章末综合提升 复数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

章末综合提升 探究点一　复数的概念 例1　已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R). (1)若复数z是实数，求实数m的值； (2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z是纯虚数，求实数m的值． 解：(1)若复数z是实数，则m2－2m－15＝0，解得m＝5或－3． (2)若复数z是虚数，则m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3． 故实数m的取值范围为{m|m≠5，且m≠－3}． (3)若z是纯虚数，则解得m＝－2． 处理复数概念问题的两个注意点 1．当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi(a，b∈R)的形式，以便确定其实部和虚部． 2．求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 对点练1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 (2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选A． (2)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3．故选D． 探究点二　复数的几何意义 例2　(1)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 学生用书第36页 (2)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是________． 答案：(1)A　(2)3　 解析：(1)因为z＝＝＝[(m－4)－(2＋2m)i]，所以复数z对应的点Z.由得此时无解，故复数z对应的点Z不可能位于第一象限．故选A． (2)|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，|z|min＝|OB|＝|OP|－＝. 1．由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b). 2．复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想． 对点练2．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，求||. 解：如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为， 所以即 所以点D对应的复数为z＝3＋3i， 所以＝－， 所以表示的复数为3＋3i－1＝2＋3i， 所以||＝. 探究点三　复数的四则运算 例3　(1)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i (2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则等于(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，所以2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件，得所以所以z＝1＋i.故选A． (2)＝＝ ＝＝4－3i.故选D． 1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似． 2．复数的除法运算，将分子分母同时乘分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式． 3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 对点练3．复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　　) A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i 答案：C 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1．故z＝i或z＝－1＋i.故选C． (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案：C 解析：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i.故选C． (2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 答案：A 解析：因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i.故选A． (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i， 则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A． (2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案：A 解析：因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A． (2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 答案：B 解析：由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $$