专题06 相交线与平行线61道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题06 相交线与平行线61道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 相交线综合应用压轴题型 题型二 平行线的性质综合应用压轴题型 题型三 平行线的判定综合应用压轴题型 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 平行线中的动点问题压轴题型 题型六 平行线中的翻折问题压轴题型 题型七 平行模型问题压轴题型 题型八 根据平行线的性质解决问题 【经典例题一 相交线综合应用压轴题型】 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE=50°，BF⊥AE，求∠CBF和∠DBF的度数． 2．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 3．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF． 4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 5．（23-24七年级下·上海普陀·课后作业）（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明． （2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系． （3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系． 思维方法天地 6．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【经典例题二 平行线的性质综合应用压轴题型】 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）已知：如图，，和交于点O，E为上一点，F为上一点，且．求证：． 8．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数． 9．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，，诸将求的过程填写完整． 解： ___________（____________________________________________） 又 （______________________） ___________（____________________________________________） _______（____________________________________________） _______ 10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式． 解：∵（已知）， ∴________（ ）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴________（ ）， ∴（ ）， ∴（ ）， 即． ∵（已知）， ∴（ ）， 即． ∴________（ ）． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 12．（23-24七年级下·上海崇明·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 13．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明．    (2)若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系______    14．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 16．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【经典例题三 平行线的判定综合应用压轴题型】 17．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 18．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 19．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 20．（23-24七年级下·上海静安·课后作业）如图，若，，，，试说明． 21．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 22．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 23．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 24．（2024七年级下·上海宝山·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 25．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 26．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 27．（23-24七年级下·上海静安·期中）（1）如图①，已知：，请说明． （2）如图②，已知：，于点M，交于点．若，则的度数为多少？ 28．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． (1)若，，那么吗？说明理由． (2)若，，那么吗？说明理由． 29．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 30．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 31．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 32．（23-24七年级下·上海虹口·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 33．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 34．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    35．（23-24七年级下·上海闵行·期末）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 36．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【经典例题五 平行线中的动点问题压轴题型】 37．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 38．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 39．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 40．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 41．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 42．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 43．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 44．（23-24七年级下·上海长宁·期末）【问题】如图，直线与直线分别交于点A、点C，且，点Q为直线上一定点（C点除外），点P为线段上一动点，当点P在线段上运动时（端点C除外），与有何数量关系？    【问题探究】甲、乙两位同学对此问题进行了探究，甲同学得出的结论为；乙同学得出的结论为． 【结论分析】对甲、乙两位同学得出的不同结论，总体评估有以下可能性：①两个结论都正确；②两个结论中只有一个正确；③两个结论都不正确，另有正确结论；④两个结论都不完全正确，另有正确结论；等等． 【问题解决】在以上分析、评估的基础上，请你就与有何数量关系发表自己的看法，并说明理由证明你的结论．（若备用图不够，可自画图） 45．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 46．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【经典例题六 平行线中的翻折问题压轴题型】 47．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    48．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 49．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，． (1)若，则的度数为______°； (2)设，， ①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围； ②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_______； (3)过点D作//交CE于点F，当时，求的度数． 50．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 51．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 【经典例题七 平行模型问题压轴题型】 52．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 53．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2) 如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 54．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3） 问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 56．（23-24七年级下·上海崇明·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【经典例题八 根据平行线的性质解决问题】 57．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    58．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 59．（23-24七年级下·上海普陀·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 60．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 61．