11 7.3.4 正切函数的性质与图象-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.3.4　正切函数的性质与图象 　 第七章　7.3　三角函数的性质与图象 知识目标 1.能画出y＝tan x 的图象．　 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区 间 内的单调性．　 3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题． 素养目标 通过正切函数图象与性质的学习，培养学生直观想象核心素养；借助正切函数图象与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 (2)列表： 问题导思 (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示)． 问题2.我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题． (1)正切函数是否存在单调递减区间？ (2)正切函数是否存在对称轴？ 提示：不存在对称轴． (3)正切函数是否存在对称中心，若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上． 知识点　函数y＝tan x的性质与图象 新知构建 解析式 _____________ 图象 定义域 _____________________________ 值域 ________________________ y＝tanx R 周期 _________ 奇偶性 _______函数 单调性 在开区间________________________上都是增函数 零点 x＝kπ(k∈Z) 对称性 无对称轴； 对称中心： (k∈Z) π 奇 微提醒 1．下列说法正确的是 A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 自主检测 由正切函数的图象可知D正确． √ A．1 B．2 C．3 D．4 √ √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　求函数的定义域 例1　 求下列函数的定义域： 所以函数的定义域为 规律方法 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠ ＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． √ 题型二　正切函数的单调性及其应用 角度1　求函数的单调区间 点拨：先利用诱导公式将函数化简，再利用正切函数单调性求解． 角度2　比较大小 例3　 比较大小：tan 1，tan 2，tan 3. 点拨：可根据正切函数的单调性进行比较． 解：由诱导公式可知tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法 1．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 规律方法 2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－ <ωx＋φ<kπ＋ ，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．　　 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 题型三　正切函数图象与性质的综合应用 点拨：利用正切函数的性质求解． 解：要使函数有意义自变量x的取值应满足 所以函数的周期为2. 规律方法 解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 1．对称性：正切函数图象的对称中心是 (k∈Z)，不存在对称轴．　　 2．单调性：正切函数在每个 (k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 解：由已知，得 微专题(二)　思想方法 与三角函数相关的函数零点问题 典例 点拨：tan x－sin x＝0的根即为tan x＝sin x的根，也就是y＝tan x与y＝sin x交点的横坐标，所以可根据图形进行分析． [名师点评]　数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法． 返回 随堂演练 返回 1．函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是 由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在 上单调递增，图象为A．故选A． √ √ √ < 返回 课时测评 返回 由正切函数的周期公式得T＝ .故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是 A．a>b>c B．a<b<c C．b>a>c D．b<a<c √ tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan (5－π)，由正切函数在 上为增函数，可得tan 3>tan 2>tan(5－π)即b>a>c.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“>”或“<”) 因为90°<135°<138°<270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°<tan 138°. < 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(13分)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求函数的解析式；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求函数的单调区间；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 又b－a的最小值不小于2 025， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 提示：不存在单调递减区间．正切函数在每一个开区间 (k∈Z)上都单调递增． ，k∈Z (1，] . 对点练2.设函数f(x)＝tan. 对点练3.已知函数f(x)＝3tan. (1)求函数f(x)的定义域与单调区间； (2)比较f 与f 的大小． 解：由题意知，f ＝3tan＝－3tan <0， f ＝3tan＝3tan＝3tan >0， 所以f <f . 当x∈时，确定方程tan x－sin x＝0的根的个数． 3．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是 A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 7．函数y＝2tan－1的对称中心为______________________． ，k∈Z 8．若y＝tan，则该函数的定义域为______________________． 从而函数解析式为y＝tan. (3)求不等式－1<f(x)<的解集．(6分) 得－＋<x<＋(k∈Z)， 所以不等式的解集为 . 13.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则 f ＝______. 由图象可知，此函数的半周期等于－＝＝，故周期为，所以ω＝2.又图象过定点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.由图象过定点(0，1)可知1＝A·tan，所以A＝1.综上，f(x)＝tan.故f ＝tan＝tan ＝. 14．(17分)(一题多问)已知函数f(x)＝tan，ω>0. (1)若ω＝2，求f 的最小正周期与函数图象的对称中心；(4分) (2)若f 在上是增函数，求ω的取值范围；(5分) 解：因为f 在上是增函数， (3)若方程f ＝在上至少存在2 024个根，且b－a的最小值不小于2 025，求ω的取值范围．(8分) $$