精品解析：2025届河南省信阳市浉河区信阳高级中学高三二模数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期02月测试（一） 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得. 【详解】显然，由，得， 当时，即，解得，满足，则； 当时，则，解得； 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算得出复数即对应的共轭复数，再由复数的几何意义得到结果. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应点的坐标为， 位于第三象限. 故选：C. 3. 甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为. 故选：C 4. 设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积和模长关系分析可知等价于，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为， 则，解得， 即等价于， 若为钝角，则，即充分性成立； 若，则为钝角或平角，即必要性不成立； 综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 6. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 7. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断A；根据排列数的定义即可判断B；根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断C；根据组合数的运算性质即可判断D． 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 8. 三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设三个圆锥的高分别为，，．母线与轴线的夹角为，分别表示出三个圆锥的体积以及侧面积，利用，可化简得到，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设三个圆锥的高分别为，，，底面半径分别为，，， 母线长分别为，，，母线与轴线的夹角为， 则， ， ， 由，得， ， ， ， 由 可得， 则，则， 令，，得， 令，解得；令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，故． 故选：A 【点睛】关键点睛：根据题意，用圆锥的高表示出，并化简为，令，，再利用导数研究函数的最值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. “”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求解可判断A，由偶函数求得时的解析式即可判断B，通过特殊值可判断C，通过可判断D； 【详解】对于A，由解得：且，所以的定义域为，故A错； 对于B，当时，所以，由偶函数性质可得：， 所以，即，正确； 对于C：当时，，此时无意义，故C错； 对于D：当时，即为：恒成立，故D错； 故选：ACD 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期是，， B. 函数的对称中心为 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为，故A正确；B项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与比较可得. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ， ，则， 解得，因为，则， 所以函数的解析式为， A项，函数的最小正周期是，，都正确，故A正确； B项，由，解得，. 得函数的对称中心为，，故B错误； C项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，并非函数，故C错误； D项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，故D正确. 故选：BC. 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照的取值进行分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围. 【详解】由可得，解得或， 由可得（*）. ① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意； ② 若，即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，故，解得； ③ 若， 即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，则，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 14. 已知正方形的边长为，两个点，(两点不重合)都在直线的同侧(但，与在直线的异侧)，，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点轨迹，由轨迹特征求点到直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，，所以，， 因为，所以，即位于双曲线的右支上， 渐近线方程为或， 设点到直线的距离为，又直线与直线：的距离为， 点到直线的距离为，则， 又， 所以面积的取值范围是 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解. （2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意， 当时，， 两式相减得， 因为为等差数列，在式子：中令， 得，所以， 所以或， 若，则，但这与矛盾，舍去， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 而当时，，所以此时， 所以此时， 而也满足上式， 综上所述，的前项和. 16. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 取的中点，连接， ∵， ∴，又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求证面，由线面垂直的性质定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用向量法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 17. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 【答案】（1） 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 能； （2）①该回归直线方程有价值；②112.0. 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果. （2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值. 【小问1详解】 列联表如下： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联． 根据列联表中的数据，计算得 ， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联． 【小问2详解】 ①由题意，得， 得， 由， 得 ， 所以该回归直线方程有价值． ②因为，即， 所以， 又． 故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0． 18. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定、，即可求解 （2）①根据直线与椭圆相切于第一象限内的点，求出，再根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，由此可求；②根据已知条件与平行关系确定，由平行四边形确定，再结合，得，分两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，从而，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. （1）求的最大值； （2）当时，均有，求满足条件的的个数； （3）对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）. 【答案】（1）140 （2）42 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求的答案； （2）由题可得出，由此结合排列组合的知识，即可求得答案； （3）由题意可知，不妨取一个闭环函数，然后结合“m阶闭环函数”的定义，证明该函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数，即可证明原命题. 【小问1详解】 由题意得 ， 当且仅当时取等号， 即的最大值为140； 【小问2详解】 由题意知， 从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列， 故共有个满足条件； 【小问3详解】 证明：以下面表格作为的函数关系： x 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 6 7 4 ， 故为3阶闭环函数； 又， 故也为4阶闭环函数， 故原命题得证. 【点睛】难点点睛：本题考查函数的新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此去解决问题，解答的难点在于（3）中对“m阶闭环函数”的定义的理解，关键在于取一个闭环函数后，要说明该函数符合3阶闭环函数以及4阶闭环函数的定义，从而证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期02月测试（一） 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 7. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A. B. C. D. 8. 三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. “”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期是，， B. 函数的对称中心为 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为__________． 13. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 14. 已知正方形的边长为，两个点，(两点不重合)都在直线的同侧(但，与在直线的异侧)，，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 16. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 17. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 18. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 19. 若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. （1）求的最大值； （2）当时，均有，求满足条件的的个数； （3）对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $