的交线l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图，因为AC∥BD，所以AC，BD确定一个平面，设该平面为β，则C，D，l均在平面β内，因为点O在直线l上，所以点O在平面β内，又点O，C，D在平面α内，所以平面α，β相交于O，C，D三点所在直线(基本事实3)，故O，C，D三点共线． 12．(5分)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：因为PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ， 所以M∈平面PQR. 因为RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ， 所以N∈平面PQR. 所以直线MN⊂平面PQR. 13．(13分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K. (1)求证：直线MN⊂平面PQR；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：因为M∈直线CB，CB⊂平面BCD， 所以M∈平面BCD． 由(1)知M∈平面PQR， 所以M在平面PQR与平面BCD的交线上， 同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上， 所以M，N，K三点共线， 所以点K在直线MN上． (2)求证：点K在直线MN上．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)正方体是常见并且重要的多面体，对它的研究有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： (1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？(6分) 解：如图②，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q， 则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图②中的阴影部分所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？(3分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 $$