章末综合提升 复数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

章末综合提升 　 第十章　复数 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 例1 探究点一　复数的概念 已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R). (1)若复数z是实数，求实数m的值； 解：若复数z是实数，则m2－2m－15＝0，解得m＝5或－3． (2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围； 解：若复数z是虚数，则m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3． 故实数m的取值范围为{m|m≠5，且m≠－3}． (3)若复数z是纯虚数，求实数m的值． 解：若z是纯虚数，则 解得m＝－2． 规律方法 处理复数概念问题的两个注意点 1．当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi(a，b∈R)的形式，以便确定其实部和虚部． 2．求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． A．0 B．－1 C．1 D．－2 √ (2)设i是虚数单位，若复数a－ (a∈R)是纯虚数，则a的值为 A．－3 B．－1 C．1 D．3 √ 例2 探究点二　复数的几何意义 (1)复数z＝ (m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 规律方法 1．由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量 ＝(a，b). 2．复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想． 对点练2．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作□ABCD，求| |. 解：如图，设D(x，y)，F为□ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为 所以点D对应的复数为z＝3＋3i， 所以 表示的复数为3＋3i－1＝2＋3i， 例3 √ 探究点三　复数的四则运算 A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i √ 规律方法 1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似． 2．复数的除法运算，将分子分母同时乘分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式． 3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z( ＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1．故z＝i或z＝－1＋i.故选C． 对点练3．复数z满足z( ＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于 A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i 返回 教考衔接 明确考向 返回 真题 1 (2024·新课标Ⅰ卷)若 ＝1＋i，则z＝ A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i √ 真题 2 (2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i( ＋z)＝ A．10i B．2i C．10 D．2 √ 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i， 则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A． 真题 3 (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 真题 4 A．－i B．i C．0 D．1 √ 真题 5 A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i √ 返回 单元检测卷 返回 由(1＋2i)z＝4＋3i， 1．已知i为虚数单位，复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则复数z对应的点位于复平面内的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 9．设z＝(－t2＋4t－5)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是 A．z对应的点在第二象限 B．z一定不为纯虚数 C． 对应的点在实轴的下方 D．z可以为实数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3) B．z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3) C．(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3) D．z1*z2＝z2*z1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．则下列说法正确的是 A．1i0 B．若z1z2，z2z3，则z1z3 C．若z1z2，则对于任意z∈C，z1＋zz2＋z D．若z1z2，则对于复数z0，z·z1z·z2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，1的实部是1，i的实部是0，0的实部和虚部都是0，故A正确；对于B，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R)，由已知得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，“a2＞a3”或“a2＝a3且b2＞b3”，显然有a1≥a3，若a1＞a3，则z1z3，若a1＝a3，则a1＝a2＝a3，b1＞b2＞b3，也有z1z3，故B正确；对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，由z1z2得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，从而“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，所以z1＋zz2＋z，故C正确；对于D，令z1＝1＋i，z2＝－2i，z＝2i，则有z0，但z·z1＝－2＋2i，z·z2＝4，显然有z·z2z·z1，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1＋3i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1，w2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点，如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中， ∠P1OP2的大小为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数． (1)求复数z；(5分) 解：(1＋3i)·(3＋bi) ＝(3－3b)＋(9＋b)i， 因为(1＋3i)·z是纯虚数， 所以3－3b＝0，且9＋b≠0， 所以b＝1，所以z＝3＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知复数z1满足(2＋i)z1＝3＋4i，z2＝m－i，其中m∈R，i为虚数单位． (1)求 ；(6分) 解：由(2＋i)z1＝3＋4i， 所以 ＝(2＋i)2＝3＋4i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若| ＋z2|<2|z1|，求实数m的取值范围．