精品解析：安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

蒙城县2024—2025年度第一学期义务教育教学质量检测 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大，则可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大， ∴， 解得：， 观察选项，只有0符合题意． 故选：C． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 4. 已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足：离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， ∴．   故选：B ． 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线的性质得出 求出 ，证出 ，得出，得出，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，再由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵ 与AC相切于点D， 故选A． 【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键． 8. 如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，正方形和正方形的顶点，，的同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是：（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的性质及勾股定理可求，再根据线段的和差关系可求的长；②根据正方形的性质和平角的定义可求；③作于K，交于，连接交于，证明，可得；④证明四边形为正方形，可得，证明，利用相似三角形的性质可得． 【详解】解：①∵，正方形， ∴，，， ∵正方形， ∴，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴，故②正确，符合题意； ③作于K，交于，连接交于， 则，，，四边形为矩形， ∴， ∴，故③正确； ④∵正方形，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④错误； 综上：正确的有①②③； 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，含45°的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定的难度，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿的路径运动到点C停止，连接，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D，如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D，如图3所示，当点Q到达C点后，即时，分别求出y与x的关系式即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，， ∵P、Q运动速度相同， ∴ 如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D， 在中，， ∴； 如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D， 由题意得，， 在中，， ∴； 如图3所示，当点Q到达C点后，即时， 由题意得， ∴； ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求出三种情况下的函数解析式即可得到答案． 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分、满分20分） 11. 若,则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质1，通分，是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 条件式两边都加1，通分即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 线段上有一点，，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例性质、解一元二次方程，熟练掌握比例性质是解答的关键．先根据内项之积等于外项之积列方程，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵点是线段上一点，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 13. 如图，半径为6的沿弦折叠，弦恰好经过圆心，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，过点作于交于，勾股定理求出，然后再进一步求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于交于． ∴，     由题意垂直平分线段，， ， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且． （1）______． （2）过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与正比例函数图象交点问题； （1）先将代入正比例函数，得，进而得出，根据，可得，即可求出点A的坐标，从而得到， （2）然后判断是等腰直角三角形，根据勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线上一点， ∴ ∴， ∵点 ∴ ∵ ∴ 由∵在上 设， ∴ 解得：（负值舍去） ∴点A的坐标为， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ ∵,轴于点， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ 设，则， 即点D的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、（本大题共2小题,每小题8分,满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、分母有理化，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．代入特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求 （2） 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换， （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题,每小题8分、满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）D为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式，根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式； （2）依据题意，结合（1）将抛物线化为顶点式，即可得到点D的坐标，再根据题意和图形，可知的面积的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：由题意，∵直线经过B、C两点，且点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴直线的解析式是． 又∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）， ∴该抛物线顶点D的坐标为． 设直线与抛物线对称轴交于点E， ∵点D的坐标为， ∴点E的横坐标为． ∴将代入直线，得， ∴， ∴的面积是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 【答案】的高度约为． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 五、（本大题共2小题,每小题10分,满分20分） 19. 已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2） ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到即可； （2）根据，得到，，推出，证明，得到，进而得到，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 如图，，点在上，过点作的平行线，与的角平分线交于点，点在上（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）写出线段和线段的数量关系，并证明； （2）求证：； （3）连接并延长，分别交，于点，，若，求的值． 【答案】（1） 解：线段与的数量关系为，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，则，进而可得； （2）由旋转的性质可得，，由，可得，则，，证明，则，进而结论得证； （3）如图，在上截取使，连接，由，可得，证明，则，，由，可得，则，即，，，由，可得，如图，作于点K，由，可得，，则即，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图，在上截取使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 如图，作于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，余弦等知识．解题的关键在于熟练掌握知识并灵活运用． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处． 素材2 小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变． 问题解决 任务1 确定滑行路径 求的值； 任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式； 任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上． 【答案】[任务一]；[任务二]；[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的平移，求抛物线与坐标轴的交点坐标； [任务一]待定系数法求解析式即可求解； [任务二]设抛物线的函数表达式为，根据抛物线求出落地点坐标，然后将，代入解析式，即可求解； [任务三]先求得跳台增高后的解析式，再令，解方程得出的值，令抛物线中，解方程得出的值，比较，即可求解． 【详解】解：[任务一]将代入抛物线，得， 解得： [任务二]由[任务一]可得抛物线， 当时，，则落地点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； [任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上， ∵跳台高度增加了米， ∴跳台增高后的解析式为 当时，， 解得：（舍去） 即小雪落地时距离点， 对于 当时，， 解得：（舍去） ∵ ∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙城县2024—2025年度第一学期义务教育教学质量检测 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大，则可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　） A. B. 2 C. D. 8. 如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，正方形和正方形的顶点，，的同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是：（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿的路径运动到点C停止，连接，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分、满分20分） 11. 若,则______． 12. 线段上有一点，，，那么______． 13. 如图，半径为6的沿弦折叠，弦恰好经过圆心，则弦的长为______． 14. 如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且． （1）______． （2）过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则______． 三、（本大题共2小题,每小题8分,满分16分） 15. 计算：． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 四、（本大题共2小题,每小题8分、满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）D为抛物线的顶点，求的面积． 18. 某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 五、（本大题共2小题,每小题10分,满分20分） 19. 已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 七、（本题满分12分） 22. 如图，，点在上，过点作的平行线，与的角平分线交于点，点在上（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）写出线段和线段的数量关系，并证明； （2）求证：； （3）连接并延长，分别交，于点，，若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处． 素材2 小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变． 问题解决 任务1 确定滑行路径 求的值； 任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式； 任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $