精品解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

芜湖一中2024-2025学年高三下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示列式求出值. 【详解】由，，得， 由，得，即，所以或. 故选：D 3. 一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ） A. 5760 B. 5660 C. 5642 D. 5472 【答案】D 【解析】 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 4. 设等差数列的前n项和为，已知为定值，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用等差数列的性质可得为定值，进而可得为定值. 法二：利用等差数列的通项公式可求得为定值，进而可得为定值. 【详解】法一：由，得，所以为定值， 所以，为定值. 法二，设等差数列的公差为， ，又为定值， 所以为定值，所以，为定值. 故选：B. 5. 若曲线与圆相切，则的值为（ ） A. 3 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分），再确定圆心坐标，从而得到的值. 【详解】曲线，则，又， 所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分）， 圆的圆心为，半径为， 又， 若，即时满足曲线与圆相切. 故选：A 6. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得球的半径，结合球与球、圆锥都相切时满足题意，进而求得球的半径，即可求解. 【详解】由边长为的正三角形的内切圆半径为， 即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为2， 所以放入一个半径为2的小球后，再放一个球， 如下图， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大， 所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图， 此时， 所以球的表面积为，圆锥表面积为， 所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为 故选： A 7. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数运算法则计算可得A正确，B错误，C正确，再由复数的几何意义并根据圆上点的距离最值问题可得D错误. 【详解】当时，，选项A正确； 若为纯虚数，则，选项B错误； 易知，选项C正确； 由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上， 的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误， 故选：AC. 10. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则最小值为 D. 若满足点的轨迹方程，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设,由,得,与对比,可得且,求解即可判断A，B；对于C，，利用三角形三边关系定理即可判断；对于D，等价于，根据的判别式的符号即可判定 【详解】设,由(且),得 所以 所以 又的轨迹方程为, 所以且, 解得(舍去)或, 所以,所以,所以,故A正确B错误 对于C， 连接交圆于 当且仅当、、三点共线时取等号，故C正确 对于D， 的判别式 因为满足，故设 则 （其中为第四象限角，） 所以 所以在上恒成立 故D正确 故选:ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用题设条件求出圆的半径，根据抛物线的定义求得点的坐标，最后利用斜率公式计算即得. 【详解】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 16. 秋收冬藏，禳禳满家，神州大地，又是一个丰收年.年我国粮食年产量首次迈上万亿斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的块试验田，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 现将亩产量不少于的试验田记为“优等田”. （1）从这块试验田中任选块田，求恰有块是“优等田”的概率； （2）以这块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取块试验田，记“优等田”的块数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合和古典概率公式，即可求解； （2）根据条件可知可能取值为，分别求出相应取值的概率，即可求出分布列；再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题知块试验田中，“优等田”有个， 所以从这块试验田中任选块田，恰有块是“优等田”的概率为. 【小问2详解】 由题意，估计每次抽取“优等田”的概率为，可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . 17. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 18. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. （1）求C的标准方程； （2）证明是定值，并求出该定值； （3）设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 【答案】（1）； （2）证明：将椭圆向右平移个单位，再向下平移1个单位得， 即， 运用齐次化方法，构造 平移后的直线， 设，则过点，则， ， 整理得， 显然和是的两个根， ，， ，得证. （3）证明：根据角平分线性质，可得，设， 直线：，令，得，同理， 代入，则， 两边平方化简得， 即， 即，得，即满足条件的轨迹是一个定圆， 联立其和椭圆，得，解得或（舍）， 综上，椭圆 上存在点或使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及短半轴长、椭圆参数关系求椭圆方程； （2）将椭圆中心作平移为，齐次化法设对应平移后直线 方程为，进而有，结合“1”的处理得到和是的两个根，应用韦达定理即可证明结论； （3）由题意，设，并得到、，代入等量关系式，结合（2）结论整理得，联立椭圆求出定点，即证结论. 【小问1详解】 由已知得，则 的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，将作为坐标中心，写出对应椭圆、直线 方程，进而有和是的两个根，第三问，利用及、得到的轨迹为关键 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. （1）判断函数在上是否为1级速增函数，说明理由. （2）若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立. （3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 【答案】（1）是；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合“1级速增函数”定义，转化为证明，经过因式分解、配方等运算即可证明； （2）由定义赋值可得，再利用累差法可证； （3）由定义得恒成立，分离参数转化为恒成立.先后构造函数与函数，利用导函数求解最值可得的取值范围. 【小问1详解】 函数在上为1级速增函数.证明如下： 任意，则， 则 ， 所以任意，， 故由定义可知，函数在上为1级速增函数. 【小问2详解】 若函数在区间上为2级速增函数， 则当时，， 所以对，恒成立. 有，，，， 各式相加得. 又，则. 故对任意，恒成立. 【小问3详解】 若在区间上为级速增函数， 则任意，有恒成立. 则恒成立. 令， 则 由，则， 故，故，在上单调递增， 所以，且； 故由恒成立，则对任意恒成立； 再令，则， 故当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 故， 故由恒成立可得，. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在于理解定义并转化为不同形式的不等式解决问题，如第（2）问中利用定义赋值构造不等式，从而利用累差法证明不等式成立；再如第（3）问中由定义转化为对任意，恒成立，从而分离参数转化为函数最值问题求解参数范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2024-2025学年高三下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 3. 一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ） A. 5760 B. 5660 C. 5642 D. 5472 4. 设等差数列的前n项和为，已知为定值，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 5. 若曲线与圆相切，则的值为（ ） A. 3 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 6. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 11. 已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则最小值为 D. 若满足点的轨迹方程，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则______． 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 16. 秋收冬藏，禳禳满家，神州大地，又是一个丰收年.年我国粮食年产量首次迈上万亿斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的块试验田，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 现将亩产量不少于的试验田记为“优等田”. （1）从这块试验田中任选块田，求恰有块是“优等田”的概率； （2）以这块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取块试验田，记“优等田”的块数为，求的分布列和期望. 17. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 18. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. （1）求C的标准方程； （2）证明是定值，并求出该定值； （3）设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. （1）判断函数在上是否为1级速增函数，说明理由. （2）若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立. （3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $