热点5-2 数列通项与前n项和常用求法（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点5-2 数列通项与前n项和常用求法 三年考情分析 2025考向预测 以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前项和公式，以及错位相减法、裂项相消法等求和方法． 预计2025年高考数列中与之间的互化关系依旧是一个热点．要注意函数思想、方程思想、分类讨论思想的灵活应用，解答题的难度有逐年增大的趋势，尤其是新颖题型的出现． 题型1 由与的关系求通项 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，，则 . 2．（23-24高三下·广东湛江·模拟预测）数列满足，则 . 3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且，，则 ． 4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 题型2 累加法与累乘法求通项 1、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． 2、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解． 1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 3．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 题型3 利用构造法求通项 1、形如（其中均为常数且）型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 2、形如型 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列； （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：． 1．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西忻州·月考）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 题型4 斐波那契数列的求解 1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：； ④平方和：（利用正方形面积公式推导）． 1．（24-25高三上·江西上饶·月考）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ． 3．（23-24高三下·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项． 4．（24-25高三下·福建·开学考试）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为 ． 题型5 利用公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）常用公式： ①平方和公式：； ②立方和公式：． （4）如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和． 1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 3．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足． (1)若，且成等差数列，求； (2)若，且，求数列的通项公式及前项和． 4．（24-25高三上·甘肃兰州·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 题型6 奇偶（并项）分组求和 1、常见类型 （1）通项含有或或或； （2）型； （3）型； （4）． 2、注意事项： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”； ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可； ③并项后要注意新数列的项数． 1．（24-25高三上·河北保定·期末）（多选）已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南·月考）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 4．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型7 利用裂项相消法求和 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项积. 2．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和，并比较与的大小. 3．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 4．（23-24高三下·天津·月考）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 题型8 利用错位相减法求和 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 3．（24-25高三上·新疆·模拟预测）已知在正项数列中，，，，则（    ） A． B．3 C． D．4 4．（24-25高三上·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 5．（24-25高三上·江西·月考）设是公差为2的等差数列，且，若，则（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 6．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆·月考）已知数列满足：，，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 8．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 10．（24-25高三上·河南·三调）数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 11．（23-24高三下·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列满足，且，，，则数列的前10项和为 . 13．（24-25高三上·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 14．（24-25高三上·山西太原·期末）在正项数列中，，是的前项和，且满足，若，则的前项和 . 四、解答题 15．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 16．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 17．（24-25高三上·天津·月考）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点5-2 数列通项与前n项和常用求法 三年考情分析 2025考向预测 以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前项和公式，以及错位相减法、裂项相消法等求和方法． 预计2025年高考数列中与之间的互化关系依旧是一个热点．要注意函数思想、方程思想、分类讨论思想的灵活应用，解答题的难度有逐年增大的趋势，尤其是新颖题型的出现． 题型1 由与的关系求通项 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【解析】①， ∴当时，，解得； 当时，②， ①-②得，而，故，. ∴数列是首项为，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为. 2．（23-24高三下·广东湛江·模拟预测）数列满足，则 . 【答案】 【解析】因为， 当时， 当时， 所以，所以， 当时不成立，所以. 3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以是等差数列，公差为3，又， 所以，即. 题型2 累加法与累乘法求通项 1、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． 2、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解． 1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【解析】数列中，，， 则.故选：B 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得，所以， 又，所以， 经检验时也成立， 所以.故选：B 4．（23-24高三下·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【解析】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 题型3 利用构造法求通项 1、形如（其中均为常数且）型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 2、形如型 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列； （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：． 1．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以.故选：A. 2．（24-25高三上·山西忻州·月考）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得，可知数列为等差数列， 又因为，即，即， 可知是2为公差的等差数列， 且，则， 可得，即，所有.故选：B. 3．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以．故选：C. 4．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，. 题型4 斐波那契数列的求解 1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：； ④平方和：（利用正方形面积公式推导）． 1．（24-25高三上·江西上饶·月考）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为.故选：C 2．（24-25高三上·重庆·月考）数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ． 【答案】2024 【解析】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，， 由,得, 所以，，，...， 将这个式子左右两边分别相加可得： 所以. 所以 , 所以. 3．（23-24高三下·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项． 【答案】2025 【解析】依题意有： ， 所以：， 故答案为：2025. 4．