(9分) 解：因为 ＋z2＝2－i＋m－i＝(2＋m)－2i， 由| ＋z2|<2|z1|， 解得－6<m<2． 所以实数m的取值范围为(－6，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)已知复数z的实部为正数，|z|＝ ，z2的虚部为2． (1)求复数z；(6分) 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由条件|z|＝ ， 可得a2＋b2＝2　①. 因为z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2　②. 联立①②，解得a＝b＝1或a＝b＝－1． 又复数z的实部为正数，所以a＞0，所以a＝b＝1，于是z＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知复数z1＝2＋i，2z2＝ . (1)求z2；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为u＋z2＝cos A＋2icos2 －i＝cosA＋icos C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以A－C＝ －2C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)已知－2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根． (1)求p，q的值及方程的另一个根；(4分) 解：因为－2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以有(－2＋i)2＋p(－2＋i)＋q＝0，整理得(3－2p＋q)＋(p－4)i＝0， 所以另一个根为－2－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 (2)若实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的两根为x1，x2，请猜想两根x1，x2与实系数a0，a1，a2有怎样的结论？并用方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根进行验证；(6分) 解：猜想： 实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2， 则 验证：方程x2＋4x＋5＝0的根为x1＝－2＋i，x2＝－2－i， x1＋x2＝－4，x1·x2＝(－2＋i)(－2－i)＝5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 (3)若z＝x＋yi(x，y∈R)，则复平面内满足|z－(p＋qi)|＝3的动点Z(x，y)的集合是什么图形？(7分) 解：由(1)可知 |z－(p＋qi)|＝3可化为|(x＋yi)－(4＋5i)|＝|(x－4)＋(y－5)i|＝3， 所以 ＝3，表示点(x，y)与点(4，5)的距离为定长3， 故复平面内满足|z－(p＋qi)|＝3的动点Z的集合是以(4，5)为圆心，3为半径的圆． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 十 章 　 复 数 返回 因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A． 因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3．故选D． 因为z＝＝＝[(m－4)－(2＋2m)i]，所以复数z对应的点Z.由得此时无解，故复数z对应的点Z不可能位于第一象限．故选A． 3 |z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，|z|min＝|OB|＝|OP|－＝. ， 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，所以2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件，得所以所以z＝1＋i.故选A． 因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i.故选C． 因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A． 由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B． 得z＝＝＝＝2－i，则复数z对应的点的坐标为(2，－1)，位于复平面内的第四象限．故选D． 由题得z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i.所以的虚部为.故选B． 因为a＋i＝－2＋bi且a，b∈R，则a＝－2，b＝，所以z＝＝＝＝i.故选C． 因为z＝＋i，＝(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到，所以＝(cos 150°，sin 150°)，即＝，所以对应的复数是－＋i.故选C． 设复数z对应的点为Z，复数z1＝2i对应的点为Z1(0，2)，则|ZZ1|＝，即点Z组成的集合是圆心在点Z1(0，2)，半径为的圆，所以|z|的最大值为2＋.故选C． ＝＝1－ai，则＝|1－ai|＝＝2，又a为正实数，所以a＝.故选B． ＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，所以z＝＝＝＝3－i.故选A． 因为－t2＋4t－5＝－(t－2)2－1＜0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，所以z对应的点在第二象限，故A正确；因为－t2＋4t－5＝0无解，所以z一定不为纯虚数，故B正确；因为z与对应的点关于实轴对称，所以对应的点在第三象限，满足在实轴的下方，故C正确；因为t2＋2t＋2＝0无解，所以z一定不是实数，故D错误． 对于A，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3)，故A为真命题；对于B，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故B为真命题；对于C，(z1*z2)*z3＝(z1)＝z1，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2)＝z1z3，故C为假命题；对于D，z1*z2＝z1，而z2*z1＝z2，故D为假命题．故选AB． ＝－，而与对应的复数分别为2－i与3＋2i，所以向量所对应的复数是(3＋2i)－(2－i)＝1＋3i. 因为＝＝－i，＝＝i，所以z＝ (－i)2 024＋i2 025＝1＋i，所以＝1－i，则的虚部为1，|z|＝. 设w1＝a1＋b1i，w2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，则＝(a1，b1)，＝(a2，b2).因为w1⊙w2＝0，所以a1a2＋b1b2＝0，所以⊥，所以∠P1OP2＝. 所以|w|＝＝. z z $$