（23-24七年级下·上海静安·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线与平行线61道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 相交线综合应用压轴题型 题型二 平行线的性质综合应用压轴题型 题型三 平行线的判定综合应用压轴题型 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 平行线中的动点问题压轴题型 题型六 平行线中的翻折问题压轴题型 题型七 平行模型问题压轴题型 题型八 根据平行线的性质解决问题 【经典例题一 相交线综合应用压轴题型】 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE=50°，BF⊥AE，求∠CBF和∠DBF的度数． 【答案】∠DBF =50°，∠CBF=140°． 【分析】根据垂直得出∠FBE=∠ABF=90°，求出∠DBF=∠FBE﹣∠DBE=40°，∠ABC=∠DBE=50°，即可求出∠CBF． 【详解】解：∵BF⊥AE， ∴∠FBE=∠ABF=90°， ∵∠DBE=50°， ∴∠DBF=∠FBE﹣∠DBE=90°﹣50°=40°，∠ABC=∠DBE=50°， ∴∠CBF=∠ABF+∠ABC=90°+50°=140°． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角；垂线． 2．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平面内的相交线，反证法，解题的关键是用反证法证明． 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多． 【详解】解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等． 现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为． 假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于． 不妨设与所成的角小于， 则原来的直线与所成的角也必小于． 3．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF． 【答案】证明见解析. 【分析】已知AB∥DC，根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；再根据角平分线的定义，证得∠DAE+∠ADF＝90°，即可得到∠AGD＝90°，由此结论得证． 【详解】证明：∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC＝180°． ∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC． ∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°． ∴∠AGD＝90°． ∴AE⊥DF． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．熟练运用平行线的性质是解决问题的关键． 4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 【答案】（1）80°；（2）． 【分析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数； （2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果． 【详解】（1） （2）（2）∵EF平分∠AED， ∴∠AEF=∠DEF， 设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°， ∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°， ∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键． 5．（23-24七年级下·上海普陀·课后作业）（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明． （2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系． （3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系． 思维方法天地 【答案】答案见解析 【详解】试题分析：（1）分别得到两条直线平行和相交，三条直线平行和交于一点和两两相交的结果； （2）只有四条直线两两相交时，才能将平面分得最多，分别画出图形即可求得所分平面的部分； （3）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分，由此即可得. 试题解析：（1）如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成个或个区域； 如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成个、个和个区域． （2）如图3，四条直线最多可以把平面分成个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点． （3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，； 当时，； 当时，； 当时，，……由此可以归纳公式 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，找到an=1+1+2+3+…+n=1+是解题的关键，第（1）题注意分类讨论． 6．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 平行线的性质综合应用压轴题型】 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）已知：如图，，和交于点O，E为上一点，F为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得到与的关系，再由可得到，根据平行线的判定定理可得，可得与的关系，等量代换可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． 8．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，如图，过点作，利用平行线的性质得，，正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 9．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，，诸将求的过程填写完整． 解： ___________（____________________________________________） 又 （______________________） ___________（____________________________________________） _______（____________________________________________） _______ 【答案】3；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；98． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质推出，推出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：3；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；98． 10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式． 解：∵（已知）， ∴________（ ）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴________（ ）， ∴（ ）， ∴（ ）， 即． ∵（已知）， ∴（ ）， 即． ∴________（ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键． 按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即． ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    12．（23-24七年级下·上海崇明·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 13．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明．    (2)若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系______    【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出． （2）过点C作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【详解】（1）①补全图形如图：    ②判断：． 证明：过点C作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． （2）． 理由：如图，过点C作，    ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 14．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过中间的拐点作平行线，再根据图形结合平行线的性质即可得出结论； （2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律“”，此题得解． 【详解】（1）解：如图①，∵， ∴； 如图②，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图③，过作，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 如图④，过作，过作，过作， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：根据（1）中规律即可得出：第n个图中的． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)120；90 (2)①，；②存在，当时，；当时，，；当时， 【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． （1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 故答案为，； （2）解：①如图2．   ， ， ， ，， ， ； ②当时，， ， ∴；    当时， ，；      当时， ． 16．