（24-25高三下·福建·开学考试）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】由，得， 得，得， 得，， 所以， 令，则数列即为斐波那契数列， ，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列， 由，得，，，， ，， 因为，， 所以使得成立的的最小值为8． 题型5 利用公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）常用公式： ①平方和公式：； ②立方和公式：． （4）如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和． 1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）易知 故求数列的通项公式分别为. （2）由（1）知： 设数列的前项和为，数列的前项和为，则 则数列的前n项和. 2．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列； （2）由（1）可得， 则，故； （3）由（2）可得， 则 . 3．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足． (1)若，且成等差数列，求； (2)若，且，求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）当时，， 根据题意有， 所以， 化简得，解得． （2），则， 由，① 所以，② ②①得， 即， 所以且． 所以为等差数列，首项为，公差为， 所以． 所以． 4．（24-25高三上·甘肃兰州·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． （2）由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 题型6 奇偶（并项）分组求和 1、常见类型 （1）通项含有或或或； （2）型； （3）型； （4）． 2、注意事项： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”； ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可； ③并项后要注意新数列的项数． 1．（24-25高三上·河北保定·期末）（多选）已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】在数列中，，， 当时，，则， 对任意的，由可得， 上述两个等式作差可得， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，可得，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 因此，D对.故选：ACD. 2．（24-25高三下·湖南·月考）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 又数列是等差数列，且. 所以，所以. （2）因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 4．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）当时，，且，所以； 当时，由，得，则 ，可得， 即，且，可得， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，可得， 且，可知是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即. （2）由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列； 偶数项是以为首项，2为公差的等差数列. 当时，； 当时，； 综上所述：. 题型7 利用裂项相消法求和 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 则，所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 所以. 2．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和，并比较与的大小. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为等差数列，设公差为， 因为，，所以，解得，故. （2）因为， 所以， 则对，， 又，故. 3．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得， 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 （2）由， 则， 所以的前n项和 4．（23-24高三下·天津·月考）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）设公差为，公比为， ，，，解得或， ，，故数列的通项公式为， ，， ，，解得，， 故数列的通项公式为； （2）根据题意，， 则，① ，② ①－②： ， 所以； （3）根据题意，， 则． 题型8 利用错位相减法求和 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）①， 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以，满足， 所以. （2）因为， 所以， 即③， 所以④， 由③-④可得， 即， 所以， 整理得. 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2). 【解析】（1），又， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）由（1）知，则， ∴， ①， ②， ①②，得 ， ∴． 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为数列的各项都为正数， 且（，）， 所以数列是等比数列，设等比数列的公比为（）， 由，，得， 即，解得或（舍）， 所以. 设等差数列的公差为， 由题意得，解得 所以. （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以. 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和为. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得， 两式相减得， 因为，，所以， 所以，故， 所以数列是以为首项，以为公差的等比数列， 所以； （2）由（1）知：， 所以， 则， 两式相减得， ，， 所以. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【解析】由得， ， .故选：D 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【解析】因为， 所以，故选：C. 3．（24-25高三上·新疆·模拟预测）已知在正项数列中，，，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】依题意数列为首项为1，公差为4的等差数列，.， ， .故选：A. 4．（24-25高三上·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】A 【解析】设公差为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，， 此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前项和为， ，故A正确.故选：A 5．（24-25高三上·江西·月考）设是公差为2的等差数列，且，若，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】B 【解析】由，得，则， 从而．故选：B 6．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把代入整理得：， 故.故选：D 7．（24-25高三上·重庆·月考）已知数列满足：，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】由，则， 所以 所以，，…，， 各式相加得：，则.故选：C. 8．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为.故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为：，D正确.故选：BD. 10．（24-25高三上·河南·三调）数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，由，得①， 当时，；当时，②， 由①－②，得，解得， 当时也成立，所以，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，数列的前项和为，故C错误； 对于D，因为，当时，，当时，，且， 故当或9时，的前项和取最小值， 最小值为，故D正确.故选：AD. 11．（23-24高三下·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 所以，所以A错误， 对于B，当时，，，， 所以三式相加得， 所以，所以B正确， 对于C，因为数列满足：，， 所以，，，……， ，，， 以上2023个等式相加得, 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，， 所以，, ,, ……, , 所以，所以D正确，故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列满足，且，，，则数列的前10项和为 . 【答案】2036 【解析】因为，且，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以数列的前10项和为： . 13．（24-25高三上·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】由，则，即， 又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 14．（24-25高三上·山西太原·期末）在正项数列中，，是的前项和，且满足，若，则的前项和 . 【答案】 【解析】由，得， 两式相减得，即， 当，显然不满足，所以， 当时，可得，又，所以， 所以数列的奇数项，偶数项分别构成以4为公差的等差数列， 且首项分别为1，3，所以可得，所以， 所以， 所以. 四、解答题 15．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得．所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 16．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以，即， 由，解得. 由，所以是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 . 17．（24-25高三上·天津·月考）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明： ， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$