精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

红河州第一中学2024级高一下学期开学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，试比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 10. 已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 函数的周期是4 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________． 12. 若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 13. 已知，若关于的方程有四个实根，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）化简：； （2）求值：. 15. 设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，，求的值． 16. 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工作室现计划投入80万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约80万元. （1）求工作室未来五年内的前年的总利润（单位：万元）； （2）在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案. 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以52万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以72万元的价格售出. 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）解不等式：； （3）若表示a，b中较小的值），求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州第一中学2024级高一下学期开学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解指数不等式求出集合，通过解一元二次不等式求出集合，利用交集的定义即可求出结果． 【详解】由，得，∴ 由得， ∴ 所以. 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理对选项逐一验证判断可得结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 且,, ,， 即，根据零点存在性定理可得其零点所在的区间为. 故选：C 3. 已知，，试比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将､､与0､1相比较，即可得到结论. 【详解】∵， ， ， ∴. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可. 【详解】函数, 故函数是奇函数,图像关于原点对称，排除C、D， 当，排除B. 故选：A. 5. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由不等式的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增，所以. 由，得，反之也成立，则“”是“”的充要条件，故A错误. 由，推不出，则“”不是“”的必要条件，故B错误. 由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 同理可得，“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C 6. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，再根据函数的解析式，列式求解. 【详解】由，不妨假设， 则，即，即， 则函数单调递增， ，（且）， 则，解得：. 故选：D 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故， 故A成立； 对于B，，故B成立； 对于C，，而， 故，故C不成立； 对于D，，故D成立， 故选：ABD. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】观察图象确定函数的最大值，最小值求，确定函数的周期求，由求，由此可得函数解析式，然后由正弦函数的性质逐项判断即可； 【详解】由图函数的最大值为，最小值为，所以， 函数的周期，所以， 又，所以，则， 因为，所以，故， 对于A，，所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，若，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，该图象向右平移个单位长度可得的图象，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 函数的周期是4 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得关于直线对称，结合奇函数可得到是周期为4的函数，接着利用对称性和周期性对每个选项进行逐个判断. 【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以， 即的图象关于直线对称， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 所以是周期为4的函数，故A正确； 因为关于直线对称，且为奇函数， 所以关于直线对称，又是周期为4的函数， 所以关于直线对称， 因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确； 由是定义在上的奇函数，所以， 当时，，可得当时，， 令，则，所以， 此时单调递增， 因为， 所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递增，故C错误； ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据函数为偶函数，得，结合为奇函数，求得，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 12. 若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，设的值域为集合，利用对数函数的图象与性质，得到，从而有，即可求解. 【详解】令，设的值域为集合， 因为函数的值域为，所以， 则，解得或， 故答案为：. 13. 已知，若关于的方程有四个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图像，根据，可得，或，结合函数图像，分情况讨论方程解的情况，即可得解. 【详解】 由， 且当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 作出函数图象如图所示， 又方程有四个不同的解， 即或共四个不同的解， 且时，方程有两个解， 所以方程有两个解，且， 结合函数图象可知，， 综上所述， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简可得结论； （2）根据对数的运算性质和指数幂的运算性质化简可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以原式. （2）原式. 15. 设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，，求的值． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由降幂公式化简即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的单调区间，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得： ， 由，可得； 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 ∵ ，∴， ∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴． 16. 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工作室现计划投入80万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约80万元. （1）求工作室未来五年内的前年的总利润（单位：万元）； （2）在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案. 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以52万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以72万元的价格售出. 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由. 【答案】（1）且； （2）两种方案获利都是162万元，但方案二仅需要3年即可，而方案一至少需要4年，故该工作室应采取方案二，在3年后将这些摄影设备以72万元的价格售出. 【解析】 【分析】（1）由题意中营业额减去额外持续支出，再减去开始时计划投入，即得到结果. （2）方案一根据二次函数性质求出最值.方案二根据基本不等式求出结果. 【小问1详解】 依题意可得， 且； 【小问2详解】 方案一： 且，... ∴当或时，取得最大值110， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二： 平均年利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 即时，平均年利润最大， 此时，若此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是162万元，但方案二仅需要3年即可，而方案一至少需要4年，故该工作室应采取方案二，在3年后将这些摄影设备以72万元的价格售出. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数为上的减函数，理由如下： 任取、，且，则， 所以， ，即， 故函数在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求出实数、的值，然后验证函数为奇函数即可； （2）判断出函数为上的减函数，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由奇函数的性质以及函数的单调性可得出，求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数，则，解得， 所以，， 因为，， 由奇函数的定义可得，可得，解得， 故，则，下面验证函数为奇函数， 因为函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，使， 则，所以，，则， 由题意可得，因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）解不等式：； （3）若表示a，b中较小的值），求实数的取值范围. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下， 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则， 所以，所以为奇函数. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义，令、，结合已知等量关系判断证明奇偶性； （2）利用函数单调性定义判断区间单调性，结合奇函数性质确定函数在定义域上的单调性，应用奇函数、单调性解不等式求解集； （3）令，问题化为，求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，由，得， 则在上单调递减，又是定义在上的奇函数. 所以在上单调递减. 则可变形为， 则，解得. 故所求不等式解集为. 【小问3详解】 由（1）（2）知在上是减函数，且，所以， ，令， 当时，；当时，恒成立，故. 因为，当且仅当时等号成立，故. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $