15 章末综合提升 三角函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

章末综合提升 　 第七章　三角函数 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 例1 解： 故角θ是第二或第三象限角． 角θ是第二象限角， 探究点一　 任意角的三角函数 规律方法 在任意角的正弦、余弦、正切的定义中，注意r＝ ，尤其是已知点的某一坐标，求另一坐标时注意符号的选取，从而得到角的其他三角函数值．　　 √ √ √ √ 例2 探究点二　诱导公式的应用 规律方法 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值．　　 探究点三　三角函数图象与性质的应用 例3 (1)求函数f(x)的解析式，并写出它的对称中心； (2)求函数f(x)的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)若函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值． 规律方法 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题时，把ωx＋φ看作一个整体来解决．　　 探究点四　三角函数的简单应用 某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t).已知某日海水深度的数据如下： 例4 t(时) 0 2 4 6 8 10 12 y(m) 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 t(时) 14 16 18 20 22 24 y(m) 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 (1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为7.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 即2＋12k≤t≤6＋12k， 故船舶至多能在港内停留16小时． 规律方法 在三角函数的实际应用中，关键是构建三角函数模型，然后利用模型解决实际问题．　　 对点练4.(一题多问)筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图①)．如图②，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，若以盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初始时刻，设经过t秒后盛水筒P到水面的距离为f(t)(单位：米)(在水面下则f(t)为负数)．筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上． (1)求函数f(t)的表达式； 解： (2)求第一筒水倾倒的时刻t和相邻两个盛水筒倾倒的时间差； (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌．(精确到0.1小时) 所以所需时间为20＋(10 000－1)×5＝50 015秒，约为13.9小时． 所以约13.9小时可完成该稻田的浇灌． 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为 A．3 B．4 C．6 D．8 真题1 √ 由图可知，这两个图象共有6个交点．故选C． (2022·北京卷改编)已知函数f(x)＝cos 2x，则 √ 真题2 √ 真题3 (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有 A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ 真题4 √ 真题5 返回 单元检测卷（一） 返回 1．5弧度的角的终边所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为 <5<2π，因此5弧度的角的终边在第四象限．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．若sin α<0且tan α>0，则α是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 √ 因为sin α<0，所以角α的终边在第三、第四象限或y轴负半轴上，又因为tan α>0，所以角α的终边在第一或第三象限，综上可知，角α是第三象限角． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故构成的集合为 .故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移 个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为 A．4 B．6 C．8 D．12 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 画出函数f(x)的图象，如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．(2024·山东青岛高一检测)2024年2月4日，“龙行中华－－甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图①)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图②)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈ ，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为__________．(结果保留整数) 15 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由(1)知： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．(10分) 解：f(x)为周期函数，由于f(x) 所以最小正周期T＝2π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以f(x)为非奇非偶函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤0)． 解：因为T＝π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则ωmin＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即f(x)＝Asin(2x＋φ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)，且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B且sin α＝，所以＝＝，所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a>0，所以角α为第二象限的角，所以b<0，所以a＝，b＝－2，故A错误，B正确，所以cos α＝＝ －，tan α＝＝－＝－，故C，D正确．故选BCD． 所以f(x)取最小值时x的集合为 . 解：由(1)知f ＝2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g＝2sin的图象． 因为f ＝cos 2x.对于A选项，当－<x<－时，－π<2x<－，则f 在上单调递增，故A错误；对于B选项，当－<x<时，－<2x<，则f 在上不单调，故B错误；对于C选项，当0<x<时，0<2x<，则f 在上单调递减，故C正确；对于D选项，当<x<时，<2x<，则f 在上不单调，故D错误．故选C． － 设A，B，由＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图 可知，ωx2＋φ－＝π－＝，即ω＝， 所以ω＝4.因为f ＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－π＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f ＝sin或f ＝ －sin，又因为f<0，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝－. π . 6．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f ＝ A． B． C．0 D．－ f ＝f ＋sinπ＝f ＋sinπ＋sinπ＝f＋sinπ＋sinπ＋sinπ＝0＋－＋＝.故选A． 函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得y＝2sin的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g(x)＝2sin＋1的图象，所以函数y＝g(x)的值域为[－1，3]．若g(x1)·g(x2)＝9，则g(x1)＝3且g(x2)＝3，均为函数y＝g(x)的最大值，由4x－＝＋2kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；其中x1，x2是三角函数y＝g(x)最高点的横坐标，所以|x1－x2|的值为函数y＝g(x)的最小正周期T的整数倍，且T＝＝.故选C． 由图象可得T＝π－π，所以T＝π，则ω＝2.又图象过点，所以2sin＝2，又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)． f(x)＝2sin (k∈Z) x － － － y 2 1 1－ 1 1＋ 2 x － 2x＋ 0 π 2π f(x) 0 2 0 －2 0 函数g(x)＝f(x)＋1在上至少含20个零点时，等价于f(x)与y＝－1在上至少含20个交点， 结合函数与图象可知在一个函数周期内含两个交点，且第二个交点表达式为2sin＝－1，即sin＝－，2x＋＝π，x＝π，所以b的最小值为＋9×π＝. $$