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的值随的变化而变化；的度数为不变 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． （1）过B作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）首先设，过点B作，过点F作，根据平行线的性质，可得，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． （3）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据，列式表示出，从而判定②正确． 【详解】（1）解：， 理由：过B作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵与的平分线交于点F， ∴， 过点B作，过点F作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的余角等于的补角， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵点P是上一点， ∴， ∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 【经典例题三 平行线的判定综合应用压轴题型】 17．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 18．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，垂直的定义，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用角平分线的定义证出的度数，再通过同位角的关系去判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·上海静安·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 21．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 22．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当等于或时， 【分析】本题考查了角的和差，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． （1）依据，即可得到的度数，进而可求出的度数； （2）依据，即可得到的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当等于或时，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）．理由如下： ， ． （3）解：分两种情况讨论： ①如图①，当时，． ，， ． 又， ， ． ②如图②，当时，． ，， ． 又， ， ． 综上所述，当等于或时，． 23．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 24．（2024七年级下·上海宝山·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 25．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 26．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当等于或时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）先证明即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出即可求出结论； （3）分两种情况：当点E在上方时或当点E在下方时，分别根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：（1），， ， ； （2）， ， ； （3）当点E在上方时，设与交于点G， ， ， ， ； 当点E在下方时，设与直线交于点H， ， ， ， ； 综上所述，当等于或时，． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 27．（23-24七年级下·上海静安·期中）（1）如图①，已知：，请说明． （2）如图②，已知：，于点M，交于点．若，则的度数为多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】此题考查了平行线的性质、垂直的定义． （1）过点P作，则，得到，即可得到结论； （2）过点F作，由垂直定义得到，证明，则，利用角的和差即可得到答案． 【详解】解：过点P作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点F作，如图， ∵于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 28．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． (1)若，，那么吗？说明理由． (2)若，，那么吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）先由得到，再由得到，即可得到； （2）先由得到，再由得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， ∵， （两直线平行，内错角相等）， ∵， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）； （2）解：，理由如下： ∵， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 29．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 (3)相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据同位角相等两直线平行即可判定． （2）根据平行线的判定和性质求解即可． （3）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，（已知） ∴． 即， ∴,（等量代换） ∴.（内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 （3）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 30．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 31．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 32．（23-24七年级下·上海虹口·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 33．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质探究角的关系． （1）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． （2）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． 【详解】（1）解∶过点作． 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为∶ （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 35．（23-24七年级下·上海闵行·期末）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等； (2)，理由见解析； (3)相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． （1）由平行的性质“两直线平行，同位角相等”即可得到答案； （2）由“两直线平行，同位角相等”可得，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，进而得到结论； （3）根据①②③中的结论即可得到结果． 【详解】（1）解：， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， 即． 故答案为：两直线平行，同位角相等； （2）发现： ， ， ， ， ， 即； （3）由①③可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由②可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角互补． 故答案为：相等或互补． 36．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 【经典例题五 平行线中的动点问题压轴题型】 37．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 38．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)当直线时，的大小为或；当时，的大小为或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）直线时，①当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 当时，①当在的左侧时，过作，同理可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 掌握判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作，   ， ， ， ， ， ； （2）解：直线时， ①如图，当在的左侧时，   直线平分， ， ，， ， ； ②如图，当在的右侧时，    同理可得：， ， ， ； 故的大小为或； 当时， ①如图，当在的左侧时，    过作， 同理可得：， ， ， ， ； ②如图，当在的右侧时，    同理可求：， ， ， ； 故的大小为或． 39．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 40．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据平角为证明即可； （2）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵ ∴， ∴； （2）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 41．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 【答案】(1)见解析； (2)①；② 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角的和差倍分的计算，掌握平行线的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． （1）根据，可得，根据，即可求解； （2）①根据折叠可得，根据平行线的性质及，可得，由此即可求解；②由折叠可知，根据题意可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明， ， ， ， ； （2）解：①如图2，由折叠可知， ， ， ， ， ； ②如图3，由折叠可知，， ， ， ， ， ， ． 42．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 43．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 44．（23-24七年级下·上海长宁·期末）【问题】如图，直线与直线分别交于点A、点C，且，点Q为直线上一定点（C点除外），点P为线段上一动点，当点P在线段上运动时（端点C除外），与有何数量关系？    【问题探究】甲、乙两位同学对此问题进行了探究，甲同学得出的结论为；乙同学得出的结论为． 【结论分析】对甲、乙两位同学得出的不同结论，总体评估有以下可能性：①两个结论都正确；②两个结论中只有一个正确；③两个结论都不正确，另有正确结论；④两个结论都不完全正确，另有正确结论；等等． 【问题解决】在以上分析、评估的基础上，请你就与有何数量关系发表自己的看法，并说明理由证明你的结论．（若备用图不够，可自画图） 【答案】或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质；分两种情况讨论；（1）当点在射线上（或直线上点的左侧）；①点与点重合；②若点在线段上运动且不与端点、重合；当点在射线的反向延长线上（或直线上点的右侧）①点与点重合；②若点在线段上运动且不与端点、重合；分别画出图形，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：与数量关系为：，或 理由如下： （1）当点在射线上（或直线上点的左侧） ①如图，若点与点重合    因为，所以 又因为 所以 ②如图，若点在线段上运动且不与端点、重合    因为， 所以 因为在三角形中，， 所以 （2）当点在射线的反向延长线上（或直线上点的右侧） ①如图，若点与点重合      可证 ②如图，若点在线段上运动且不与端点、重合    可证 综上：与数量关系为，或 45．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． （4）分别过点M，P，N，作，运用平行线的判定与性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：过点作直线，    得， ， ， ， ， ； （2）解：过点作直线，    得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：当点在线段左侧时，如下图所示，   ，， ， ； 当点在线段右侧时，如下图所示，   ，， ， ， ； 的度数为或． （4）解：如图：分别过点M，P，N，作    ∵ ∴ 设 ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理的 ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论等知识点：两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 46．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 【经典例题六 平行线中的翻折问题压轴题型】 47．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    【答案】，理由见解析． 【分析】设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；根据折叠的性质可求得，即可判断直线，的位置关系． 【详解】． 理由如下： 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点． 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点．    根据折叠的性质，得 ， 又， ∴． 同理可得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定，牢记折叠的性质和平行线的判定定理是解题的关键． 48．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解； （2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解； （3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解． 【详解】（1） （2）当点Q在边上时， 由（1）有，， ∵， ∴，， ； 当点Q在的延长线上时，如图， 由（1）可知， ， ∵， 解得： 即为或． （3）∵， ， ∵， ， 由（1）可知， 由翻折可知 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解． 49．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，． (1)若，则的度数为______°； (2)设，， ①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围； ②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_______； (3)过点D作//交CE于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)125° (2)①y=2x-110，；②（） (3)79°或115° 【分析】（1）根据翻折后所得图形与原图形角度相等，所以∠D=∠C=90°，则可求出∠BAC=55°，则； （2）①先求出∠BAC的度数，利用∠DAE=180°-2∠BAC列出表达式即可得y与x的数量关系，因为点D在CE左侧，所以∠BAC<90°，利用∠BAC=180°-∠CBA-x可求出x的取值范围； ②点D在CE右侧，则90°<∠BAC<180°，将∠BAC的表达式代入即可求出x的范围； （3）根据（2）中两种情况分别进行讨论，利用两直线平行同位角相等和内错角相等，结合条件列出等式，先求出∠DAE和∠C，从而可以求出∠BAD． 【详解】（1）∵沿AB翻折得 ∴∠DBA=∠CBA ∵ ∴∠CBA= ∵ ∴∠BAC=90°-35°=55° ∴ （2）①根据（1）中所求，∠CBA=35°， ∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x° ∵∠BAD=∠BAC ∴∠DAE=180°-2∠BAC ∴y=180-2(145-x)=2x-110 ∵点D在CE左侧 ∴ ∴ 即： 解得： 所以，y=2x-110， ②当点D在CE右侧时， ∵∠BAC=145°-x° ∴ ∵点D在CE右侧 ∴ ∴90°<145°-x°<180° 解得： ∵∠C是三角形的一个内角 ∴ ∴ 所以， （） （3） ①当点D在CE左侧时 ∵ ∴ ∵∠DAE=2∠C-110°， ∴ ∴ ∴ ②当点D在CE右侧时 ∵ ∴∠C=∠DFC ∵∠DAE=110°-2∠C，∠EFD=180°-∠DFC ∴180°-∠C=3(110°-2∠C) ∴∠C=30° ∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115° 所以，的度数为79°或115° 【点睛】本题考查了翻折的性质和平行线的性质，熟练掌握相关知识，利用各角之间的数量关系进行代换是解题的关键． 50．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①②张明的说法正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定及性质，牢记折叠的性质和平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可知，可求得的度数，进而求得的度数，同理可求得的度数，根据角之间的等量关系，可判断与的位置关系． （2）根据已知条件可知，进而可得，即可判断与的位置关系． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． 故答案为：． 张明的说法正确． 理由如下： 根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． ∴． （2）． 理由如下： ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 51．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查折叠问题，平行线的判定和性质： （1）折叠和平角的定义，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可； （2）折叠和平行线的性质，推出，即可得出结论； （3）折叠和平行线的性质，推出，得到，同理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【经典例题七 平行模型问题压轴题型】 52．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 【答案】；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，结合已知证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行． 53．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 54．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    56．（23-24七年级下·上海崇明·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴； （2）如图③，延长，交于点，过作， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【经典例题八 根据平行线的性质解决问题】 57．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 58．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 59．（23-24七年级下·上海普陀·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 60．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 61．（23-24七年级下·上海静安·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意直接利用平行线的性质进行填空即可； （2）过点作，进一步利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ． ， （平行于同一直线的两直线平行）． ． ， ． ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；；100； （2）如图，过点作， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$